精品解析：吉林省长春市吉林大学附属中学2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

数学试题 总分：100分 时间：60分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数的图像经过的象限是（ ） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 一、二、四 3. 在平行四边形中，，则平行四边形中最大角的度数为　　 A. B. C. D. 4. 已知一组数据2，x，4，6的众数为4，则这组数据的平均数为（　　） A. 3 B. 4  C. 5 D. 6 5. 如图，正方形以为边向外作等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于3，则k的值等于（　　） A. B. 6 C. D. 3 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若分式的值为0，则x的值为________． 10. 一次函数的图像与轴的交点坐标是__． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 12. 如图，设点P是平行四边形的边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则之间的数量关系为_________． 13. 如图,正方形ABCD的边长为2，点H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为 ______ 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点、、、，连结、．若与的面积和为2，且，则k的值为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一名同学计划步行30千米参观博物馆，因情况变化改骑自行车，且骑车的速度是步行速度的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求这位同学骑自行车的速度． 17. 如图所示，在ABCD中，E，F分别是AC，CA的延长线上的点，且CE=AF. 求证：BF∥DE． 18. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（n，3），B（-3，-2）两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC． 19. 某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表（图1），并计算了甲成绩的平均数和方差（见图2小宇的作业）． 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 a 7 小宇的作业： 解： ． （1） ； （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． （3）观察图，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．请参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断． 20. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图像设计了一个问题情境． 已知从小明的家到图书馆是一条笔直的马路，中间有一个红绿灯，红绿灯离家960m，图书馆离家1500m．周末，小明骑车从家出发到图书馆，匀速走了8min到红绿灯处，在红绿灯处等待2min，待绿灯亮了后又匀速走了2min到达离家1200m处，突然发现钥匙不见了，立即原路返回，匀速走了1min，在红绿灯处找到钥匙，便继续匀速走了3min到达图书馆．给出的图像反映了这个过程中小明离家的距离ym与离开家的时间xmin之间的对应关系请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表 离开家的时间/min 2 7 9 11 14 离家的距离/m 240 1080 （2）填空 ①红绿灯到图书馆的距离是______m； ②小明发现钥匙不见了，返回找钥匙的速度是______m/min； ③当小明在离家的距离是1200m时，他离家的时间是______min； （3）当10≤x≤16时，请直接写出y关于x的函数解析式． 21. 如图①，在中，，．点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒个单位长度的速度向点C运动．同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒． （1）线段AC的长度为_______； （2）用含t的代数式表示线段DE的长； （3）当为锐角三角形时，求t的取值范围； （4）如图②，点P在BC上运动，点D运动到点E的上方，当的面积与的面积相等时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 总分：100分 时间：60分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式．分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式． 根据分子，分母中不含有公因式，不能再约分判断即可． 【详解】解：A、不是分式，故本选项错误； B、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式，故本选项错误； C、该分式的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故本选项正确； D、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式，故本选项错误； 故选：C． 2. 一次函数的图像经过的象限是（ ） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 一、二、四 【答案】C 【解析】 【分析】根据题一次函数的图像的性质，即可解答本题． 【详解】解：∵一次函数， ∴该函数经过第一、三、四象限， 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 3. 在平行四边形中，，则平行四边形中最大角的度数为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形邻角互补的性质．可由平行四边形一组邻角互补为切入点进行求解． 【详解】解：在平行四边形中，， 又∵， ，， 最大角为， 故选：D． 4. 已知一组数据2，x，4，6的众数为4，则这组数据的平均数为（　　） A. 3 B. 4  C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据众数的定义求出x的值，然后再求这组数据的平均数． 【详解】数据2，x，4，6的众数为4，即的4次数最多； 即x=4． 则其平均数为：（2+4+4+6）÷4=4． 故选B． 【点睛】本题考查平均数与众数的意义．平均数等于所有数据之和除以数据的总个数；众数是一组数据中出现次数最多的数据． 5. 如图，正方形以为边向外作等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形、等边三角形和三角形内角和定理的综合应用． 根据正方形、等边三角形和三角形内角和定理可以得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， 同理可得， ∴ 故选：A． 6. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由m是一元二次方程根，可将m代入方程得到m的关系式，进而化成所求代数式求值． 【详解】解：由已知有 ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，懂得将m代入方程求得关系式是解题的关键． 7. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 8. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于3，则k的值等于（　　） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数图象所在的象限确定k的值． 【详解】解：∵的面积等于3， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＜0， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若分式的值为0，则x的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件可直接进行求解． 【详解】解：由分式的值为0，则有： ， ∴， 故答案为4． 【点睛】本题主要考查分式的值为0，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键． 10. 一次函数的图像与轴的交点坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】令一次函数解析式中，则可得出关于的一元一次方程，解方程得出值，从而得出一次函数图像与轴的交点坐标． 【详解】解：对于一次函数 令，则有， 解得， ∴一次函数的图像与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点、解一元一次方程等知识，熟知一次函数图像上各点的坐标的特征是解答此题的关键． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12. 如图，设点P是平行四边形的边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则之间的数量关系为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过P作，则、、上的高相同，根据平行四边形的性质并结合题意可得，然后分别表示出三角形的面积，最后进行变形即可解答． 【详解】解：如图：过P作 ∵点P是平行四边形的边上任意一点 ∴, ∵, ∴ ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解答本题的关键． 13. 如图,正方形ABCD的边长为2，点H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为 ______ 【答案】2 【解析】 【详解】解：方法一：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得： S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH﹣S△ABD﹣S△DHF﹣S△BEF =4+a2﹣×4﹣a（a﹣2）﹣a（a+2） =2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a =2． 方法二：连接CF．则BD∥CF， ∴S△BDF=S△BDC=S正方形ABCD=2． 故答案为2． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称轴与坐标轴重合，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点、、、，连结、．若与的面积和为2，且，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是利用矩形和反比例函数的对称性得出，并能正确表示出和的长． 根据矩形和反比例函数的对称性得出，设，然后表示出点、的坐标，得出和的长，最后由三角形面积即可求出的值． 【详解】解：矩形的对称轴与坐标轴重合， ，点是矩形的对称中心， 反比例函数的图象也关于点成中心对称， ， ， ， ， ， 设，则，， 点、都在反比例函数的图象上， ，， ，， ， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 一名同学计划步行30千米参观博物馆，因情况变化改骑自行车，且骑车的速度是步行速度的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求这位同学骑自行车的速度． 【答案】答：这位同学骑自行车的速度为7.5 km/h 【解析】 【分析】设步行速度为km/h，则骑车速度为km/h，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设步行速度为km/h，则骑车速度为km/h， 由题意得：，解得， 经检验，是原方程的解， ∴ 答：这位同学骑自行车的速度为7.5 km/h． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出数量关系列方程式是解题关键． 17. 如图所示，在ABCD中，E，F分别是AC，CA的延长线上的点，且CE=AF. 求证：BF∥DE． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD. ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 又∵AF=CE， ∴在△ABF和△CDE中，有AB=CD，∠3=∠4，AF=CE， ∴△ABF≌△CDE， ∴∠F=∠E， ∴BF∥DE. 【解析】 【分析】先根据四边形ABCD是平行四边形易知AB=CD、∠1=∠2，∠3=∠4，即可证△ABF≌△CDE得∠F=∠E，即得BF∥DE. 【详解】略 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质. 18. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（n，3），B（-3，-2）两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC． 【答案】（1）y=，y=x+1；（2）S=； 【解析】 【分析】（1）将点B（-3，-2）代入y= $\frac{m}{x}$，求出反比例函数解析式；再将A，B代入一次函数解析式即可； （2）y=x+1与x轴交点坐标（-1，0），S= ×1×（3+2）= ； 【详解】（1）将点B（-3，-2）代入y=， ∴m=6， ∴y=， ∴n=2， ∴A（2，3）， 将A（2，3），B（-3，-2）代入y=kx+b， ， ∴， ∴y=x+1； （2）y=x+1与x轴交点坐标（-1，0）， ∴S=×1×（3+2）=； 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 19. 某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表（图1），并计算了甲成绩的平均数和方差（见图2小宇的作业）． 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 a 7 小宇的作业： 解： ． （1） ； （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． （3）观察图，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．请参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断． 【答案】（1）4 （2） 如图所示： （3） 解：①观察图，可看出乙的成绩比较稳定， ， ． ， ∴上述判断正确． 故答案为：乙． 【解析】 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值，求方差，根据方差判断稳定性，解题关键是根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可． （1）根据他们的总成绩相同，得出； （2）根据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可； （3）观察图，即可得出乙的成绩比较稳定． 【小问1详解】 解：由题意得：甲的总成绩是：， ∵两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同， ∴， 故答案为：4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图像设计了一个问题情境． 已知从小明的家到图书馆是一条笔直的马路，中间有一个红绿灯，红绿灯离家960m，图书馆离家1500m．周末，小明骑车从家出发到图书馆，匀速走了8min到红绿灯处，在红绿灯处等待2min，待绿灯亮了后又匀速走了2min到达离家1200m处，突然发现钥匙不见了，立即原路返回，匀速走了1min，在红绿灯处找到钥匙，便继续匀速走了3min到达图书馆．给出的图像反映了这个过程中小明离家的距离ym与离开家的时间xmin之间的对应关系请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表 离开家的时间/min 2 7 9 11 14 离家的距离/m 240 1080 （2）填空 ①红绿灯到图书馆的距离是______m； ②小明发现钥匙不见了，返回找钥匙的速度是______m/min； ③当小明在离家的距离是1200m时，他离家的时间是______min； （3）当10≤x≤16时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】（1）840，960，1140； （2）①540；②240；③或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得前8分钟的速度，根据路程等于速度乘以时间可知7分钟时的路程，由于9分钟时在等红绿灯，路程和8分钟时候的路程一致，根据题意求得13到16分钟时的速度，即可求得14分钟时的路程； （2）①根据总路程减去从家到红绿灯的距离即可求解； ②根据图像可知1分钟的路程为240米，即可求得速度； ③根据函数图像可知当时，，根据待定系数法求得13到16分钟的函数解析式，令，即可求得另一时间； （3）根据题意分段表示函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，前8分钟走了960米，速度为960÷8=120米每分钟， 则第7分钟时的路程为120×7=840米， 由于9分钟时在等红绿灯，路程和8分钟时候的路程一致为960米， 根据题意第13分钟到第16分钟行走了540米，则速度为540÷3=180米每分钟， 则第14分钟时的路程为：960+1×180=1140米， 故填表如下， 离开家的时间/min 2 7 9 11 14 离家的距离/m 240 840 960 1080 1140 故答案为：840，960，1140； 【小问2详解】 ①∵红绿灯离家960米，图书馆离家1500米， ∴红绿灯到图书馆的距离是1500-960=540米 故答案为：540； ②小明发现钥匙不见了，返回找钥匙的速度是米每分钟， 故答案为：240； ③根据函数图像可知当时，， 当时，设13到16分钟时的函数解析式为， 代入，得 ， ， 解得， 13到16分钟时的函数解析式为， 令，解得， 综上所述，当小明在离家的距离是1200m时，他离家的时间是分钟或分钟， 故答案为：或 【小问3详解】 当时，设过的解析式为 解得， 当时，设过的解析式为 解得， 由（2）可知，当， 综上所述， 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，从函数图像获取信息是解题的关键． 21. 如图①，在中，，．点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒个单位长度的速度向点C运动．同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒． （1）线段AC的长度为_______； （2）用含t的代数式表示线段DE的长； （3）当为锐角三角形时，求t的取值范围； （4）如图②，点P在BC上运动，点D运动到点E的上方，当的面积与的面积相等时，直接写出t的值． 【答案】（1）12 （2） （3）当或时，为锐角三角形； （4）t的值为3或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）分三种情况：当时，P在AB上；当时，P在BC上，D在E下方，当时，P在BC上，D在E上方来分别求解； （3）求出当是等腰直角三角形时，t的值，即可得当或时，为锐角三角形； （4）过D作于K，分别表示出，，列方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 故答案为：12； 【小问2详解】 解：当，P在AB上，如下图． ∵点P关于直线AC的对称点Q， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 当时，P在BC上，D在E下方，如下图． ∵， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， 而， ∴， 当时，P在BC上，D在E上方，如下图． ∵， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， 而， ∴． 综上所述，； 【小问3详解】 解：当是等腰直角三角形时，则， 当点P在线段AB上时，如下图． 此时， 由（2）知， ∴， ∴， 当点P在线段BC上时，如下图． 此时， 由（2）知， ∴， 解得， ∴或时，为锐角三角形； 【小问4详解】 解：过D作于K，如下图． ∵，是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得或． 即t的值为3或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形中的几何变换，涉及勾股定理，三角形面积，动点问题等知识，解题的关键是熟练应用对称的性质及等腰直角三角形三边的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $