精品解析：福建省龙岩市第七中学2021—2022学年下学期八年级 期中数学试卷

2021-2022学年福建省龙岩七中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下图中表示y是x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的定义，对于给定的x的值，y都有唯一的值与其对应，进而判断得出． 【详解】在图象B，C，D中，每给x一个值，y都有2个值与它对应，所以B，C，D中y不是x的函数， 在A中，给x一个正值，y有一个值与之对应，所以y是x的函数． 故选A． 【点睛】本题考查函数的定义．利用函数定义结合图象得出是解题关键． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意； B. ，故不是最简二次根式，不合题意； C. ，故不是最简二次根式，不合题意； D. =3，故不是最简二次根式，不合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了最简二次根式根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题关键，判断二次根式是最简二次根式要符合两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含开的尽方的因数或因式． 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理依次判断即可，求出两条短边的平方和等于最长边的平方． 【详解】A、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，不符合题意； C、，故是直角三角形，不符合题意； D、，故不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）． A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D， ∴AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．(1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)定理2∶两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(4）定理3∶对角线互相平分的四边形是平行四边形．(5)定理4∶一组对边平行且相等的四边形是． 6. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：A、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误，不符合题意； B、逆命题是：绝对值相等的两个数相等，错误，不符合题意； C、逆命题是：同位角相等，两条直线平行，正确，符合题意； D、逆命题是：相等的两个角都是45°，错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了逆命题，解题的关键是写出各个命题的逆命题，条件和结论换位置，再进一步判断真假． 7. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，角平分线的意义，等角对等边，根据菱形的性质与判定求线段长，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明四边形是菱形，根据菱形的性质可得出，，，再利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，熟记定理是解题的关键． 9. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP，设 ∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a， ∴OP=AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 10. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线交于点O，点E是边AB上一动点，点F在边BC上，且满足OE⊥OF，在点E由A运动到B的过程中，以下结论正确的个数为(　　) ①线段OE的大小先变小后变大；②线段EF的大小先变大后变小；③四边形OEBF的面积先变大后变小． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①根据E点运动路线可知E点在起始A点和终点B点时都最大，在此过程中当OE⊥AB时，OE最小，所以线段OE的大小先变小后变大； ②易知△AOE≌△BOF，可得OE＝OF，根据勾股定理可知EF2＝OE2＋OF2=2OE2，所以EF的变化和OE变化一致：先变小后变大； ③证明四边形OEBF面积＝△AOB面积，可得其面积始终不变． 【详解】①在点E由A运动到B的过程中，根据垂线段最短可知当OE⊥AB时，OE最小， 所以线段OE的大小先变小后变大，①正确； ②∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOB=90°，即∠AOE+∠BOE=90°， ∵∠BOF+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠BOF， 又∵∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB， ∴△OAE≌△OBF(ASA)， ∴OE=OF， ∵在Rt△OEF中，利用勾股定理可知EF2=OE2+OF2=2OE2， ∴EF的变化是先变小后变大，②错误； ③∵△OAE≌△OBF， ∴△OAE的面积=△OBF的面积， ∴四边形OEBF的面积=△OEB的面积+△OBF的面积=△OEB的面积+△OAE的面积=△AOB的面积， ∴四边形OEBF的面积不会改变，始终等于△AOB面积，③错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，本题同时也属于动点问题，解决此题的关键是分析出E点运动轨迹，同时推导出△OAE≌△OBF，不仅可得OF＝OE，判断出EF变化趋势，而且还推导出四边形OEBF面积不会改变，始终等于△AOB的面积． 二、填空题：（每小题4分，共6个小题，共24分） 11. 函数y=–1的自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≥0 【解析】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，可知x≥0， 故答案为：x≥0． 12. 若，则值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据二次根式有意义的条件得到关于的不等式组求解，求得，再代入求得． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：3． 13. 菱形的两条对角线相交于点O，若，，则这个菱形的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求面积，解题关键是掌握利用菱形的性质求面积的方法． 先根据菱形的对角线互相垂直得出，再结合，，求出菱形的面积． 【详解】解：∵菱形的两条对角线与相交于点O， ∴， ∵，， ∴这个菱形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，为了检查平行四边形书架是否为矩形，工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架就是矩形，请你说出其中的数学原理___． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形），解题的关键是明确已知图形为平行四边形，再结合对角线相等的条件，匹配对应的矩形判定定理． 先确定书架是平行四边形，工人师傅测量得其对角线与长度相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理，即可判断该平行四边形书架为矩形，由此得出所用的数学原理． 【详解】解：已知书架是平行四边形，工人师傅通过测量发现其对角线； 根据矩形的判定定理，当平行四边形的对角线相等时，该平行四边形为矩形； 因此，所用的数学原理是“对角线相等的平行四边形是矩形”． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 15. 如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）和直角三角形的性质（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），解题的关键是先利用中位线定理求出的长度，再结合直角三角形性质求出的长度，进而计算的长度． 由是的中位线且，根据中位线定理得；因D是中点（中位线连接、中点），为直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得；最后用减去即可求出的长． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴（三角形中位线定理）， ∵D是边上的中点是中位线，连接、中点），， ∴是直角三角形，为斜边的中线， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， 又∵点F在上， ∴． 故答案为：1． 16. 如图，点A在第一象限上运动，始终保持，点在x轴正半轴上，点在y轴的负半轴上，则的最大值为___（用含m的式子表示）． 【答案】也可以写作 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的动点问题（不含函数），用勾股定理解三角形，点与圆上一点的最值问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先得出点A在以为直径的圆上运动，且点A在第一象限，，从而可得当为的中点时，最大，再求得此时，从而可求得的最大值． 【详解】解：交轴于点， ∵点A在第一象限，始终保持，点在x轴正半轴上， ∴点A在以为直径的圆上运动，且点A在第一象限，， ∴当为的中点时，最大， ∵点， ∴， ∵点， ∴此时， ∴ 故答案为：． 三、解答题：（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算与化简，平方差公式，掌握知识点是解本题的关键． (1)先化简二次根式及进行平方差公式运算，再合并即可； (2)先化简二次根式，再进行乘法运算，最后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． （1）求证：AC⊥BC； （2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D点的坐标． 【答案】 （1）解：∵．，， ∴， 是以为斜边的直角三角形， ． （2）点的坐标或或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算出，，，再利用勾股定理的逆定理判断即可． （3）根据平行四边形的性质，画出图形，利用点平移规律即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）如图所示：点的坐标或或． 【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，坐标与图形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+﹣|a﹣b|． 【答案】-2 【解析】 【分析】本题运用实数与数轴的对应关系确定-2＜a＜-1，1＜b＜2，且b＞a，然后根据开方运算的性质和绝对值的意义化简即可求解． 【详解】由数轴上点的位置关系，得-2＜a＜-1，1＜b＜2， ∴a+1<0，b-1>0，a-b<0， ∴ =|a+1|+|b-1|-|a-b|， =-a-1+b-1+a-b， =-2 【点睛】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和二次根式的化简，解答本题的关键是掌握绝对值的性质． 20. 如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】设，先根据矩形的性质得出，，，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，然后利用勾股定理得到关于的方程求解． 【详解】解：如图，连结， 设， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， ∴，解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定综合（），矩形的性质，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 21. 如图，在中，E是的中点，仅用一把无刻度的直尺画出的中点F，保留作图痕迹，并证明． 【答案】 解：如下图：点F即为所求； 证明：∵四边形 平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴F是的中点． 【解析】 【分析】连接、交于点O，连接并延长交于一点，该点即为F，证明，得出，根据，得出，得出F是的中点． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定，证明． 22. 在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半“时，小明给出如下部分证明过程． 已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．求证：　 　． 证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF， （1）补全求证； （2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程； （3）若CE＝3，DE＝4，请你直接写出边AB的取值范围． 【答案】（1），且； （2）如图，延长到点，使，连接， 点是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ；． （3）． 【解析】 【分析】（1）分析定理的题设和结论即可写出求证；结论是平行于第三边，且等于第三边的一半； （2）倍长类中线构造，根据全等三角形的性质得到，，求得，，从而证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出结论； （3）根据三角形三边关系即可得到结论． 【详解】解：（1），且； （2）略 （3）， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的证明、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，倍长类中线构造证明四边形是平行四边形是解题的关键． 23. 阅读理解： ，，两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． 例1： 例2： 问题解决： （1）的有理化因式是 ； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，运用平方差公式进行运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）运用平方差公式进行运算得出有理化因式； （2）先将前面小括号里各项分母有理化，再相加，然后利用平方差公式进行运算． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 【小问2详解】 解： ． 24. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接，． （1）用t表示线段，的长，并证明； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请直接写出答案，不必写出过程． 【答案】（1）， ，见解析 （2）当时，四边形是菱形 （3）当或时，为直角三角形 【解析】 【分析】（1）先表示出，，进而得出，即可得出结论； （2）可以证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可； （3）当为直角三角形时，分、、三种情况，分别找一等量关系列方程可以求出的值． 【小问1详解】 解：设点D、E运动的时间是t秒（）， ∵点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）知，； ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 当，四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 分三种情况： 当时，如图， ∵， ∴， 又，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当不成立， 综上所述：当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，利用平行四边形的性质求解，证明四边形是平行四边形，证明四边形是菱形,根据矩形的性质与判定求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 25. 阅读下列材料∶ 问题：如图1，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G．使得∠EGB=∠EAB，连接AG． 求证∶EG=AG+BG． 小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交CE于点H，构造全等三角形，经过推理解决问题． 参考小明同学的思路，探究并解决下列问题∶ (1)完成上面问题中的证明； (2)如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变(如图2)，请探究线段EC、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论． 解∶线段EG、AG、BG之间的数量关系为___________________________________________________．并证明． 【答案】 （1）证明：如图1，作∠GAH=∠EAB交GE于点H， 则∠GAB=∠HAE． ∵∠EAB=∠EGB，∠AOE=∠BOF， ∴∠ABG=∠AEH 在ΔABG和ΔAEH中 所以△ABG≌△AEH（ASA） ∴BG=EH，AG=AH ∵∠GAH=∠EAB=60° ∴ΔAGH是等边三角形 ∴AG=HG． ∴EG=AG+BG (2)EG+BG=AG 证明：如图2，作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB=∠HAE ∵∠EGB=∠EAB=90° ∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180° ∴∠ABG=∠AEH． 在ΔABG和ΔAEH中 ∴ΔABG≌ΔAEH（ASA） ∴BG=EH，AG=AH ∵∠GAH=∠EAB=90° ∴ΔAGH是等腰直角三角形 ∴AG=HG ∴EG+BG=AG 【解析】 【分析】（1）作∠GAH=∠EAB交GE于点H，证△ABG≌△AEH，再证ΔACH是等边三角形，得AG=HG ，EG=AG+BG； （2）作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB=∠HAE，证ΔABG≌ΔAEH，得BG=EH，AG=AH，再证ΔAGH是等腰直角三角形，可得AG=HG．故EG+BG=AG． 【详解】(1)略 （2）略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年福建省龙岩七中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下图中表示y是x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 5. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）． A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等 7. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 9. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 10. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线交于点O，点E是边AB上一动点，点F在边BC上，且满足OE⊥OF，在点E由A运动到B的过程中，以下结论正确的个数为(　　) ①线段OE的大小先变小后变大；②线段EF的大小先变大后变小；③四边形OEBF的面积先变大后变小． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（每小题4分，共6个小题，共24分） 11. 函数y=–1的自变量x的取值范围是_____． 12. 若，则值为___． 13. 菱形的两条对角线相交于点O，若，，则这个菱形的面积为___． 14. 如图，为了检查平行四边形书架是否为矩形，工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架就是矩形，请你说出其中的数学原理___． 15. 如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为__________． 16. 如图，点A在第一象限上运动，始终保持，点在x轴正半轴上，点在y轴的负半轴上，则的最大值为___（用含m的式子表示）． 三、解答题：（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． （1）求证：AC⊥BC； （2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D点的坐标． 19. 已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+﹣|a﹣b|． 20. 如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，，求的长． 21. 如图，在中，E是的中点，仅用一把无刻度的直尺画出的中点F，保留作图痕迹，并证明． 22. 在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半“时，小明给出如下部分证明过程． 已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．求证：　 　． 证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF， （1）补全求证； （2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程； （3）若CE＝3，DE＝4，请你直接写出边AB的取值范围． 23. 阅读理解： ，，两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． 例1： 例2： 问题解决： （1）的有理化因式是 ； （2）化简：． 24. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接，． （1）用t表示线段，的长，并证明； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请直接写出答案，不必写出过程． 25. 阅读下列材料∶ 问题：如图1，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G．使得∠EGB=∠EAB，连接AG． 求证∶EG=AG+BG． 小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交CE于点H，构造全等三角形，经过推理解决问题． 参考小明同学的思路，探究并解决下列问题∶ (1)完成上面问题中的证明； (2)如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变(如图2)，请探究线段EC、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论． 解∶线段EG、AG、BG之间的数量关系为___________________________________________________．并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $