3.6.3 余角和补角 课件 2025-2026学年华东师大版（2024）七年级 数学上册

该初中数学课件聚焦余角和补角的概念及性质，通过观察三角尺非直角和为90°导入，结合量角器测量具体角的度数，搭建从直观到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实素材，通过“思考一下”引导推理培养“数学思维”，用几何语言规范表述及实际测量问题强化“数学语言”应用。实例丰富如围墙角度测量，助力学生理解概念本质，教师可高效开展教学。

3.6.3 余角和补角 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 学习目标 1.理解并掌握余角和补角的概念，知道互为余角，互为补角的意义（重点） 2.在具体的情境中掌握余角和补角的性质，能运用余角与补角的性质解决实际问题（难点） 新课导入 观察一下我们的三角尺，每块都有一个角是90°，而其他的两个角，一块是30°与60°，另一块都是45°，它们的和都是90°. 45° 45° 30° 60° 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 新课学习 在图中, 用量角器量一量两组图中各角的大小, 发现也有这样的特殊关系. 20° 70° 50° 40° ∠1＋∠2＝90° 1 2 ∠α＋∠β＝90° α β 新课学习 余角的概念 两个角的和等于90°(直角), 就说这两个角互为余角 , 简称互余. 1 2 如上图，∠1+∠2=90°，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角，∠1与∠2互为余角. 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 新课学习 反过来, 如果两个角互余, 那么把这两个角如图那样拼在一起的话, 就构成一个直角. O A D C 1 2 几何语言 因为∠1 与∠2 互余， 所以 ∠1 +∠2 = 90° 或 ∠1 = 90° -∠2，或 ∠2 = 90° -∠1. 因为∠1 +∠2 = 90°， 所以∠1 与∠2 互余. 新课学习 补角的概念 如果两个角的和等于180°(平角), 就说这两个角互为补角, 简称互补. 1 2 如上图，∠1+∠2=180°，∠1与∠2互为补角. 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 新课学习 几何语言 3 4 因为∠3 与∠4 互补， 所以 ∠3 +∠4 = 180° 或 ∠3 = 180° -∠4，或 ∠4 = 180° -∠3. 因为∠3 + ∠4 = 180°， 所以∠3 与∠4 互补. 新课学习 思考一下：如果∠1 与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3 有什么关系？ ∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90° ∠1=90°-∠2=∠3=90°-∠4 同角或等角的余角相等 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 新课学习 思考一下：如果∠1 与∠2互补，∠3与∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3 有什么关系？ ∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180° ∠1=180°-∠2=∠3=180°-∠4 同角或等角的互补相等 新课学习 例3：已知∠α=50°17′，求∠α的余角和补角. ∠α的余角=90°-50°17′=39°43′， ∠α的补角=180°-50°17′=129°43′. 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 新课学习 练一练：要测量两堵墙所成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量? O A B C 延长AO至C， ∠AOB=180°-∠BOC， 所以只需测量出∠BOC的度数即可. 新课学习 练一练：如图，点O是直线AB上一点，∠COD=90°，OE平分∠AOD. 1.∠AOC的余角是多少？ 因为∠COD=90°，所以∠AOC+∠AOD=90° 所以∠AOC的余角是∠AOD. 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 新课学习 2.若∠BOC=140°，求∠DOE的度数. 因为∠BOC=140° 所以∠AOC=180°-∠BOC=40° 因为∠AOC+∠AOD=90° 所以∠AOD=90°-∠AOC=50° 因为OE平分∠AOD， 所以 课堂巩固 练一练：已知一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的余角. 设这个角的度数为x， 由题意得，180°-x =4(90°-x)+15° 解得x=65° ∴这个角的度数为65°， ∴这个角的余角的度数为90°-65°=25°. 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 课堂巩固 A 课堂巩固 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 课堂巩固 C 课堂巩固 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 课堂巩固 D 课堂巩固 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 课堂巩固 A 课堂巩固 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 课堂巩固 D 课堂巩固 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 课堂巩固 125° 课堂总结 1.互余的概念 2.互补的概念 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在按边分类的探究活动中，学生需要自主观察。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，外角和定理是一个核心概念，学生需要学会符号化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在频率估计中体现为能够灵活地创新。 THANK YOU 1.如图，将一副直角三角尺的直角顶点重叠在一起，可以推导出 ，最合理的理由是( ) A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 解析：由题意，得 ，所以 ， .由“同角的余角相等”，得 .故选：A. 2.如图，两个三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中 的图形个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：根据角的和差关系，得题图的第一个图形中 ；根据等角的补角相等，得题图的第二个图形中 ；题图的第三个图形中 ，但两个角不相等；根据同角的余角相等，得题图的第四个图形中 .因此，题图中 的图形个数是3.故选：C 3.如图，一副三角板按图中的位置摆放，其中 和 具有互余关系的位置是( ) A. B. C. D. 解析：A. ， 和 不互余，故该选项不符合题意； B.如图所示， ，而 不一定成立，则 和 不互余，故该选项不符合题意； C. ， 和 不互余，故该选项不符合题意； D. ， 和 互余，故该选项符合题意；故选：D. 4.如图，已知直线AB和CD相交于点O， 与 互余，OF平分 ， ，则 的度数为( ) A. B. C. D. 解析：因为 与 互余，所以 ，即 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 因为OF平分 ，所以 ， 所以 ，所以 . 故选：A. 5.如图， ， ，下列说法中错误的是( ) A. 与 相等 B. 与 互余 C. 与 互余 D. 与 互余 解析：∵，， ∴，， ， ， ∴ 与 相等， 与 互余， 与 互余， 与 相等，∴只有D选项说法错误，符合题意；故选D. 6.若 与 互补， ，则 ______. 解析：∵与互补，，∴.故答案为：. $