精品解析：北京教育学院附属中学2025～2026学年九年级上学期开学考数学试卷

北京教育学院附属中学2025~2026学年第一学期开学测试 九年级数学 2025． 9 一、选择题(每题2分，共16分) 1. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、1+2=3，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝，故A不符合题意． B、原式＝，故B符合题意． C、原式＝|a|，故C不符合题意． D、原式＝，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型． 3. 在平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，则∠C的度数是(　　) A. 60° B. 90° C. 120° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，将∠A=2∠B代入求出∠B即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B=180°， 把∠A=2∠B代入得：3∠B=180°， ∴∠B=60°， ∴∠C=120°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查对平行四边形性质的理解和掌握，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 4. 下列各式中，运算正确的是（　　） A. ＝﹣2 B. +＝ C. ×＝4 D. 2﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断． 【详解】解：A、＝2，故原题计算错误； B、+＝+2＝3，故原题计算错误； C、＝＝4，故原题计算正确； D、2和不能合并，故原题计算错误； 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式的性质及加减法运算法则是解题关键． 5. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接根据等边三角形的性质首先证明△AOB是等边三角形进而分析即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OD=OB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=2OA=8. 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现△AOB是等边三角形. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有两个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意. 故选：D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 7. 下列函数的图象是由正比例函数的图象向左平移1个单位长度得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把正比例函数的图象向左平移1个单位长度得到的函数解析式为， 故选：B． 8. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，分析菱形形状变化过程是解题的关键；过点A作于E，当E点与B点重合时，，可判断出此时面积最大，且随着x的减小，面积减小，随着x的增大，面积也增大，而前三个选项中图象均不满足；故可作出判断． 【详解】解：如图，过点A作于E； 当E点与B点重合时，，则， 此时面积最大，且为， 当A往右方向移动时，减小，也减小， 而跟着减小， 即随着x由减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0； 同理，随着x的增大到，面积也增大到4， 前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足； 故选：D． 二、填空题(每题2分，共16分) 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为： ． 10. 如图，AB＝AC，BD⊥x轴于D，且BD=1，则数轴上点C所表示的数为________． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】先根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答． 【详解】由勾股定理得，AB=， ∵AB=AC， ∴AC=， ∵点A表示的数是-1， ∴点C表示的数是-1． 故答案为-1． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出AB的长是解题的关键． 11. 若点和点在一次函数的图象上，则______（用“＞”、“＜”或“＝”连接）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，根据，一次函数的函数值y随x的增大而减小解答． 【详解】∵ ∴函数值y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故答案为：＞． 12. 若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形中求线段长，涉及菱形性质求面积、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟记菱形性质是解决问题的关键．根据题意，作出图形，先求出面积，再利用菱形对角线相互垂直平分，由勾股定理求出菱形边长后，利用等面积法列式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 菱形的两条对角线长分别是和，不妨令， ， 在菱形中，，则在中，，由勾股定理可得， ， ，解得， 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，AB＝12，AC＝5，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝_______． 【答案】0.5## 【解析】 【详解】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出PD，计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝12，AC＝5， 由勾股定理得：BC＝， ∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE＝BC＝， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAP+∠EAP＝90°， ∵∠EAP＝∠ABP， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∵D为AB的中点， ∴PD＝AB＝6， ∴PE＝DE﹣DP＝0.5， 故答案为：0.5． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 14. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴， 故答案为：． 15. 将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C′点，已知AB＝2，∠DEC′＝30°，则折痕DE的长为_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】在中，DE=2DC，根据矩形的性质，得到DC=AB即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°， ∵∠DEC'＝30°， ∴∠DEC＝30°， ∴DE＝2DC＝2AB＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，含30°的直角三角形的边角关系，其中，斜边是30°对边的2倍，60°对边是30°对边的倍． 16. 如图，直线分别交x轴、y轴于点A、C，直线分别交x轴、y轴于点B、D，直线AC与直线BD相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象，写出直线不在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 三、解答题(共68分， 第17题5分， 第18题4分， 第19题10分， 第20题9分， 第21题-第24题每题10分) 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据分别化简二次根式、按单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式； （2）当时，的取值范围是 ； （3）如果点，那么的面积是 ． 【答案】（1） 如图， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值． （1）利用描点法画出一次函数图象，然后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先分别确定函数值为和所对应的自变量的值，然后根据一次函数的性质求解； （3）直接利用三角形面积公式计算． 【小问1详解】 解：把，分别代入得， 解得， 这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 当时，， 解得， 当时，的取值范围是； 故答案为：； 【小问3详解】 ，，， 的面积． 故答案为：． 20. 已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 证明：∵， ∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 由作图可知，平分， 又∵， ∴ (三线合一定理)． ∴． ∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，角平分线的尺规作图，等腰三角形三线合一： （1）根据题意作图即可； （2）根据矩形的判定定理和等腰三角形三线合一定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下： a．12名学生的身高∶ 160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171， b．12名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.3 （1）写出表中，的值； （2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)； 甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171 乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169 （3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ． 【答案】（1）， （2）甲组 （3）、 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的求法是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可得出答案； （2）分别计算出甲组、乙组学生身高的方差，进行比较即可得出答案； （3）先计算出已经选择的4名学生的身高的平均数，结合题意分析即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：中位数， 众数； 【小问2详解】 解：甲组学生身高的平均值是， 甲组学生身高的方差是， 乙组学生身高的平均值是， 乙组学生身高的方差是， ∵， ∴舞台呈现效果更好的是甲组； 【小问3详解】 解：∵， ∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和． 22. 如图，在四边形中，，于点，为中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长到点，使得，连接．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，， 又为中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形；． （2）6 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）先证，推出，可得四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形； （2）先用勾股定理解求出，进而求出，再证四边形是平行四边形，根据可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，为中点， ， ，， ， ， 菱形中，，， 又， ，， 四边形是平行四边形， ． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴交于点． （1）求这个一次函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的平移： （1）将代入可得一次函数解析式，令可得B点坐标； （2）将代入求出m的值，当m的值变大时，函数的值变大，由此可得答案． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点， ， ， 这个一次函数的表达式为； 令，得， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：将代入，得：， 解得， 直线与直线交于点， 当m的值变大时，的图象向上平移，函数的值变大， 的取值范围为． 24. 在正方形中，点在边上，点在边上，，连接，． （1）求证：； （2）在边上取点，使得， 过点M作交于点N， 连接． 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理. （1）设相交于点H，根据证明，得，，由得，由三角形内角和定理得，即； （2）延长到点Q，使，连接，证明，根据证明，得，再证明，得是等腰直角三角形，得到，从而可得结论 【小问1详解】 证明：设相交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 又 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：,理由如下： 延长到点Q，使，连接，如图， 由（1）得，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京教育学院附属中学2025~2026学年第一学期开学测试 九年级数学 2025． 9 一、选择题(每题2分，共16分) 1. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，则∠C的度数是(　　) A. 60° B. 90° C. 120° D. 135° 4. 下列各式中，运算正确的是（　　） A. ＝﹣2 B. +＝ C. ×＝4 D. 2﹣ 5. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有两个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 7. 下列函数的图象是由正比例函数的图象向左平移1个单位长度得到的是（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每题2分，共16分) 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 如图，AB＝AC，BD⊥x轴于D，且BD=1，则数轴上点C所表示的数为________． 11. 若点和点在一次函数的图象上，则______（用“＞”、“＜”或“＝”连接）． 12. 若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是__________． 13. 如图，在Rt△ABC中，AB＝12，AC＝5，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝_______． 14. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为________． 15. 将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C′点，已知AB＝2，∠DEC′＝30°，则折痕DE的长为_____． 16. 如图，直线分别交x轴、y轴于点A、C，直线分别交x轴、y轴于点B、D，直线AC与直线BD相交于点，则不等式的解集为______． 三、解答题(共68分， 第17题5分， 第18题4分， 第19题10分， 第20题9分， 第21题-第24题每题10分) 17. 计算： ． 18. 已知 ，求代数式 的值． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式； （2）当时，的取值范围是 ； （3）如果点，那么的面积是 ． 20. 已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 21. 某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下： a．12名学生的身高∶ 160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171， b．12名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.3 （1）写出表中，的值； （2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)； 甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171 乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169 （3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ． 22. 如图，在四边形中，，于点，为中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长到点，使得，连接．若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴交于点． （1）求这个一次函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 24. 在正方形中，点在边上，点在边上，，连接，． （1）求证：； （2）在边上取点，使得， 过点M作交于点N， 连接． 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $