2026届黑龙江省“优才计划"中学生标准学术能力测试高三联考数学试题

绝密★启用前 2026届黑龙江省“优才计划中学生标准学术能力测试 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在 试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑：非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的区域内。务必按照题号顺序在 答题卡各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸、答题卡上非本题的答题区域均无效。 3.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 4.保持答题卡的卡面清洁，不要折盈、弄破、弄皱，禁止使用涂改液、修正带、刮纸 刀。 5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只 有一项符合要求。 1.已知集合A={-1,0,1},B={1,2,3},以下判断正确的是（) A.x∈A是x∈B的充分条件 B.x∈A∩B是x∈B的既不充分也不必要条件 C.x∈A是x∈AUB的必要条件 D.x∈A∩B是x∈{I}的充要条件 2.已知(+x(x+)(n∈N,n<10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是() A.6 B.7 C.8 D.9 3.已知<a<径.牙<B<元，4 ina-2sina1+血)+0-os4a)eosB=0, 2 4， A.3 B. 1 c D.-3 2 4.随机事件A,B,C满足P(A|B)+P(B|C)+P(CIA)=1,则P(A)+P(B)+P(C)的取值 范围是() 8(别 c.(a D.(0,2) 试卷第1页，共8页 5.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=1+cosA, 则 6 cos B 1 一-】+2sinA的取值范围为（） tan B tanA 5W5 B.(22,3 2v2,53 D 3 3 3 6.已知函数f(x)=-sinx,任取teR,定义集合： A={byy=f(x),点P(t,f(),(x,f(x)满足P9≤V2 设M,m,分别表示集合A中元素的最大值和最小值，记h(t)=M,-m,.则函数h(t)的最 小值是() A.2N2 B.1 c.√2 D.2 7.在三棱锥S-ABC中，△ABC是正三角形，AD=号DC,记二面角S-AB-C,S-BC-A 2 的平面角分别为a,B,ana=2anB,an∠SBD= ,则cos∠SBA=() 6 A.36 B.5v6 C.v6 D.96 14 14 2 14 8.中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，其中“韩信点兵“物不知数等问题的解法在数论中 有相应的推广，用a≡b(modn)表示a和b除以n的余数相同.己知集合A,B,C满足 A=-{nln=2(mod3),neN},B={mm=1(mod4),meN},C=AnB.对于集合C中 的任意一个元素c,下列结论错误的是() A.c=2(mod3)B.c=1(mod4) C.c=5(mod7) D.c=5(mod12) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有两个及以上选项符合题 目要求，全部选对得6分，若有漏选，每少一个选项少得2分，有选错的得0分。 9.比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以 截出椭圆、双曲线、抛物线如图，两个对顶圆锥的轴线与母线 成角为日，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分别为O,O2, 两球半径分别为片，？2且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥的轴与 平面a所成角为82(82<8)且平面a与两球相切于A,B两点， 则平面与圆锥侧面的交线为双曲线一部分，则下列说法中正确 的是() A.A,B两点为双曲线的两个焦点 B.-=00sine2 C.若片=，则该双曲线为等轴双曲线 D.双曲线的实轴长为O,O2cos8 试卷第2页，共8页 10.函数f(x)=kx-|sinx|在(0，o)上有两个零点a,B(a<),下列说法正确的是（) A.Be4'2 5π3π B.tan B-a= sina+sin B (a+刳芒月 C.t D.f(x)在(0,2π)上有2个极值点x,x,(x<x2)且x2-x=π 11.已知数列{an}为正项数列，前n项和为Sn,a,=1,满足a1=VS+Sn+1(neN), 则下列说法正确的是（) A.长度为a,S,1的三条线段可以围成一个内角为的三角形 5 1 S,= 2 2tan π 3.2" D.Sn≤1+5(2--1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，己知正四棱锥V-ABCD中，AB在平面a内，正四棱 D 锥可绕着AB任意旋转，CD11平面a.若AB=2,VA=√5， 则正四棱锥V-ABCD顶点V在平面a内的投影H到CD的 距离的取值范围是 13.已知单位向量e,两个不同的向量五，五，满足E-=e.瓦(i=1,2),且x五+yb,=:其 中x+y=1,当瓦-取到最小值时，瓦五的值为 【4如图所示，已知双曲线兰Q,6>0)的左右焦点分别为 F和F,过F和F分别作两条互相平行的直线（和l2,4与 双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方)，I2与双曲线 的右支交于C、D两点(C在x轴上方)，若=号 D5’ ∠FCD+3∠CFD=π，则e2(e是双曲线的离心率)等于 试卷第3页，共8页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字过程、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，平面a//平面B,菱形ABCDC平面a,AC=2,E为平面B内一动点， (1)若平面a,B间的距离为3，设直线AE,CE与平面a所成的角分别为B,P, L+,L=2,求动点E在平面a内的射影F的一个轨迹方程： tana tan (2)若点E在平面a内的射影为A,证明：直线CE与平面BDE所成的角与∠BAD的 大小无关 E KB 试卷第4页，共8页 16.(15分) 设{an}是公比大于0的等比数列，{也n}是等差数列.其中：a=b+1=2,a2+b2=7, 43-2b3=2 (1)求数列{a},{b}的通项公式： b1√an,n为偶数 2)若c。=-6n+7小a,n为奇数’ 求数列{cn}的前2n项和S2m. bnbn+2 ®内k示不老过的证大整数，元表标数列(-)（色升 的前4n项和，集合 （b2+1 4=n1s" 共有4个元素，求2范围。 试卷第5页，共8顶 17.(15分) 已知曲线W:x2=4y,点Q(m,n)(m≠0)在曲线W上. (1)求曲线W在点Q处的切线方程： (2)如图1，过曲线W外一点A(不在y轴上)作W的两条切线AB,AC,切点为B, C,过曲线W上一点M的切线交AB,AC于点B,C,且BC∥B,C1,把这样的△AB,C 叫做“外切三角形 ①连接AM交BC于点E,求证：A,M,E三点的纵坐标成等差数列： ②如图2，从点A出发做出的第一个外切三角形是△AB,C,再过点B,C,分别做出2 个“外切三角形”，即△B,B2B和△CC2C3:继续过点B2,B,C2,C3分别做出4个“外 切三角形以此类推，依次做出1,2,4,8，.，2-个外切三角形.设VABC的 面积为S,求这些“外切三角形的面积之和T,并证明T<S. B B 试卷第6页，共8页 18.（17分) 在统计中似然函数是指设总体X的分布律或概率密度f(x:),8=(8,0,A,,8)是 未知参数，X,X2,…Xn是总体X的样本，称X,X2,…Xn的联合分布律或概率密度函 数L(,x,…)=f;0)为样本的似然函数，简记为L(0).如果样本似然函数 L(θ)在日，处达到最大值，则称日。为参数0的最大似然估计值.例如三亚某学校一次调 研考试中数学科目及格率为0，现任选20名同学的成绩作为样本进行分析，发现有2 人不及格，此时可估计该学校本次模考中数学科目及格率为0.9.同时也可设及格率为 0,0e(0,1),令样本似然函数为L(0)=88(1-6)2,L'()=8”(8-1)(209-18),令 L'(0)=0解得0=0.9，当0∈(0,0.9)时，L'(0)>0,L(0)单调递增，当9∈(0.9,1)时， L'(Θ)<0，L(Θ)单调递减，则当日=0.9时，L(0)取得最大值，即0的最大似然估计值 为0.9，与及格率的估计值相等： (1)设一次试验中随机变量Y的概率分布如下： X P 02 28(1-0) (1-)2 (i)现做4次独立重复试验，Y出现了1次，Y出现了2次，Y,出现了1次，求0 的最大似然估计值： (i)现做n次独立重复试验，Y出现了n,次，Y出现了n2次，Y出现了n次，求日 的最大似然估计值； 分布是一种重要的离散分布，其概率分布为P(X=k)二。9(X=0L 设一次试验中随机变量X的取值服从泊松分布，进行n次试验后得到X的值分别 为a,a2,,an,已知0的最大似然估计值为2，求数列{an}的前n项和Sn (公式： x=xxx〉 试卷第7页，共8页 19.(17分) 拟合(Fittiong)和插值(Imorterpolation)都是利用已知的离散数据点来构造一个反 映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻 求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟 合方法：而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点，适用于需要高精度模型的 场景.实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值例如，为了 得到cos2的近似值，我们对函数f(,)=co 2/ 进行多项式插值.设一次函数 L(x)=ax+b满足 2四=f创=0，可得f(纠在，上的一次插值多项式 「Z(0)=f(0)=1 马间=-+1，由此可计算出s的r近似值cos=很马（用）-1文0682， 显然这个“近似值”与真实值的误差较大为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数 与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至 要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite)插值多项 式已知函数f(x)=cos 爱]在[O,上的二次埃尔米特插值多项式H(=ar+br+c [H(O)=f(0) 满足{H()=∫() H'(o)=f'(0) (I)求H(x),并证明当x∈[0，时，f(x)≤(x): (2)若当x∈[0，时，∫(x)-h(x≤x2,求实数的取值范围： (3)利用H)计算c0s2的近似值，并证明其误差不超过0 (参考数据：0318是=0101：结果精确到001) 试卷第8页，共8页