精品解析：上海市彭浦第三中学2021-2022学年九年级下学期4月月考数学卷

上海彭浦三中2021-2022学年九下4月月考数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一．选择题（共24分） 1. 在中，，若，则 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 某粮食公司2013年生产大米总量为a万吨，比2012年大米生产总量增加了10%，那么2012年大米生产总量为( ) A. a(1+10%)万吨 B. 万吨 C. a(1﹣10%)万吨 D. 万吨 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两腰相等的梯形是等腰梯形 B. 对角线相等的梯形是等腰梯形 C. 两个底角相等的梯形是等腰梯形 D. 平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形 4. 已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件一定能推得△ABC与△DEF全等的是（ ） A. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠B，∠D=∠E，AB=DE B. 在△ABC和△DEF中，AB=AC，∠A=∠F，FD=FE C. 在△ABC和△DEF中，=1，∠B=∠E D. △ABC和△DEF中，=1，∠B=∠E 6. 如果A、B分别是圆O1、圆O2上两个动点，当A、B两点之间距离最大时，那么这个最大距离被称为圆O1、圆O2的“远距”．已知，圆O1的半径为1，圆O2的半径为2，当两圆相交时，圆O1、圆O2的“远距”可能是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6． 二．填空题（共48分） 7. ________． 8. 方程的解为_____． 9. 一种细菌的半径是米，用科学记数法把它表示为_____米． 10. 用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程化为关于的整式方程可以是 . 11. 在等腰梯形、正五边形、平行四边形、矩形这4种图形中，任取一种图形，这个图形是中心对称图形的概率是__________ 12. 在矩形中，，，点是边上一点（不与、重合），以点为圆心，为半径作，如果与外切，那么的半径的取值范围是_______． 13. 在等腰梯形、正五边形、平行四边形、矩形这4种图形中，任取一种图形，这个图形是中心对称图形的概率是__________ 14. 近视眼镜的度数度与镜片焦距米呈反比例，其函数关系式为如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数y为______． 15. 如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____． 16. 如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P′所在的直线都是经过同一点O，且有OP′=k·OP(k≠0)，那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O叫做位似中心，已知△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，OA′=3OA，则△ABC与△A′B′C′的周长之比是________. 17. 如果三角形有一边上中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知中，，较短的一条直角边边长为1，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于_____． 18. 如图，在菱形ABCD中，AB=a，∠ABC=α．将菱形ABCD绕点B顺时针旋转（旋转角小于90°），点A、C、D分别落在A′、C′、D′处，当A′C′⊥BC时A′D=_____（用含有a和α的代数式表示）． 三．解答题（共78分） 19. 先化简分式（）÷，再从不等式组的解集中取一个非负整数值代入，求原分式的值． 20. 解方程： 21. 某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 （1）求y与x函数解析式（不需要写定义域）； （2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 22. 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC． （1）求证：AG＝GH； （2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离． 23 如图，抛物线 经过点，连接． （1）求a、b的值； （2）求证：是等腰直角三角形； （3）将绕点O顺时针旋转得到，写出的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由． 24. 如图，已知⊙O的半径OA的长为2，点B是⊙O上的动点，以AB为半径的⊙A与线段OB相交于点C，AC的延长线与⊙O相交于点D．设线段AB的长为x，线段OC的长为y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）当四边形ABDO是梯形时，求线段OC的长． 25. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝16，cosB＝，点P是边BC上动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G． （1）当圆C经过点A时，求CP的长 （2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长 （3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海彭浦三中2021-2022学年九下4月月考数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一．选择题（共24分） 1. 在中，，若，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数定义，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先根据三角函数的定义得，从而求得，进一步求得，再根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2. 某粮食公司2013年生产大米总量为a万吨，比2012年大米生产总量增加了10%，那么2012年大米生产总量为( ) A. a(1+10%)万吨 B. 万吨 C. a(1﹣10%)万吨 D. 万吨 【答案】B 【解析】 【分析】根据2013年生产大米比2012年大米生产总量增加了10%，可知2012年大米生产总量×(1+10%)=2013年大米生产总量，由此列式即可. 【详解】a÷(1+10%)=(万吨). 故选B. 【点睛】此题考查列代数式，关键是找出题目蕴含的数量关系：2012年大米生产总量×(1+10%)=2013年大米生产总量. 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两腰相等的梯形是等腰梯形 B. 对角线相等的梯形是等腰梯形 C. 两个底角相等的梯形是等腰梯形 D. 平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据梯形的判定方法即可得到正确的答案． 【详解】A、利用梯形的定义可以判定两腰相等的梯形是等腰梯形，故本答案是真命题； B、根据梯形的判定定理可知对角线相等的梯形是等腰梯形，故本答案是真命题； C、根据等腰梯形的判定定理可知同一底上的两个底角相等的梯形的等腰梯形，故本答案是假命题； D、平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形是真命题． 故选C． 【点睛】考查了等腰梯形的判定，解题的关键是熟知等腰梯形的判定定理． 4. 已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，随的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：A． 5. 下列条件一定能推得△ABC与△DEF全等的是（ ） A. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠B，∠D=∠E，AB=DE B. 在△ABC和△DEF中，AB=AC，∠A=∠F，FD=FE C. △ABC和△DEF中，=1，∠B=∠E D. 在△ABC和△DEF中，=1，∠B=∠E 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可． 【详解】 A、两三角形没有一个相等的条件，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项错误； B、两三角形只有一个相等的条件∠A=∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项错误； C、两三角形只有一个相等的条件∠B=∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项错误； D、能推出AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项正确； 故选D． 6. 如果A、B分别是圆O1、圆O2上两个动点，当A、B两点之间距离最大时，那么这个最大距离被称为圆O1、圆O2的“远距”．已知，圆O1的半径为1，圆O2的半径为2，当两圆相交时，圆O1、圆O2的“远距”可能是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6． 【答案】C 【解析】 【分析】首先弄清远距的定义，然后结合两圆的圆心距的取值范围求解． 【详解】∵⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2， ∴圆心距d的取值范围为：1＜d＜3， ∴⊙O1、⊙O2的“远距”的取值范围为：4＜远距＜6， 故选C． 二．填空题（共48分） 7. ________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，构造出如图的三角形，从而可分别得出，，，，进而求得，再根据，求解． 【详解】解：如图，在中，为边上一点，，， 过点作于点， 在中，， 在中，， 在中，，， 所以， 所以，， 则，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，含有角的直角三角形的性质，分母有理化，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 8. 方程的解为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可． 【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2 ∴x2﹣2x﹣3＝0， 解方程得：x1＝3，x2＝﹣1， 检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解， 当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解． 故答案为3． 【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则 9. 一种细菌的半径是米，用科学记数法把它表示为_____米． 【答案】 【解析】 【详解】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 详解： 故答案为 点睛：题目考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法进行表示即可. 10. 用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程化为关于的整式方程可以是 . 【答案】 【解析】 【分析】由题意化，再把换元后的方程去分母即可得到结果. 【详解】由题意得， ∴. 故答案为. 11. 在等腰梯形、正五边形、平行四边形、矩形这4种图形中，任取一种图形，这个图形是中心对称图形的概率是__________ 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：解：根据中心对称图形的概念，知平行四边形、矩形是中心对称图形； 所以现从中随机抽取一张，卡片上画的是中心对称图形的概率为． 故答案为. 考点：概率公式；中心对称图形． 12. 在矩形中，，，点是边上一点（不与、重合），以点为圆心，为半径作，如果与外切，那么的半径的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】分析：先利用勾股定理计算得出AC=13，利用与外切可确定的半径的取值范围. 详解：∵在矩形ABCD中，AB=5，BC=12， ∴AC==13， ∴以点A为圆心AE为半径作，如果与外切，可得的半径r的取值范围是8<r<13. 故答案为8<r<13. 点睛：本题考查了圆与圆的位置关系：关键是根据圆与圆的位置关系进行解答. 13. 在等腰梯形、正五边形、平行四边形、矩形这4种图形中，任取一种图形，这个图形是中心对称图形的概率是__________ 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：解：根据中心对称图形的概念，知平行四边形、矩形是中心对称图形； 所以现从中随机抽取一张，卡片上画的是中心对称图形的概率为． 故答案为. 考点：概率公式；中心对称图形． 14. 近视眼镜的度数度与镜片焦距米呈反比例，其函数关系式为如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数y为______． 【答案】400 【解析】 【详解】分析：把代入，即可算出y的值． 详解：把代入， ， 故答案为400． 点睛：此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单． 15. 如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BM、CM，根据正多边形的性质计算即可． 【详解】解：∵正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上 ∴∠ABC=，∠M=90，AB=BC，AM=MN ∵∠ABC+∠CBM=180° ∴∠CBM=60° ∵AB=4 ∴BC=4 ∴CM=BCsin∠CBM=2 MB=BCcos∠CBM=2 ∴AM=AB+MB=6 ∴MN=AM=6 ∴CN=MN-CM=6-2 故答案：6-2． 【点睛】本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解答本题的关键． 16. 如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P′所在的直线都是经过同一点O，且有OP′=k·OP(k≠0)，那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O叫做位似中心，已知△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，OA′=3OA，则△ABC与△A′B′C′的周长之比是________. 【答案】1:3 【解析】 【详解】分析：根据相似三角形的周长比等于相似比解答． 详解：∵△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，∴△ABC∽△A′B′C′．∵OA′=3OA，∴△ABC与△A′B′C′的周长之比是：OA：OA′=1：3．故答案为1：3． 点睛：本题考查的是位似变换的性质，位似变换的性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 17. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知中，，较短的一条直角边边长为1，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、直角三角形的性质等知识．分三种情况，进行解答即可． 【详解】解：设该直角三角形较短的直角边为，根据题意可知的“有趣中线”有三种可能情况：①若“有趣中线”为斜边上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意； ②若“有趣中线”为边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立； ③若“有趣中线”为另一直角边上的中线，如解图所示，，可设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得， 则这个三角形“有趣中线”长等于． 故答案为： 18. 如图，在菱形ABCD中，AB=a，∠ABC=α．将菱形ABCD绕点B顺时针旋转（旋转角小于90°），点A、C、D分别落在A′、C′、D′处，当A′C′⊥BC时A′D=_____（用含有a和α的代数式表示）． 【答案】2a•cos-a． 【解析】 【详解】试题分析：当A′C′⊥BC时，D'在BC延长线上，据此作出图形，利用三角函数求解． 试题解析：如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴对角线AC⊥BD， 又∵A'C'⊥BC， ∴D'在BC的延长线上． ∵∠ABC=α， ∴BD=2a•cos， 而A'D=BD-BA'=2a•cos-a． 考点：1.菱形的性质；2.旋转的性质． 三．解答题（共78分） 19. 先化简分式（）÷，再从不等式组的解集中取一个非负整数值代入，求原分式的值． 【答案】8． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简所给分式，再解不等式组求出解集，然后从不等式组的解集中取一个使所给分式有意义的非负整数代入计算即可. 【详解】∵＝ ＝3（x+1）﹣（x﹣1）＝2x+4， ∵， 解①得：x≤2， 解②得：x＞﹣3， ∴此不等式组的解集是﹣3＜x≤2； ∴非负整数值有0，1，2， ∵x2﹣1≠0，x≠0， ∴x≠±1且x≠0， ∴当x＝2时，原式＝8． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的运算法则及一元一次不等式组的解法是解答本题的关键. 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元一次方程），解题关键是掌握解分式方程（化为一元一次方程）求解方法． 先去分母，去括号，得到一元一次方程求解，再验根． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得：， 经检验是原分式方程的根． 21. 某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 （1）求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； （2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】（1） （2）共有种租车方案 （3）租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【小问1详解】 租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； 【小问2详解】 ∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； 【小问3详解】 在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 22. 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC． （1）求证：AG＝GH； （2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称， AG⊥BF，推出∠EAH=∠BAD=∠GHA=45°，即可证明AG＝GH； （2）设DF交AH于点N，由折叠性质可知AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH，得出∠DHF=90°，连接BD，证明△ABE≌△BCM，得出BE=CM，根据三角形BDM的面积公式S△BDM=DM•BCM=BM•DH可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处， ∴∠BAG=∠GAF=∠BAF，B，F关于AE对称， ∴AG⊥BF， ∴∠AGF=90°， ∵AH平分∠DAF， ∴∠FAH=∠FAD， ∴∠EAH=∠GAF+∠FAH=∠BAF+∠FAD=（∠BAF+∠FAD）=∠BAD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∴∠EAH=∠BAD=45°， 又∵∠AGF=90°， ∴∠EAH=∠GHA=45°， ∴AG＝GH； 【小问2详解】 解：如图，设DF交AH于点N， ∵AF=AB=AD，∠FAH=∠DAH， ∴AH⊥DF，FN=DN， ∴DH=HF，∠FNH=∠DNH=90°， 又∵∠GHA=45°， ∴∠NFH=45°=∠NDH=∠DHN， ∴∠DHF=90°， 连接BD， 由折叠可知AE⊥BF， ∴∠ABG+∠BAE=90°， ∵∠ABG+∠CBM=∠ABC= 90°， ∴∠BAE=∠CBM， 又∵AB=BC，∠ABE=∠BCM=90°， ∴Rt△ABE≌Rt△BCM， ∴BE=CM=1，AE=BM， ∴DM=2， ∴S△BDM=DM•BC=3， ∵AE2=AB2+BE2， ∴， ∴AE=BM=， ∵S△BDM=BM•DH=3， ∴DH=， 即点D到直线BH的距离为． 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，抛物线 经过点，连接． （1）求a、b的值； （2）求证：是等腰直角三角形； （3）将绕点O顺时针旋转得到，写出的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3），点P不在此抛物线上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点A、B代入抛物线解析式求解即可； （2）作轴于点C，根据点A、B的坐标得到，，从而证明结论即可； （3）将绕点O按顺时针方向旋转得到，求出、的坐标，计算中点坐标，代入抛物线解析式验证即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得：， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如下图，作轴于点C， 点， 点C的坐标为， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 ，点P不在此抛物线上，理由如下： 如下图，将绕点O按顺时针方向旋转， 在中，，， ， 点的坐标为，点的坐标为， 的中点P的坐标为， 当时， ， 点P不在此抛物线上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、图形的旋转、二次函数上点的坐标特点，勾股定理，解题的关键是能够画出旋转后的图形，求出、的坐标，从而得到中点坐标代入抛物线进行验证. 24. 如图，已知⊙O的半径OA的长为2，点B是⊙O上的动点，以AB为半径的⊙A与线段OB相交于点C，AC的延长线与⊙O相交于点D．设线段AB的长为x，线段OC的长为y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）当四边形ABDO是梯形时，求线段OC的长． 【答案】（1），定义域为 （2）OC的长为或 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△OAB，根据相似三角形的性质得出BC，再由OC=OB–BC得出y关于x的函数解析式； （2）由梯形的性质分情况讨论：当ODAB时，由相似三角形对应边成比例得出AB的值，进而得出OC的长；②当BDOA时, 设∠ODA=，由两直线平行内错角相等和等边对等角得到∠ADB=α，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半得到∠AOB=2α，由三角形外交性质和等边对等角得到∠OAB＝∠OBA＝，由三角形内角和定理得到∠BOA＝45°，∠BOD=90°，可得BD值，由三角形相似对应边成比例得y值，进而得到OC长． 【小问1详解】 解：在⊙O与⊙A中，∵OA=OB，AB=AC， ∴∠ACB ＝∠ABC=∠OAB． ∴△ABC∽△OAB． ∴， ∴， ∴， ∵OC=OB–BC， ∴y关于x的函数解析式，定义域为． 【小问2详解】 ①当ODAB时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． ∴AB=，这时ABOD，符合题意. ∴OC=． ②当BDOA时，设∠ODA=， ∵BDOA，OA=OD， ∴∠BDA=∠OAD=∠ODA=， 又∵OB=OD， ∴∠BOA＝∠OBD=∠ODB＝. ∵AB=AC，OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABC=∠ACB=∠COA+∠CAO＝． ∵∠AOB+∠OAB＋∠OBA=180°， ∴， ∴，∠BOA＝45°， ∴∠ODB=∠OBD=45°，∠BOD=90°， ∴BD=， ∵BDOA， ∴， 设，则， ∴，． 由于BDOA，符合题意． ∴当四边形ABDO是梯形时，线段OC的长为或． 【点睛】这是一道综合性很强的题目，涉及到了圆周角定理，圆的性质，三角形内角的性质，平行的性质，相似三角形的性质等内容．当题目中给定四边形是梯形时，但不确定哪组对边是底边，这时候要对梯形的一对平行边分情况讨论． 25. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝16，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G． （1）当圆C经过点A时，求CP的长 （2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长 （3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长． 【答案】（1）10；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，根据，求出BH的长度，得出AH垂直平分BC，由垂直平分线的性质得到AB=AC，从而得到CP=AC即可； （2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CN的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP，再由勾股定理及垂径定理求出EF的长； （3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE＝∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，列出相似比解出AE=6，从而得出EN的值，再由勾股定理即可求出CE的值． 【详解】解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H，联结AC． 在Rt△AHB中，∠AHB＝90°， ∵AB＝10， ∴BH＝8，AH= ∵BC＝16， ∴AH垂直平分BC， ∴AB＝AC＝10， ∵圆C经过点A， ∴CP＝AC＝10， （2）过点C作CM⊥AD，垂足为M， ∵四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC， 若AP//CG， 则四边形APCE为平行四边形， ∵CE=CP， ∴平行四边形APCE是菱形， 联结AC，PE交于点N，则AC⊥PE， ∴AN=CN=， 由（1）可知AC=AB=10，CM=AH=6 ∴AN=CN=5，∠ABC=∠ACB， ∴CP=CE=， 则EF=2EM=， ∴当AP∥CG时，弦EF的长为． （3）∵， ∴∠B﹤45°， 又∵∠BCG﹤90°， ∴∠BGC﹥45°， 又∵∠AEG＝∠BCG≥∠ACB＝∠B， ∴当∠AEG＝∠B时，A、E、G重合， 只能∠AGE＝∠AEG， ∵AD∥BC， ∴△GAE∽△GBC ∴，即，解得 ∴EN＝AN－AE＝2， ∴． ∴圆C的半径长为 【点睛】此题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出△AGE是等腰三角形时只能∠AGE＝∠AEG进而求出是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $