精品解析：天津市南开大学2025级新生入学考试（伯苓班、卓越班二次选拔考试）数学试题

南开大学2025级二次选拔 1. 求的最小正周期. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用降幂公式化简函数，再求函数的最小正周期. 【详解】， 最小正周期为. 2. 集合，集合，若，求的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的关系，列出不等式求的取值范围. 【详解】因为，所以对有，故且，解得，故. 3. 求渐近线夹角为的双曲线的离心率. 【答案】或 【解析】 【分析】以双曲线的中心为原点，焦点所在直线为轴，建立平面直角坐标系，故可设双曲线方程为，求双曲线的渐近线方程，由条件可求，结合离心率的定义求结论. 【详解】如图以双曲线的中心为原点，焦点所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 故可设双曲线方程为， 故双曲线的渐近线方程为. 因为两渐近线的夹角为，所以直线的倾斜角为或， 所以或. 当时，双曲线的离心率， 当时，双曲线的离心率. 所以双曲线的离心率为或. 4. ，试比较与大小. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质化简即可比较它们的大小. 【详解】令，则，，，. 故. 5. 棱长为1的正方体中，，求四面体的体积. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：先建系，求出相关点和向量的坐标，再求得的三边长，推出，计算其面积，再求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出点到平面的距离，结合三棱锥的体积公式计算即得.方法二 ：先建系，利用向量的点乘与叉乘关系结合四面体的体积公式求解. 【详解】 如图以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 因，则可得：， 则， ， 在中，因，故 ， 则的面积为 设平面的法向量为， 则，故可取， 因点到平面的距离为， 故四面体的体积为. 方法二：如图建立空间直角坐标系， 则， 因，则可得：， 则， , 故. 6. 数列中，，求. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，化简整理可得为等差数列，根据公式，可得，代入数据，即可得答案. 【详解】因为， 所以，即， 又，则， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 所以，所以. 7. 复数满足，求. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合复数模长公式计算即可得. 【详解】设，则，， 所以，故， 则，故. 8. 求中的系数. 【答案】15 【解析】 【分析】利用组合的相关知识分类讨论计算即可. 【详解】设为选的次数，为选的次数，为选1的次数，则， 所以或， 那么中的系数为：. 9. 正三棱柱中任选两条棱，求这两条棱互为异面直线的概率. 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型的概率计算公式可得结果. 【详解】异面直线对数：上下底棱之间共对，对应边平行的有3对，故有6对异面直线； 上底棱与侧棱有3对异面直线；下底棱与侧棱有3对异面直线，故总共有12对异面直线. 所以正三棱柱中任选两条棱，这两条棱互为异面直线的概率. 10. 等腰梯形的各边和对角线的长均为整数，求它的周长的最小值. 【答案】11 【解析】 【分析】结合等腰梯形的几何性质,借助等腰梯形的高得到上底、下底、腰长、对角线长的关系，利用它们都是整数，进行分类讨论，得到其取值情况，从而得到相应的周长，得到周长的最小值. 【详解】设上底长，下底长，腰长，高，对角线长为，则,且则①，②，周长为. 若,由②得代入①得与为整数矛盾. 若,由②得,所以可能取,即或或. 当，代入①得，周长为11. 当，不存在正整数使为完全平方数； 当，无正整数使为完全平方数 当时，假设该等腰梯形的周长不大于11，则 因为，所以有“”、“”、“”、“”四种情况. 当时，所以，不是整数，不合题意. 当时，所以，不是整数，不合题意. 当时，所以，不是整数，不合题意. 当时，所以，不是整数，不合题意. 所以假设不成立，所以当时，该等腰梯形的周长大于11. 综上所述，满足条件的等腰梯形的周长最小值为11. 11. 正四面体中，，求直线与夹角的余弦值. 【答案】 【解析】 【分析】根据对角线向量定理和向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】对角线向量定理， 设正四面体棱长为3，则， 设直线与夹角为， 则. 12. 已知，求的下确界. 【答案】0 【解析】 【分析】设，分类讨论的正负，同正时利用基本不等式计算最值，同负时，利用指数函数的性质及同正时的结论计算范围即可. 【详解】令，则，可知同号，分类讨论如下： ①， ②，令， 则，可知， 综上所述：的下确界为0. 13. 抛物线与直线交于两点，，若外接圆的圆心在上，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】设，联立与，利用设而不求法可得，设外接圆方程为，联立与圆的方程，设圆与抛物线的第四个交点横坐标为，结合条件可得，求的垂直平分线，与联立可求圆心坐标，再求方程，代入圆心坐标可求. 【详解】设， 联立，消可得， 方程的判别式，故， 因为是方程的根， 所以， 设外接圆方程为， 将代入，可得， 所以， 由已知，都是圆与抛物线的交点， 设圆与抛物线的第四个交点横坐标为， 所以都是方程的解， 故恒成立， 比较方程左侧与右侧的项的系数可得，又， 所以，故圆也经过原点， 的垂直平分线方程为， 直线与的交点为， 所以的外接圆的圆心为，故， 又的垂直平分线方程为，， 所以的垂直平分线方程， 将代入得 所以. 14. 等差数列，等比数列满足，，前项和为，求 【答案】 【解析】 【分析】根据等差、等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，化简即可求和. 【详解】，，， 则 . 所以. 15. 证明存在成等差数列. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，转化为证明在内有解，再根据三角函数的性质，设，转化为关于的方程，利用方程与函数的关系，结合零点存在性定理，即可证明. 【详解】因为存在成等差数列. 所以只需证明在内有解. 方程转化为，设代入方程得： ， 令， 在区间上连续，由零点定理知存在 使得，即在内有解.证毕 16. 已知的左焦点为上一动点，射线与交于点，点在的切线与点在的切线交于点，求证：点的横坐标为定值. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】方法一：先将直线的方程表示出来，联立直线方程组即可求出点的横坐标为0. 方法二：设，根据已知条件列出等式，然后求得直线的方程，最后联立方程组即可得到结果. 【详解】法一：设，令 则，，联立方程解得 因有①， 将代入①得（因）代入（）得 法二：设，令 则①代入得 又，则，代入①得② ，将②代入得，整理得 ③，又④，联立③④得 因，故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开大学2025级二次选拔 1. 求的最小正周期. 2. 集合，集合，若，求的取值范围. 3. 求渐近线夹角为的双曲线的离心率. 4. ，试比较与大小. 5. 棱长为1的正方体中，，求四面体的体积. 6. 数列中，，求. 7. 复数满足，求. 8. 求中的系数. 9. 正三棱柱中任选两条棱，求这两条棱互为异面直线的概率. 10. 等腰梯形的各边和对角线的长均为整数，求它的周长的最小值. 11. 正四面体中，，求直线与夹角的余弦值. 12. 已知，求的下确界. 13. 抛物线与直线交于两点，，若外接圆的圆心在上，求的值. 14. 等差数列，等比数列满足，，前项和为，求 15. 证明存在成等差数列. 16. 已知的左焦点为上一动点，射线与交于点，点在的切线与点在的切线交于点，求证：点的横坐标为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $