21.3.1实际问题与一元二次方程 （第1课时）导学案 2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程在实际问题中的应用，以传染病模型为切入点，通过设未知数、找等量关系、列方程、解方程的完整流程，构建从生活情境到数学建模的学习支架，自然衔接小学阶段的简单方程与高中阶段的函数思想。 资料亮点突出，体现核心素养导向，注重用数学眼光观察现实世界，如通过分层设问引导学生发现“每轮新增人数”与“累计总人数”的区别，强化几何直观与抽象能力。习题设计紧扣握手、比赛、支干等典型场景，训练学生用数学语言表达现实规律，提升模型意识和推理能力，尤其第4题树干分叉问题，巧妙融合结构分析与代数建模，激发创新思维，助力学生实现从被动接受到主动探究的转变。

21.3.1 实际问题与一元二次方程（第一课时）(原卷版) 姓名: 班级: 小组： 一、学习目标 (1)学会列方程. (2)利用一元二次方程解决传染，支干，比赛，握手等实际问题 二、重、难点 重点：能根据问题的描述列出相应的一元二次方程； 难点：能利用列方程与解方程的知识解决实际问题. 三、学习指导流程 （一）传染病问模型 1.仔细阅读教材19页的探究一，回答以下问题： 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第一轮传染后有________________人患了流感. 第二轮传染中的传染源为______________人， 第二轮传染后新增有_________________人患了流感. 根据等量关系 “ 两轮传染后有_______患了流感” 列出方程_______________________. 2.用你认为最为快捷的方法解以上方程： 3.尝试总结出列方程的一般步骤 （1）仔细审题，理解问题； （2）设____________； （3）寻找关键______________； （4）根据______________列出方程. 4.（1）思考：如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？ （2）n轮后呢？ （3）请思考以上第三轮有和三轮共有的区别？ 即时训练： 1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 四、学习检测： 1.某病毒在两轮传染中，若每人每轮传染 x 人，已知第一轮后共有 10 人感染，则第二轮后感染总人数为（ ） A. 10x B. 10 + x C. 10x + x D. 10x + 10 2. 有 n 人参加聚会，若每两人握手一次，共握手 15 次，则 n 满足的方程是（ ） A. n(n - 1) = 15 B. n(n + 1) = 15 C. = 15 D. = 15 3.单循环赛中（每队与其他队比赛一场），若共进行 21 场比赛，则参赛队伍数 m 满足的方程是（ ） A. m² - m - 42 = 0 B. m² - m + 42 = 0 C. m² + m - 42 = 0 D. m² + m + 42 = 0 4. 一棵树的主干分叉为若干支干，每个支干再分叉为相同数量的次级支干，若总支干数（包括主干）为 31 个，求每个支干分叉数 x. 21.3.1 实际问题与一元二次方程（第一课时）(解析版) 姓名: 班级: 小组： 一、学习目标 (1)学会列方程. (2)利用一元二次方程解决传染，支干，比赛，握手等实际问题 二、重、难点 重点：能根据问题的描述列出相应的一元二次方程； 难点：能利用列方程与解方程的知识解决实际问题. 三、学习指导流程 （一）传染病问模型 1.仔细阅读教材19页的探究一，回答以下问题： 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第一轮传染后有1+x人患了流感. 第二轮传染中的传染源为1+x人， 第二轮传染后新增(1+x)⋅x人患了流感. 根据等量关系 “ 两轮传染后有121患了流感” 列出方程1+x+x(1+x)=121. 2.用你认为最为快捷的方法解以上方程： 解：以上方程移向合并同类型后得 两边开平方得：； 舍去负数（传染人数不能为负）： 解得： 答：每轮平均1人传染10人 3.尝试总结出列方程的一般步骤 （1）仔细审题，理解问题； （2）设未知数； （3）寻找关键等量关系； （4）根据等量关系列出方程. 4.（1）思考：如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？ 解：若传播速度不变（每轮1人传染人），三轮后总人数为 以为例，三轮后人数为 （2）n轮后呢？ 解：n轮后总人数为 （3）请思考以上第三轮有和三轮共有的区别？ 解：“第三轮有”：指第三轮单轮新增的感染人数。 “三轮共有”：指前三轮累计的总感染人数 即时训练： 1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：设每轮平均1台电脑感染台电脑. 初始1台电脑感染，两轮后总感染数为 由此可列方程： 两边开平方得： 舍去负数（传染数不能为负）， 得，解得 四、学习检测： 1.某病毒在两轮传染中，若每人每轮传染 x 人，已知第一轮后共有 10 人感染，则第二轮后感染总人数为（ D ） A. 10x B. 10 + x C. 10x + x D. 10x + 10 2. 有 n 人参加聚会，若每两人握手一次，共握手 15 次，则 n 满足的方程是（ C ） A. n(n - 1) = 15 B. n(n + 1) = 15 C. = 15 D. = 15 3.单循环赛中（每队与其他队比赛一场），若共进行 21 场比赛，则参赛队伍数 m 满足的方程是（ A ） A. m² - m - 42 = 0 B. m² - m + 42 = 0 C. m² + m - 42 = 0 D. m² + m + 42 = 0 4. 一棵树的主干分叉为若干支干，每个支干再分叉为相同数量的次级支干，若总支干数（包括主干）为 31 个，求每个支干分叉数 x. 解：设每个支干的分叉数为，则： 主干+第一级支干+第二级支干，即（包括主干）。 由此可列方程： 整理为标准二次方程： 因式分解得 解得：（舍去负数，分叉数不能为负） 学科网（北京）股份有限公司 $