平面向量线性运算的应用奔驰定理讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

奔驰定理 一、引言：向量是重要的数学概念，既有大小（模）又有方向（角）的它在代数和几何的运算中灵活多变，是数形结合的典型代表. 当向量和三角问题结合时,产生了一类重要的且有难度的问题—“奔驰定理问题” , 此类题属于选择、填空题、解答题证明问题中的压轴类，虽然不一定是唯一的解法，但是运用结论可以快速解题。 二、定理原理：O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：SA+SB+SC=0. 三、定理证明：如图，延长AO与BC相交于点D，=====，记=λ，则=λ，即-=λ(-)，所以-(1+λ)++λ=0， 又=-=-，所以++=0，从而SA+SB+SC=0. 四、常见命题方向和二级结论： 1.奔驰定理和内心，外心，垂心，重心的关系 2. （1）：P是△ABC所在平面内任意一点(其中a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)，O是△ABC的内心⇔=. （2）：P是锐角△ABC所在平面内任意一点，=⇔O是锐角△ABC的外心. 3）P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔=. （4）：P是△ABC所在平面内任意一点，=++)⇔G是△ABC的重心. 五、典例： 例1. 已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为，，，所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得，所以根据“奔驰定理”有， 所以，即， 所以，． 例2. 如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 解析： 【思路】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【详解】因为，所以，所以，所以，同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，，所以， 又，所以，又，所以，故②不正确； 由②知，，延长交于点，   所以 ， 同理可得，所以， 所以，故③正确； 由，，则 ， 同理，所以， 又，则，故④正确.故正确为：①③④. 例3: 奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 解析：【思路】取的中点D，连接，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A；设内切圆半径为，从而可用表示出，再结合奔驰定理即可判断B；设的外接圆半径为，由圆心角和圆周角的关系可得，从而可用表示出，进而即可判断C；延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，则，所以， 进而即可求，从而即可判断D． 【详解】对于A：取的中点D，连接， 由，则，所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确； 对于B：由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有， 所以，即，故B正确； 对于C：由为的外心，则可设的外接圆半径为， ，则有， 所以，， ，所以，故C错误； 对于D：如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E， 由为的垂心，，则，又，则，，设，则，所以，即，所以，所以，故D正确．故选：C． 【反思】解答D选项的关键是通过做辅助线（延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，），根据题意，结合奔驰定理得到，，从而可设，则，由，得，进而即可求． 例4: 已知点G，O，H在△ABC所在平面内，满足++=0，||=||=||，·=·=·，则点G，O，H依次为△ABC的(　　) A.重心、外心、内心 B.重心、内心、外心 C.重心、外心、垂心 D.外心、重心、垂心 解析：因为++=0，所以+=-，设AB的中点为D，则+=2，所以-=2，所以C，G，D三点共线，即G为△ABC的中线CD上的点，且GC=2GD， 所以G为△ABC的重心；因为||=||=||，所以OA=OB=OC，所以O为△ABC的外心； 因为·=·=·，所以·(-)=0，即·=0，所以⊥，同理可得⊥，⊥，所以H为△ABC的垂心. 例5: 若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，且平面内的动点P满足=+λ，λ∈[0，+∞)，则点P的轨迹经过△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.垂心 D .重心 解析：　·=·+λ·=·+λ(-||+||)=·，则·-·=0， 即·=0，故AP⊥BC，即点P的轨迹经过△ABC的垂心. 学科网（北京）股份有限公司 $ 奔驰定理 一、引言：向量是重要的数学概念，既有大小（模）又有方向（角）的它在代数和几何的运算中灵活多变，是数形结合的典型代表. 当向量和三角问题结合时,产生了一类重要的且有难度的问题—“奔驰定理问题” , 此类题属于选择、填空题、解答题证明问题中的压轴类，虽然不一定是唯一的解法，但是运用结论可以快速解题。 二、定理原理：O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：SA+SB+SC=0. 三、定理证明：如图，延长AO与BC相交于点D，=====，记=λ，则=λ，即-=λ(-)，所以-(1+λ)++λ=0， 又=-=-，所以++=0，从而SA+SB+SC=0. 四、常见命题方向和二级结论： 1.奔驰定理和内心，外心，垂心，重心的关系 2. （1）：P是△ABC所在平面内任意一点(其中a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)，O是△ABC的内心⇔=. （2）：P是锐角△ABC所在平面内任意一点，=⇔O是锐角△ABC的外心. (3)P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔=. （4）：P是△ABC所在平面内任意一点，=++)⇔G是△ABC的重心. 五、典例： 例1. 已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例2. 如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）    ①是的垂心；②；③；④ 例3: 奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 例4: 如图示，已知点G，O，H在△ABC所在平面内，满足++=0，||=||=||，·=·=·，则点G，O，H依次为△ABC的(　　) A.重心、外心、内心 B.重心、内心、外心 C.重心、外心、垂心 D.外心、重心、垂心 例5: 若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，且平面内的动点P满足=+λ，λ∈[0，+∞)，则点P的轨迹经过△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.垂心 D .重心 学科网（北京）股份有限公司 $