1.1.1 探索勾股定理(第1课时) 课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第一章 勾股定理 1.1.1 探索勾股定理(第1课时) 勾股定理小史 数学小史——何为“勾股” 勾 股 弦 勾股定理是研究直角三角形三边关系的定理，是数学学习中非常重要的定理！ 短的直角边：勾 长的直角边：股 斜边：弦 为加固新栽的电线杆，工人师傅打算从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？你能帮他解决这个问题吗？ A的面积 B的面积 C的面积 左 右 4 怎样计算正方形C的面积呢？ 9 16 9 ？ 填一填：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1） 方法一：割 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 方法二：补 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 5×5 — 方法三：拼 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 分析表中数据，你发现了什么？ A的 面积 B的 面积 C的 面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 分析表中数据，你发现了什么？ A的 面积 B的 面积 C的 面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2． 勾股定理 此图是三国时期的数学家赵爽发明的，被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中. 数学文化 （弦图） （赵爽） 几何语言： a A B C b c ∟ 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 在Rt△ABC中 ，∠C=90°， 则a2+b2=c2（勾股定理）. 活动二：在下方框内画一个直角三角形，再测量它的三条边的长度，看看三边长的平方之间有怎样的关系？ 发现：_____________． 1.52＋22＝2.52 勾股定理：直角三角形两直角边的____________等于____________． 几何语言： 如图，∵_____________， ∴______________． 平方和 斜边的平方 ∠ACB＝90° a2＋b2＝c2 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝4， 则AC2＋BC2＝ ( ) A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 D 若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 解决问题--规范书写 为加固新栽的电线杆，工人师傅打算从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ A B C 转化、建模 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦， “勾股定理”因此而得名. （毕达哥拉斯定理） 求下列直角三角形中未知边的长: 2. (新教材 P3T1 改编)如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为_____． 64 勾股定理与“勾股树” 3. (新教材 P21T7 改编)(2024·惠州一模)如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，4，1，2，则最大正方形E的面积为____． 30 运用勾股定理求直角三角形的边长 4. P8T1)如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，求AB的长及△ABC的周长． 解：在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝100， ∴AB＝10. ∴△ABC的周长为 AB＋AC＋BC＝10＋8＋6＝24. 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，求AC的长及△ABC的面积． 总结：已知直角三角形任意两边，必可用勾股定理求出 第三边． 解：∵AC2＝AB2－BC2 ＝132－52＝144， ∴AC＝12. ∴S△ABC＝ BC·AC ＝ ×5×12＝30. 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)若a＝3，b＝4，则c＝ . (2)若a＝6，c＝10，则b＝ ． (3)若a＝5，c＝13，则b＝ ． 5 8 12 课堂练习 2．如图，做一个长80 cm、宽60 cm的长方 形木框，需在相对角的顶点间钉一根木条用 来加固，则木条的长为 cm. 100 3. 求下列图中未知数x、y的值： 解：由勾股定理可得： 81+ 144=x2 x2=225 x=15 解：由勾股定理可得： y2+ 144=169 y2=25 y=5 课堂练习 4. 已知一个直角三角形的两边分别是3和4，则第三边的平方是（ ） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7或25 课堂练习 分类讨论 Lavf58.20.100 $