2025年中考复习微专题-九年级数学二次函数的最值问题

2025年中考复习微专题—二次函数的极值问题

专题讲解：

二次函数的最值问题为历年中考数学易考点，且为中考数学难点。综合分析二次函数的最值问题，共计分成四类，一类是求函数的最值，此类问题要将函数解析式和函数图像相结合，可能要分区间讨论分析；二类是函数图像结合初中几何图形求线段的最值，除需利用二次函数图像知识外，还需熟练运用几何图形中求线段最值的常见模型如将军饮马模型、胡不归模型、瓜豆模型等，充分运用两点之间线段最短、点到直线垂线段最短两个公理。三类是求包围的封闭图形的面积的最值，要会熟练运用常见几何图形如三角形、菱形等面积公式的求法。四类是二次函数的实际应用中的最值问题，此类问题需要根据实际应用场景建立二次函数模型，再求应用场景中的诸如利润、高度、面积等的最值，需要注意的是，此类最值求值过程中需要充分考虑实际情况中最值的可能性。

典型例题：

1．(2023·甘肃兰州·统考中考真题)已知二次函数，下列说法正确的是(    )

A．对称轴为 B．顶点坐标为 

C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3

 

2．(2023·陕西·统考中考真题)在平面直角坐标系中，二次函数(为常数)的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有(    )

A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值

3．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ）

A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有

C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有

4．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

 

5．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）

  

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．(2023·四川凉山·统考中考真题)已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是(    )

  

A． B． C． D．(为实数)

7.(2022·四川雅安·统考中考真题)抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（　　）

①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．

A. ②③④ B. ①②④ C. ①③ D.

①②③④

8. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（    ）

 

A.  B.  C.  D.

9. 如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．

10．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是        ．