专题研究：一元二次不等式恒成立问题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题研究：一元二次不等式恒成立问题（学生版） 解题通法 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ,一般情况下解题思路如下： 不等式对任意实数恒成立或 (3)一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.一般情况下解题思路如下：构造参数（或）与的关系式，则 恒成立,即;恒成立,即. 专题训练 一、单选题 1．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．若命题“，”是假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．命题“，使得”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 4．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（    ） A． B． C． D． 10．已知：函数的定义域为，则的必要条件可以是（    ） A．或 B． C． D． 11．当时，不等式恒成立，则的范围可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 13．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 14．已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 16．已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题研究：一元二次不等式恒成立问题(解析版) 解题通法 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ,一般情况下解题思路如下： 不等式对任意实数恒成立或 (3)一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.一般情况下解题思路如下：构造参数（或）与的关系式，则 恒成立,即;恒成立,即. 专题训练 一、单选题 1．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式定义可得，由条件结合二次函数性质列不等式求结论. 【详解】因为是一元二次不等式，所以． 因为对一切实数都成立， 所以，解得． 故选：D. 2．若命题“，”是假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出存在量词命题否定，根据根的判别式得到不等式，求出的取值范围. 【详解】命题“，”的否定为“，”， “，”是真命题，则，解得． 故选：C 3．命题“，使得”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由根的判别式得到不等式，求出，由于是的真子集，满足要求，其他不合要求. 【详解】在R上恒成立，故， 解得， 由于是的真子集，故不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是， 其他选项均不是的真子集，不合要求. 故选：A 4．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数，结合对勾函数单调性可求得参数范围. 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以在区间上恒成立， 由对勾函数性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，， 所以，故， 故选：D. 5．已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，得到在上恒成立，考虑和两种情况，参变分离，得到. 【详解】由，求出， 在上恒成立， ， 当时，，， 当时，， 其中，当且仅当时，等号成立， 故， 综上，的取值范围为. 故选：A 6．若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性，求出最小值即可得答案. 【详解】解：因为对于一切恒成立， 则在上恒成立， 又因为和在上单调递减， 故在上单调递减， . 即. 故选：D. 7．已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据一次函数的单调性求得，从而对恒成立，分离参数，利用二次函数性质求解即可. 【详解】，使得成立，， 又由在上单调递增，， 即对恒成立，， 即对恒成立，， 又由在上单调递增， 时，时，， . 故选：B． 8．已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 二、多选题 9．下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由恒成立问题解出的取值范围，再利用集合间的包含关系即可判断. 【详解】由对恒成立可得， ①当时，成立； ②当时，，解得； 故对恒成立时，的取值范围是， 则是的真子集，且是的真子集； 故选：CD 10．已知：函数的定义域为，则的必要条件可以是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】AB 【分析】的定义域为，因此恒成立，求出的取值范围.本题判断哪个选项是的必要条件，所以能推出选项，对应的取值范围是选项范围的子集. 【详解】由题，恒成立，易知时不满足， 时，有. 故选：AB 11．当时，不等式恒成立，则的范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先参变分离得到在上恒成立，由对勾函数得到函数单调性，从而得到，求出，得到答案. 【详解】时，变形为， 故在上恒成立， 其中为对勾函数，在上单调递减， 故，故， 故，其中ABD满足要求，C不满足要求. 故选：ABD 三、填空题 12．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 13．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性与最值，结合一元二次不等式的恒成立关系求解. 【详解】当时，有恒成立，满足题意； 当时，令，对称轴为， 时，在单调递减，单调递增， 则有，解得， 时，在单调递增，单调递减， 则有，解得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为：. 14．已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，，满足不等式， 故只需， 其中，当且仅当时，等号成立， 关于的函数， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得或， 综上，实数m的取值范围是或， 故答案为：或 四、解答题 15．已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2) 【分析】（1）分，，三种情况讨论，从而可求得不等式的解集； （2）由题意可得在内恒成立，利用在的最大值即可. 【详解】（1）不等式，即， 当时，，不等式的解集为， 当时，，可得， 当，则，所以不等式的解集为， 若，则，所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）不等式在内恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， 所以在内恒成立， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， ， 所以，所以实数n的取值范围. 16．已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2) (3) 【分析】（1）将不等式转换，讨论的取值得到结果 归纳：对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. （2）将原式转化为，通过换元分析得出的取值范围. （3）改变主元，把m视为主变元，将原式转换为关于的一次函数，保证和的值大于零即可. 【详解】（1）原不等式等价于， 当时，不恒成立， 当时，不等式对于恒成立， 则需且，无解， 所以不存在实数对任意恒成立. （2）因为，所以， 设，则， 所以， 设， 显然在上单调递增， 当时，，，且， 所以，所以的取值范围是. （3）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得或， 所以的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $