精品解析：2025年湖北省中考数学押题卷（五）

2025年湖北省中考数学押题卷（五） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小明的爸爸买了一种股票，每股元，如表记录了该股票一周内的涨跌情况(用正数记股价比前一日的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数)，该股票这五天中的最高价在（ ） 星期 一 二 三 四 五 股票涨跌(元) A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 2. 如图是一个由三个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 古希腊数学家埃拉托色尼发现，如图，夏至正午时分太阳光线直射进点处塞尼城的一口深井，说明太阳光线过圆心．而同一经度上另外一点处的亚历山大城一个方尖塔却会投影下一定长度的阴影，他测得方尖塔与太阳光线的夹角为，方尖塔延长线经过圆心．由太阳光线是平行光线，得到深井延长线和方尖塔延长线所夹圆心角的度数．因而得到球周长约为（接近真实值）．埃拉托色尼计算地球周长时用到的原理是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行 5. 下图中数轴上表示的是哪个不等式组的解集（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 将油滴入水中，油会浮在水面 B. 随意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是 C. 抛出的篮球会下落 D. 任意买一张电影票，座位号是的倍数 7. 《九章算术》是世界数学史上首次正式引入负数的一部中国古代数学著作．书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果海平面以上50米记作“米”，那么海平面以下80米记作（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 下列说法正确的是（ ） A. 圆周角相等，则它们所对的弧相等 B. 同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的一半 C. 对于函数，随的增大而减小 D. 各有一个角是的两个等腰三角形相似 9. 如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 点，是抛物线是常数，且上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11 比较大小：_______．(填“”“”或“”) 12. 一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是______ ．      班级 节次 1班 2班 3班 4班 第1节 语文 数学 外语 化学 第2节 数学 政治 物理 语文 第3节 物理 化学 体育 数学 第4节 外语 语文 政治 体育 13. 若，则___________． 14. 一次越野跑中，小明和小刚同时出发，当小明跑了米时，小刚跑了米，此后两人分别以a米/秒、b米/秒的速度匀速跑，他们之间的距离y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为______米． 15. 如图，在轴上有，两点，点为轴右侧一动点，且．将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为______． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 如图，和中，，，，求证：． 18. 一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，） 19. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【问题解决】 （1） ______ ， ______ ， ______ ； （2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大” 同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 以上两位同学的说法中，合理的是______ 同学； （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求，的值； （2）已知点，过点作平行于轴直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 21. 如图，在中，，点斜边上一点，连接，以为直径作，分别交，于，两点，连接交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径及的长． 22. 某汽车测试机构对一款新型汽车的刹车性能进行测试，发现刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系，并记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y（单位：m） 0 27 48 63 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式； （2）当刹车后行驶距离最远时，汽车完全停止．若驾驶员驾驶该种新型汽车行驶在高速公路上时，发现正前方80m处有一辆出现故障的汽车停在路面上，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到出现故障的汽车？试说明理由． 23. 阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ （1）【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： （2）【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： （3）【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值； （2）过点作轴的平行线交抛物线于另一点，在直线上任取一点，作点关于直线的对称点； ①当点恰好落在轴时，求直线的表达式； ②连结，求的最小值(直接写出答案)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省中考数学押题卷（五） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小明的爸爸买了一种股票，每股元，如表记录了该股票一周内的涨跌情况(用正数记股价比前一日的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数)，该股票这五天中的最高价在（ ） 星期 一 二 三 四 五 股票涨跌(元) A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的加法法则，可得每天的价格，根据有理数的大小比较法则，可得答案． 此题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，理清题目中的正数与负数的意义是解答本题的关键． 【详解】解：周一：元， 周二：元， 周三：元， 周四：元， 周五：元， ， 最高价格是元， 故选：． 2. 如图是一个由三个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据主视图是从正面看得到的视图解答． 【详解】解：从正面看，从左向右共有2列，第一列是2个正方形，第二列是1个正方形，且下齐． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘法则，零指数幂以及二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘法则，零指数幂以及二次根式的性质等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． 4. 古希腊数学家埃拉托色尼发现，如图，夏至正午时分太阳光线直射进点处塞尼城的一口深井，说明太阳光线过圆心．而同一经度上另外一点处的亚历山大城一个方尖塔却会投影下一定长度的阴影，他测得方尖塔与太阳光线的夹角为，方尖塔延长线经过圆心．由太阳光线是平行光线，得到深井延长线和方尖塔延长线所夹圆心角的度数．因而得到球周长约为（接近真实值）．埃拉托色尼计算地球周长时用到的原理是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据太阳光线是平行光线，得出，根据，可得用到的原理是两直线平行，内错角相等，据此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴圆心角 ∴用到的原理是：两直线平行，内错角相等 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5. 下图中数轴上表示的是哪个不等式组的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，根据数轴得到不等式的解集为，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，不等式组的解集为； 故满足题意的只有； 故选D． 6. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 将油滴入水中，油会浮在水面 B. 随意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是 C. 抛出的篮球会下落 D. 任意买一张电影票，座位号是的倍数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解题关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别分析四个选项中事件，再作判断． 【详解】解：将油滴入水中，油会浮在水面是必然事件，故A错误； 随意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是，是不可能事件，故B错误； 抛出的篮球会下落是必然事件，故C错误； 任意买一张电影票，座位号是的倍数是随机事件，故D正确； 故选：D． 7. 《九章算术》是世界数学史上首次正式引入负数的一部中国古代数学著作．书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果海平面以上50米记作“米”，那么海平面以下80米记作（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际应用．解题的关键在于理解题意．根据正负数的表示方法进行求解即可． 【详解】解：由题意知，海平面以下80米记作米， 故选：C． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 圆周角相等，则它们所对的弧相等 B. 同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的一半 C. 对于函数，随的增大而减小 D. 各有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据圆心角、弧、弦的关系，反比例函数的性质，相似三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：、在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对的弧相等故错误； B、同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的倍，故错误； C、对于函数，在同一象限内，随的增大而减小，故错误； D、各有一个角是的两个等腰三角形相似，故正确； 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的变化，掌握旋转，平移的性质是关键． 根据旋转，平移的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据题意，， 如图所示， 将线段先绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，再将线段向下平移得到线段，点的对应点为点，即点变换后的对应点的坐标是， ∴旋转后向下平移了4个单位， ∴， 故选：D ． 10. 点，是抛物线是常数，且上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练知识点是解题的关键． 根据二次函数开口方向，与轴的交点，与轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：抛物线是常数，且， 当时，， 抛物线与轴的交点是， 故结论①正确，此结论符合题意； 抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； ，是抛物线上的两个点，， 、两点关于对称轴对称， ， ， 而抛物线与轴的交点是， ， 故结论③正确，此结论符合题意； 抛物线是常数，且， 抛物线的开口向上， 在对称轴的右侧的函数图像，随的增大而增大， ， ，两点位于对称轴的右侧， ， 故结论④错误，此结论不符合题意； 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：_______．(填“”“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，去绝对值等知识，先去绝对值，再化成同分母比较大小即可，掌握有理数大小比较的常见方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 12. 一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是______ ．      班级 节次 1班 2班 3班 4班 第1节 语文 数学 外语 化学 第2节 数学 政治 物理 语文 第3节 物理 化学 体育 数学 第4节 外语 语文 政治 体育 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式可得答案． 【详解】由表可知，当天上午九年级的课表中听一节课有16种等可能结果，其中听数学课的有3种可能， ∴听数学课的可能性是， 故答案为 【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义时解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比． 13. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确推出是解题的关键． 14. 一次越野跑中，小明和小刚同时出发，当小明跑了米时，小刚跑了米，此后两人分别以a米/秒、b米/秒的速度匀速跑，他们之间的距离y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，二元一次方程组的应用，读懂函数图象并获取准确的等量关系，列出方程组是解题的关键．由图和题意可知：不妨设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，又过秒时，小刚追上小明，秒时小刚到达终点，秒时小明到达终点，由此列出方程组求得、，进一步求得答案即可． 【详解】解：设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，由题意得 ， 解方程组得． 所以全程米． 故答案为： 15. 如图，在轴上有，两点，点为轴右侧一动点，且．将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以为一边在的上方作等边，连接，依题意得，，则，，由旋转的性质得是等边三角形，则，，进而得，由此可依据“”判定和全等得，再根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最大值． 【详解】解：以为一边在的上方作等边，连接，如图所示： 点，点， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点，，共线时，为最大，最大值是． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及负整数指数幂，二次根式的性质等，熟练掌握运算法则是解题的关键．先化简二次根式，计算负整数指数幂和化简绝对值，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 17. 如图，和中，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据证明即可得出结论． 【详解】证明：， ，即， 在与中， ， ， ． 18. 一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，） 【答案】轮船继续向东航行没有触礁的危险 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 过点C作于点D，，海里，推出，则海里，再得出，则海里，根据勾股定理可得：（海里），即可得出结论． 【详解】解：过点C作于点D， 由题意可知，，海里， ∴， ∴， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∵， ∴轮船继续向东航行没有触礁的危险． 19. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【问题解决】 （1） ______ ， ______ ， ______ ； （2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大” 同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 以上两位同学的说法中，合理的是______ 同学； （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】（1），， （2）B （3）可能来自荔枝，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据算术平均数、中位数和众数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据树叶的长宽比判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、， 故； 片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：∵， ∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理； ∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， ∴B同学说法合理． 故答案为：B； 【小问3详解】 解：这片树叶更可能来自荔枝，理由如下： ∵一片长，宽的树叶，长宽比接近， ∴这片树叶更可能来自荔枝． 【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数图象与直线交于点． （1）求，的值； （2）已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）①，见解析；②或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，二次函数与一元二次方程，解题的关键利用数形结合思想解决问题． （1）将点代入中即可求出的值，然后将的坐标代入反比例函数中即可求出的值． （2）①当时，分别求出、两点的坐标即可求出与的关系； ②先求出，由于，从而可知，再根据图像法解一元二次不等式即可求出的范围． 【小问1详解】 解：将代入， ， ， 将代入， ． 【小问2详解】 解：①如图， 当时，， 令，代入，得， ， ， ， 把代入得，， ， ∴， ． ②将代入，得， ∴， ∴， 将代入 ，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 或， ， 整理得或， 设， 令得， 解得或， 当时，或， ， ， 同理可得，当时，， 综上所述：或． 21. 如图，在中，，点为斜边上一点，连接，以为直径作，分别交，于，两点，连接交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径， 【解析】 【分析】（1）先证明，即可证出，由，，可证，继而证得即可得证． （2）连接、，过点作于点，易证，利用直角三角形的边角关系，和三角形的面积公式，可求出，在中，利用勾股定理求出，继而在可用求出直径，即可求半径；在中，利用，可求出从而可知，通过的面积可求出，由勾股定理可求出，通过证，即可求出长． 小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵是的直径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接、，如图 ∵， ∴，， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， ∴， ∴， ∴．即的半径为． 过点作于点， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质及判断，直角三角形的性质，勾股定理，三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，在解决切线问题时，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 某汽车测试机构对一款新型汽车的刹车性能进行测试，发现刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系，并记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y（单位：m） 0 27 48 63 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式； （2）当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．若驾驶员驾驶该种新型汽车行驶在高速公路上时，发现正前方80m处有一辆出现故障的汽车停在路面上，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到出现故障的汽车？试说明理由． 【答案】（1） （2）该车在不变道的情况下不会撞到拋锚的车，见解析 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，准确求出函数解析式是关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由（1）得：，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 由表格可设关于的函数解析式为， ， 解得：， 答：关于的函数解析式为； 【小问2详解】 该车在不变道的情况下不会撞到拋锚的车， 由（1）得：， ， 抛物线开口向下， 对称轴是， 当时，汽车行驶距离最大，此时， 米米 答：该车在不变道的情况下不会撞到拋锚的车． 23. 阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ （1）【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： （2）【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： （3）【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值； （2）过点作轴的平行线交抛物线于另一点，在直线上任取一点，作点关于直线的对称点； ①当点恰好落在轴时，求直线的表达式； ②连结，求的最小值(直接写出答案)． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，对称的性质，动点轨迹等，解题的关键是分析出点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆． （1）利用待定系数法，将点代入即可求出的值； （2）①当点恰好落在轴上时，分点在点的左侧和右侧两种情况讨论，先求出的长度，再利用对称的性质及平行线的性质证明，得出的长度，写出点坐标，即可求出直线的表达式； ②由题意可知，随着点在直线上运动，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，连接，当点在与的交点处时，的值最小，先求出点坐标，再求出长度，减去的长度，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点 ∴把点代入，得，， 解得，； 【小问2详解】 解：①当点恰好落轴上时，设直线与轴交于点， ， ，， 在中，， 如图，当点在点左侧时， 点与点关于对称， ，， 又， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 将代入， 得，， 解得，， ； 如图，当点在点右侧时， 同理可证，， ， ， 将点代入，得，， ， ； 综上所述，，或； 如图，由题意可知，随着点在直线上运动，点轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 连接，当点在与的交点处时，的值最小， 在中， 当时，， 解得或， ， ， ， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $