第一章三角形单元检测卷（一）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第一章三角形单元检测卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________成绩：___________ 一、单选题（共16分） 1．（本题2分）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题2分）中，，，，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（本题2分）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）如图，在中，，点、分别在、上，连接、相交于点．现添加一个条件仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）下列选项中，过点画的垂线，三角板摆放正确的是（   ） A．B．C． D． 6．（本题2分）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于，两点，是上一点，且，连接，．则下列说法正确的是；；．（   ） A． B． C． D． （6）（7）（8） 7．（本题2分）如图，在的方格纸中，均为格点，若为等腰三角形，则满足该条件的格点共有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 8．（本题2分）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 9．（本题2分）已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=80°，则∠F= ． 10．（本题2分）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． （10）（12）（13） 11．（本题2分）已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是 . 12．（本题2分）如图，在中，，平分，则的面积是 ． 13．（本题2分）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 14．（本题2分）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则 ． （14）（15）（16） 15．（本题2分）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 16．（本题2分）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=15米，则AB= 米． 三、解答题（共68分） 17．（本题7分）如图，和分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，，．求证． 18．（本题7分）春意盎然，万物复苏，公园里有一块如图所示的三角形郁金香花园．已知这个花园中，边，求这块郁金香花园的面积. 19．（本题7分）已知，，为三边长． (1)求证：． (2)当，试判断的形状． 20．（本题7分）如图，的顶点都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长为1，利用网格线按下列要求画图． (1)画出，使它与关于直线成轴对称． (2)求出的面积． (3)在直线上找一点，使点到点的距离之和最短．（不需计算） 21．（本题8分）如图，，都是等边三角形，与交于点H，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求之间的数量关系． 22．（本题8分）如图,在△ABC中, ∠BAC是钝角,按要求完成下列画图． （不写作法，保留作图痕迹） ①用尺规作∠BAC的角平分线AE． ②用三角板作BC边上的高AD． ③用尺规作AB边上的垂直平分线． 23．（本题8分）综合与探究 问题情境： 学完平行线后，老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．试判断和的关系，并说明理由． 问题解决： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）如图2，是线段上一点（不与点，重合），连接，为探究，与之间的数量关系，小颖过点作交于点．请你根据她的思路，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 特例研究： （3）在（2）的基础上，如图3，当平分时，试判断与的位置关系，并说明理由． 24．（本题8分）如图1，和均为等腰直角三角形，，，，绕点B逆时针旋转． (1)如图2．证明：； (2)图2中，当绕点B逆时针旋转至时，求的值． (3)如图3．取的中点F．当旋转至时，求的长度． 25．（本题8分）如图1，在△ABC中，∠ACB为说角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝90°．解答下列问题 （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：BD＝CE，BD⊥CE． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）．先画出相应图形，再说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B D D C A 1．D 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形； 故选：D． 2．B 【分析】根据含角的直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，解题的关键是要熟记角所对的直角边是斜边的一半． 3．C 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高的知识点，熟练掌握三角形中线、高、角平分线的性质是解题的关键.根据三角形角平分线、中线和高的定义进行分析即可. 【详解】解：选项A：是中线，点是中点，，选项A正确，不符合题意. 选项B：的边上的高为，根据三角形面积公式可得，选项B正确，不符合题意. 选项C：的角平分线为，，选项C错误，符合题意. 选项D：的底边为的一半，二者高相等，根据三角形面积公式可得，选项D正确，不符合题意. 故答案为：C ． 4．B 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定，从而可以解答本题． 【详解】解：，， ， 即， ， ，故A选项不符合题意； 补充不能证明，故B选项符合题意； ， ，故C选项不符合题意； ， ，故D选项不符合题意； 故选B． 5．D 【分析】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法．根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：∵三角板有一个角是直角， ∴三角板的一条直角边与直线重合， ∵过点P作直线的垂线， ∴三角板的另一条直角边过点A， ∴符合上述条件的图形只有选项D． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了格点图中画等腰三角形，结合等腰三角形的判定与网格特征，进行分类讨论且作图，即可作答． 【详解】解：依题意，当为等腰三角形的底边时，则如图所示： 共有个点； 当为等腰三角形的腰时，则如图所示： 或 共有个点； 综上：为等腰三角形，则满足该条件的格点共有8个， 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 9．70° 【分析】根据△ABC≌△DEF，从而推出对应角相等求解． 【详解】∵△ABC≌△DEF， ∴∠A=∠D=30°，∠B=∠E=80°，∠C=∠F， ∵∠D+∠E+∠F=180°， ∴∠F=70°． 故答案为70°. 【点睛】此题考查全等三角形的性质，解题关键在于利用全等的性质解答． 10．4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 11．18cm或21cm 【分析】分5cm是腰长和底边两种情况，求出三角形的三边，再根据三角形的三边关系判定求解． 【详解】解：①若5cm是腰长，则三角形的三边分别为5cm，5cm，8cm， 能组成三角形， 周长=5+5+8=18cm， ②若5cm是底边，则三角形的三边分别为5cm，8cm，8cm， 能组成三角形， 周长=5+8+8=21cm， 综上所述，这个等腰三角形的周长是18cm或21cm． 故答案为18cm或21cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三条边的关系，主要利用了等腰三角形两腰相等的性质，难点在于分情况讨论． 12．2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作，得出即可求解． 【详解】解：作，如图所示：    ∵平分， ∴ ∵， ∴的面积， 故答案为： 13． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【详解】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查三角形的面积，由利用三角形的面积公式可求得的长，再由中线的定义可得，从而得解．解答的关键是由三角形的面积公式求得的长． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴ 解得：， ∵是边上的中线， ∴． 故答案为：． 15．5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为32， ， ，即， ， ． 故答案为：5． 16．15 【分析】根据题目中的条件可证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB=DE，进而得到答案． 【详解】∵点C是AD的中点，也是BE的中点， ∴AC=DC，BC=EC， ∵在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴DE=AB， ∵DE=15米， ∴AB=15米， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理． 17．见解析 【分析】欲证明，只要证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 18．这块郁金香花园的面积为 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握含30°角的直角三角形的性质是解决此题的关键．过点作于点，直接利用含角的直角三角形的性质求出，利用三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， . ， 的面积为， 答：这块郁金香花园的面积为. 19．(1)见解析； (2)是等边三角形． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用， 等边三角形的定义，完全平方公式和平方差公式的应用等知识． （1）先依据完全平方公式将原式变形为，然后再利用平方差公式进行分解，然后结合三角形的三边关系进行判断即可； （2）先利用完全平方公式将原式变形为，然后，依据非负数的性质可得到、、之间的关系，从而可对的形状作出判断． 【详解】（1）证明：， ，，为三边长， ，， ，， ； （2）解：是等边三角形． 理由：， ∴， ， ， ， 是等边三角形． 20．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点、、即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）连接交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：的面积； （3）解：如图，点P为所作． 21．(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据等边三角形性质结合证即可： （2）过点分别作，，由得到，从而，，故有，根据角平分线判定即可得到平分，据此即可求解； （3）在上截取一点，使得，证明是等边三角形，即可证明，从而得解． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，过点分别作，，垂足为点，， 由（1）知：，， ，， ，， ，， 点在的平分线上，， 即平分， ； （3）解：，理由： 如图，在上截取一点，使得， 由（1）和（2）知：，． 是等边三角形， 是等边三角形． ，，． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，三角形的内角和定理的综合运用，熟练掌握以上知识是解答的关键． 22．见解析. 【分析】（1）根据角平分线的做法作图即可； （2）利用直角三角板，一条直角边与AC重合，另一条直角边过点B，再画垂线即可； （3）根据线段垂直平分线的作法作图． 【详解】解：(1)如图所示：AE即为所求； (2)如图所示：AD即为所求； (3)如图所示：MN即为所求． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的基本作图方法． 23．（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质得到，再由角平分线定义得到，等量代换即可得到答案； （2）由，得到，由平行线性质，数形结合即可得到，与之间的数量关系； （3）由三角形全等的判定与性质求解即可得到与的位置关系． 【详解】解：（1）， 理由如下： 在四边形中，，则， 平分， ， ； （2）， 理由如下： ，， ， ,， ， ； （3）， 理由如下： 由（1）知，，则， 平分， ， 在和， , ，则． 【点睛】本题考查由平行线的判定与性质确定角度之间的关系，涉及平行线判定与性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记平行线的性质，灵活运用相关几何性质，数形结合表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键． 24．(1)详见解析 (2) (3) 【分析】(1)由和均为等腰直角三角形，证明，，,从而得到，即可证明结论； (2）证明，利用勾股定理求出，从而求出的值； (3）过点C作，垂足为点G，证明是等腰三角形，再由，证明，从而得到，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵在中，，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点C作于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，是等腰三角形， 又由（1），知，点F是DB的中点， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一，勾股定理等知识，本题的关键是熟练运用等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质解题． 25．（1）①证明见解析；②结论成立，证明见解析；（2）画图见解析，当∠BCA=45°时，CE⊥BD，证明见解析 【分析】（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系； ②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立； （2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论． 【详解】解：（1）①证明：CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD． 理由：如图2中， ∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， 又 BA=CA，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD， ∵∠ACB=∠B=45°， ∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD． 故答案为：CE⊥BD；CE=BD． ②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立． 如图3中， ∵∠DAE=90°，∠BAC=90°， ∴∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， 又AB=AC，AD=AE， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴CE=BD，且∠ACE=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 即 CE⊥BD； （2）如图4中，当∠BCA=45°时，CE⊥BD． 理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G， ∴AC=AG，∠AGC=45°， 即△ACG是等腰直角三角形， ∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC， ∴∠GAD=∠CAE， 又∵DA=EA， ∴△GAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE=∠AGD=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 即CE⊥BD． 【点睛】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $