精品解析：2022年辽宁省沈阳市和平区九年级中考三模数学试卷

2022年辽宁省沈阳市和平区九年级中考三模 数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分） 1. 化简的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m．数36000000用科学记数法表示为（　　） A. 0.36×108 B. 36×107 C. 3.6×108 D. 3.6×107 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 检测长征运载火箭的零部件质量情况 B. 了解全国中小学生课外阅读情况 C. 调查某批次汽车的抗撞击能力 D. 检测某城市的空气质量 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 某学校八年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A. 4，4 B. 4，5 C. 5，4 D. 5，5 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关 10. 如图，点A，B，C，D，E均在上．，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在实数范围内分解因式：2x2﹣32＝_____． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 计算：的结果是____________． 14. 目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底全市用户数达到4.34万户．设全市用户数年平均增长率为x，则可列方程为________． 15. 如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________． 16. 矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为 __________． 三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分） 17. 计算：． 18. 某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）　 　，　 　； （2）根据以上信息直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为　 　度； （4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物． 19. 如图，的对角线，交于点，过点作，分别交，于点，，连接，． （1）若，求的长； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 四、解答题（每小题8分，共16分） 20. 现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同．将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．请你用列表法或画树状图法，求点在第四象限的概率． 21. 如图，AB是⊙O的直径，弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）若OACD，求阴影部分的面积； （2）求证：DEDM． 五、解答题（本题10分） 22. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多20棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是1260元和1200元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．求这一批树苗平均每棵的价格是多少元． 六、解答题（本题10分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接．动点P满足，交x轴于点C． （1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是，的长为 ； （2）当动点P在线段的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求的值； （3）当动点P在直线上时，点D是直线与直线的交点，点E是直线与y轴的交点．若，，求的值． 七、解答题（本题12分） 24. 在等腰三角形和等腰三角形中，，．将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接，． （1）如图，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的关系为 ； （2）在的基础上，绕点逆时针继续旋转，中的结论是否成立？若成立，请画出图形并写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 八、解答题（本题12分） 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于B、D两点． （1）求点A，B，C，D的坐标和k的值； （2）点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线于点F．过点D作x轴的平行线，交于点N．当把线段分成的两部分时，求点P的坐标； （3）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为，动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒个单位的速度运动．设M的运动时间为，连接，过M作于点G，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为．点M在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时，的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年辽宁省沈阳市和平区九年级中考三模 数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分） 1. 化简的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小比较、绝对值，因为，，所以，根据负数的绝对值是它的相反数，可得：． 【详解】解：，， ， ． 故选：B． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．根据三视图的定义，观察图形的主视图逐项判断即可． 【详解】解：该几何体的主视图是， 故选：B． 3. 2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m．数36000000用科学记数法表示为（　　） A. 0.36×108 B. 36×107 C. 3.6×108 D. 3.6×107 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：36 000 000＝3.6×107， 故答案选：D． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，关键是确定a的值和n的值． 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据解析式可知图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此分析判断即可． 【详解】解：在反比例函数中，，图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴点在第二象限，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 检测长征运载火箭的零部件质量情况 B. 了解全国中小学生课外阅读情况 C. 调查某批次汽车的抗撞击能力 D. 检测某城市的空气质量 【答案】A 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可． 【详解】A.检测长征运载火箭的零部件质量情况,必须全面调查才能得到准确数据； B.了解全国中小学生课外阅读情况，量比较大，用抽样调查； C.调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，用抽样调查； D.检测某城市的空气质量，不可能全面调查，用抽样调查. 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘除以及积的乘方的知识，熟记运算法则是解题的关键． 根据合并同类项的法则，同底数幂的乘除以及积的乘方的知识求解即可得到答案． 【详解】解：A. ，故A正确，符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C. 不是同类项，不能合并，故C错误，不符合题意； D. ，故D错误，不符合题意； 故选：A． 7. 某学校八年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A. 4，4 B. 4，5 C. 5，4 D. 5，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断． 【详解】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5， 这组数据的中位数为4；众数为5． 故选：B． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 故选：A． 9. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 10. 如图，点A，B，C，D，E均在上．，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 首先连接，由圆周角定理即可得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在实数范围内分解因式：2x2﹣32＝_____． 【答案】 【解析】 【详解】分析：先提公因式2，再用平方差公式分解即可． 详解：原式=2（x2﹣16） =2（x+4）（x﹣4）． 故答案为2（x+4）（x﹣4）． 点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 计算：的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 14. 目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底全市用户数达到4.34万户．设全市用户数年平均增长率为x，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，理解题意是解题关键．根据题意正确列方程即可． 【详解】解：设全市用户数年平均增长率为x， 由题意可得，， 故答案为：． 15. 如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，判断出ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且，所以为等边三角形，可得旋转角为60°，同理，，故也是等边三角形，的长度即为AC的长度． 【详解】解：在ABC中，∠BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，落在BC的中点处， ∵是由ABC旋转得到，∴，而， 根据勾股定理：， 又∵，且，∴为等边三角形， ∴旋转角， ∴，且，故也是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得． 16. 矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为 __________． 【答案】0.5或1.25 【解析】 【分析】分两种情况：①∠BMG是直角，②∠BGM是直角，进行讨论即可求解． 【详解】解：①∠BMG是直角，如图， 过O点作OH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝5， ∴BH＝CH＝2， ∴CO＝2.5， ∴OH＝1.5， 由折叠的性质可得∠OMH＝45°， ∴MH＝OH＝1.5， ∴BM＝BH﹣MH＝4﹣2﹣1.5＝0.5； ②∠BGM是直角，如图， 由折叠的性质可得OE＝OC＝2.5，∠ACB＝∠E， ∵∠ABC＝∠EGO＝90°， ∴△OEG∽△ACB， ∴OG：OE＝AB：AC，即OG：2.5＝3：5， 解得OG＝1.5， ∴BG＝2.5﹣1.5＝1， ∵∠ACB＝∠MBG， ∠ABC＝∠MGB＝90°， ∴△ABC∽△MGB， ∴BM：BG＝CA：CB，即BM：1＝5：4， 解得BM＝1.25． 综上所述，线段BM的长为0.5或1.25． 故答案为：0.5或1.25． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，以及二次根式的性质和绝对值性质、特殊角的三角函数值分别求解即可． 【详解】解： ． 18. 某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）　 　，　 　； （2）根据以上信息直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为　 　度； （4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物． 【答案】（1）100，60 （2） 补全完整的条形统计图如右图所示； （3）108 （4）有1200吨可回收物 【解析】 【分析】（1）根据其他垃圾的吨数和所占的百分比，可以求得的值，再根据条形统计图中的数据，即可得到的值； （2）根据（1）中的值和条形统计图中的数据，可以得到可回收物的吨数，补全统计图即可； （3）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数； （4）根据统计图中的数据，可以计算出该市吨垃圾中约有多少吨可回收物． 【小问1详解】 ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 可回收物有：（吨）， 【小问3详解】 扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：； 【小问4详解】 （吨），即该市吨垃圾中约有吨可回收物 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，从统计图中获取准确信息，利用数形结合的思想解答． 19. 如图，的对角线，交于点，过点作，分别交，于点，，连接，． （1）若，求的长； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：四边形是菱形．理由如下： 由（1）可得，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键． （1）只要证明即可得到结果； （2）先判断四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形，即可得到结论； 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，、是对角线， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴． 故的长为． 【小问2详解】 略 四、解答题（每小题8分，共16分） 20. 现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同．将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．请你用列表法或画树状图法，求点在第四象限的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合事件A或B的结果数，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标． 画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第四象限内点的坐标特征确定点在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中点在第四象限的结果数为3， 所以点在第四象限的概率． 21. 如图，AB是⊙O的直径，弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）若OACD，求阴影部分的面积； （2）求证：DEDM． 【答案】（1）4-π； （2）连接AD．∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM= 90°又∵弧ED=弧BD∴ED="BD" ∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM="BD" ∴DE=DM．如图所示： 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接OD，由已知条件可证出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的长度知道，∠DOB的度数是45度，这样，阴影的面积就等于等腰直角三角形ODC的面积减去扇形ODB的面积．（2）连接AD，由已知条件可证出AD垂直平分BM，从而得到DM=DB，又因为弧DE=弧DB，DE=DB，所以DE就等于DM了． 试题解析：（1）连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD∵OA="CD" =， OA=OD∴OD=CD=∴△OCD 为等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S阴影=S△OCD-S扇OBD=××－． （2）略 考点：圆的性质与三角形综合知识． 五、解答题（本题10分） 22. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多20棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是1260元和1200元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．求这一批树苗平均每棵的价格是多少元． 【答案】这一批树苗平均每棵的价格是20元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设这一批树苗平均每棵的价格是元，则每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是元，元，根据每捆A种树苗比每捆B种树苗多20棵，列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设这一批树苗平均每棵的价格是元，由题意得： ， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元． 六、解答题（本题10分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接．动点P满足，交x轴于点C． （1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是，的长为 ； （2）当动点P在线段的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求的值； （3）当动点P在直线上时，点D是直线与直线的交点，点E是直线与y轴的交点．若，，求的值． 【答案】（1）4 （2）的值为 （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了直线与几何综合，涉及正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）易得点P的坐标是，即可得到的长． （2）过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N．先利用题中条件证明四边形为正方形， 可得，再证明，得到，再求的值． （3）可分点P在线段的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．过点P作轴，垂足为M， 作轴，垂足为N，通过证明，推出，设， 只需用含x的代数式表示出、的长，即可求出的值． 【小问1详解】 点P与点B重合，点B的坐标是， 点P的坐标是． 又平行于轴， 的长为4． 故答案为：4． 【小问2详解】 ，理由如下： 过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N． 点A的纵坐标与点B的横坐标相等， ． ， ． 又， ． 轴，轴， ， ， 四边形为矩形， 又， ， 四边形为正方形， ，， ， 又， 在和中， ， ， ． 的值为． 【小问3详解】 ①若点P在线段的延长线上，过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N， 与直线的交点为F，如图2所示． ，， ， ， ，，， ， ，， 轴， ， ，， M，F分别为，的中点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ； ②若点P在线段的反向延长线上，过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N， 与直线的交点为F，如图3所示． 设，同理可得：，，， ， ， 综上所述，的值为或． 七、解答题（本题12分） 24. 在等腰三角形和等腰三角形中，，．将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接，． （1）如图，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的关系为 ； （2）在的基础上，绕点逆时针继续旋转，中的结论是否成立？若成立，请画出图形并写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），； （2） 解：仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长交于点，连接， 和是等腰直角三角形，， ， ， ， 点为线段的中点， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中，， ， ，， ， ，， 中关系仍然成立； （3）线段的长为或． 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，，所以可得； 延长交于点，连接，根据等腰直角三角形的性质可证，四边形是矩形，利用可证，根据全等三角形的性质可证； 当时，要分在左侧时和在右侧两种情况求解，当边在边的左侧时，连接，作垂足为点，利用勾股定理和含角的直角三角形中边之间的关系求解即可；当边在边的右侧时，，过作，与交于点，连接，利用勾股定理和含角的直角三角形中边之间的关系求解即可． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，， ， ， ， 点是的中点， 在中，， ， ， 又，点是的中点， ， ， ，， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示，当边在边的左侧时，连接，作垂足为点， ， 和是等腰直角三角形， ，， 又， ， ， ， ， 在中，， 由可知，， ； 如下图所示，当边在边的右侧时，，过作，与交于点，连接， 和是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 由可知，， ； 综上所述，的长度为或. 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换、直角三角形的性质、三角形全等判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造特殊的直角三角形，利用直角三角形的性质求解． 八、解答题（本题12分） 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于B、D两点． （1）求点A，B，C，D的坐标和k的值； （2）点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线于点F．过点D作x轴的平行线，交于点N．当把线段分成的两部分时，求点P的坐标； （3）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为，动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒个单位的速度运动．设M的运动时间为，连接，过M作于点G，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为．点M在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时，的取值范围． 【答案】（1），，，， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将和代入抛物线的解析式即可得点的坐标，再将点的值代入直线即可得的值，然后联立直线与抛物线的解析式即可得点的坐标； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，，再求出的长，然后分两种情况：和，建立方程，解方程即可得； （3）先求出直线的解析式为，直线的解析式为，设直线交轴上方抛物线于点，与抛物线的解析式联立求出，再有两个临界位置：①当点与点重合时，②当与点重合时，求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：将代入抛物线得：， 解得或， ∴，， 将代入抛物线得：， ∴， 将点代入直线得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴． 【小问2详解】 解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∵轴，轴，交于点，， ∴， ∴，， 当把线段分成的两部分时，则或， ∴①或②， 解方程①得：或（舍去）， 解方程②得：或（舍去）， 当时，，即此时点的坐标为； 当时，，即此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为， ∴， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，设直线交轴上方抛物线于点， 联立，解得或， ∴， 在运动过程中线段与抛物线有公共点，有以下两个临界位置： ①当点与点重合时， 由轴对称的性质可知，点为的中点， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点作于点，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 由题意得：， ∴， 解得； ②当与点重合时， 由轴对称的性质可知，此时点的中点在所在直线上， 由上知，可设此时直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴此时直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， 解得； 则运动过程中线段与抛物线有公共点时，． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、一元二次方程的应用、解直角三角形、一次函数的几何应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $