精品解析：吉林省白城市洮北区白城市第一中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题

吉林省白城市洮北区白城市第一中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ） A B. π C. D. 2π 2. 若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，p是q的充分条件的是（ ） A. ， B. ，且 C. ， D. ， 4. 已知α满足sinα＞0，tanα＜0，化简表达式cos-为 A. B. C. D. 5. 下列哪些数据一般是通过试验获取的（ ） A. 1988年济南市的降雨量 B. 2019年新生儿人口数量 C. 某学校高一年级同学的数学测试成绩 D. 某种特效中成药的配方 6. 某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ） A y＝ax＋b B. y＝ax2＋bx＋c C. y＝aex＋b D. y＝aln x＋b 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱的每个轴截面都是全等的矩形 B. 棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C. 棱台的侧面是梯形 D. 用一个平面截一个球，得到截面是一个圆面 8. 当时，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题．每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 幂函数是奇函数 B. 幂函数是偶函数 C. 幂函数既是奇函数又是偶函数 D. 幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 10. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为__________；总样本的方差为__________. 13. 已知向量共线，且，则______． 14. 下列函数表达式中，对数函数的个数有__________.①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数在处取得最值，其中. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求. 16. 某次考试后，年级组抽取了100名同学数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图． （1）根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位； （2）已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差． 17. 某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设. （1）试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （2）根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值. 18. （1）计算：； （2）已知：，求 19. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上， ． （1）求，，； （2）请用描述法写出满足方程的解集； （3）解不等式； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省白城市洮北区白城市第一中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ） A. B. π C. D. 2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为的时间，，，即可得，可求参数. 【详解】由正弦型函数的性质，函数示意图如下： 所以，则，可得. 故选：B 2. 若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】由扇形面积公式即可求解； 【详解】， 故选：C. 3. 下列命题中，p是q的充分条件的是（ ） A. ， B. ，且 C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 利用充分性的概念逐一判断即可. 【详解】解：A：，故p是q的充分条件； B：且，故p不是q的充分条件； C：或，故p不是q的充分条件； D：当时，若，则不能推出，故p不是q的充分条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分性的判断，是基础题. 4. 已知α满足sinα＞0，tanα＜0，化简表达式cos-为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用已知条件求出cosα＜0，进一步对函数的关系式进行变换．最后化简求出结果． 【详解】α满足sinα＞0，tanα＜0，则cosα＜0， cos-， =-|sinα-cosα|， =-（1-sinα）-（sinα-cosα）， =cosα-1． 故选D． 【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变变换，三角函数的符号的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 5. 下列哪些数据一般是通过试验获取的（ ） A. 1988年济南市的降雨量 B. 2019年新生儿人口数量 C. 某学校高一年级同学的数学测试成绩 D. 某种特效中成药的配方 【答案】D 【解析】 【分析】根据数据特点求解. 【详解】A.B.C. 直接统计即可. D. 某种特效中成药的配方的数据只能通过试验获得. 故选：D 【点睛】本题主要考查抽样获取方法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 6. 某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ） A. y＝ax＋b B. y＝ax2＋bx＋c C. y＝aex＋b D. y＝aln x＋b 【答案】B 【解析】 【分析】从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，依此可得出答案. 【详解】从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，所以该函数模型是二次函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势，属于基础题. 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱的每个轴截面都是全等的矩形 B. 棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C. 棱台的侧面是梯形 D. 用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的定义和性质，即可判断选项. 【详解】A.圆柱的每个轴截面都是全等的矩形，故A正确； B.正四棱柱的相对侧面也互相平行，故B错误； C.棱台的侧面是梯形，故C正确； D. 用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故D正确. 故选：B 8. 当时，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题化为时能成立，根据解析式判断右侧的区间单调性求最小值，即可得范围. 【详解】因为，所以不等式可化为， 因为在上为减函数，则当时有最小值， 所以的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题．每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 幂函数是奇函数 B. 幂函数是偶函数 C. 幂函数既是奇函数又是偶函数 D. 幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据各项对应幂函数的解析式求定义域，再结合函数奇偶性的定义判断正误，即可得. 【详解】由定义域为，且，即为奇函数，所以A正确； 由的定义域为R，且，即为偶函数，所以B正确； 由的定义域为R，且不恒成立，不是偶函数，所以C不正确； 由的定义域为，显然定义域不关于原点对称，即为非奇非偶函数，所以D正确． 故选：ABD 10. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】画出树状图，结合图形及古典概型逐项分析判断. 【详解】画出树状图，结合图形 结合树状图可知：， 对于选项A：可知，故A正确； 对于选项B： 均有，故B正确； 对于选项C：因为，不经过数字5的路线有9条，所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：ABC. 11. 如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为__________；总样本的方差为__________. 【答案】 ① 54 ②. ## 【解析】 【分析】利用分层抽样的平均数与方差的计算公式代入计算，即可求解. 【详解】设分别为总样本均值和方差， 则， ， 故答案为：；. 13. 已知向量共线，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】借助向量共线，分向量同向与反向计算即可得. 【详解】由向量共线，故向量可能同向、可能反向， 当向量同向时，由，则， 当向量反向时，由，则. 即可能为或. 故答案为：或. 14. 下列函数表达式中，对数函数的个数有__________.①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据对数函数定义判断． 【详解】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数； 由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数； 由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数； 由于⑥中，⑥是对数函数； 同时③④符合对数函数的定义． 故答案为：3． 【点睛】本题考查对数函数的定义，属于基础题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数在处取得最值，其中. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：(I)借助题设条件运用三角变换公式及周期公式求解；(II)依据题设运用三角变换公式及诱导公式探求. 试题解析： （Ⅰ） ∵在处取得最值，∴， ∴， ∵，∴当时，， ∴， ∴. （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，得到 再将图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到 故 可解： 因为为锐角，所以 因此 故 . 考点：三角变换公式、周期公式及诱导公式等有关知识的综合运用． 16. 某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图． （1）根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位； （2）已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差． 【答案】（1），平均数为76.50分，中位数为77.14分 （2）平均数87.5分，方差30.25． 【解析】 【分析】（1）根据频率和为列方程求，然后直接求解平均数和中位数即可； （2）先求出平均数，在利用方差公式计算方差即可. 【小问1详解】 依题意，，得， 各组的频率依次为， 平均数为分， 中位数为分． 【小问2详解】 分数在区间内的人数为， 分数在区间内的人数为， 所以成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分， 方差为. 17. 某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设. （1）试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （2）根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值. 【答案】（1），定义域为 （2）或 【解析】 【分析】（1）分别用表示出,,用勾股定理即可得,从而得到周长表达式，当点F在D处，点E在C处时，可得到的范围，即定义域； （2）令根据总长500米，即可求得值，然后利用平方和为1即可得到答案. 【小问1详解】 在中，，所以， 在中，，所以， 又因为，所为， 所以， 当点F在D处时，最大，此时， 当点E在C处时，最小，此时， 故定义域为. 【小问2详解】 由（1）得， 令， 则， 令，可得， 所以， 又因为， 所以或. 18. （1）计算：； （2）已知：，求. 【答案】（1）2；（2）2 【解析】 【分析】（1）利用指数、对数运算法则计算即得. （2）利用正余弦齐次式法变形求解方程即可. 【详解】（1）原式. （2）由题意， ， 则，即，解得， 又，即，则舍去， 所以. 19. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上， ． （1）求，，； （2）请用描述法写出满足方程的解集； （3）解不等式； 【答案】（1），，. （2）为大于1的正整数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由的定义可求得，，. （2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解. （3）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解. 【小问1详解】 因为， 所以，，. 小问2详解】 依题意，， 当时，，则方程无解， 当为内的无理数时，，则方程无解， 当（，，为既约真分数）时，则，为大于的正整数. 则由方程，解得，为大于的正整数， 综上，方程，的解集为为大于的正整数. 【小问3详解】 若或或为内无理数时，， 而，此时， 若（，，为既约真分数）， 则，为大于的正整数， 则，得，解得， 又因为（，，为既约真分数），所以，， 综上，等式的解为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $