福建省厦门外国语学校2024-2025学年高二上学期期末复习数学练习三
厦门外国语学校期末复习练习三：空间向量3
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一、单选题
1．在长方体
中，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在圆锥
中，
，
为底面圆的两条直径，
，且
，
，
，异面直线
与
所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．二面角
的大小为
，
和
是两条异面直线，且
，
则与所成的角的大小（ ）
A． B．
C．
D．
4．已知直线
过定点
，且方向向量为
，则点
到的距离为（ ）
A．
B． C．
D．
5．如图，在正三棱柱
中，若
，则
与
所成角的大小为（ ）．
A．60° B．90° C．105° D．75°
6．已知
、
、
分别是正方形
边
、
及对角线
的中点，将三角形
沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线
与平面
所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线
，
的方向向量分别是
，
，则
B．两个不同的平面
，
的法向量分别是
，
，则
C．直线的方向向量
，平面的法向量是
，则
D．直线的方向向量
，平面的法向量是
，则
8．在棱长为a的正方体
中，
分别是
的中点下列说法正确的是（ ）
A．四边形
是菱形 B．直线
与
所成的角的余弦值是
C．直线与平面所成的角正弦值是
D．面与面所成角的正弦值是
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9．如图四棱锥
，平面
平面，侧面
是边长为
的正三角形，底面为
矩形，
，点
是
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
平面 B．
与平面
所成角的余弦值为
C．三棱锥
的体积为
D．异面直线
与所成的角的余弦值为
三、填空题
10．平面与平面夹角为
，与的交线上有A，B两点，直线AC，BD分别在平面与内，且都垂直于AB.已知
，则CD的长为__________.
11．已知平面和平面的法向量分别为
，
，且，则
___________．
12．如图所示，在正方体中，点为线段的中点，点在线段上移动，异面直线
与所成角最小时，其余弦值为________.
四、解答题
13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且
，平面PCD⊥平面ABCD，
，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点．
（Ⅰ）求证：平面
平面PBC；
（Ⅱ）设二面角
的平面角为
，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
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14．如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
，若为的中点.
（1）证明：
平面；
（2）求异面直线和所成角；
（3）设线段上有一点
，当
与平面
所成角的正弦值为
时，求
的长.
15．如图，在三棱锥
中，
，
，为的中点．
（1）证明：
平面；
（2）若点在棱上，且二面角
为
，求与平面
所成角的正弦值．
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