第2章 整式及其加减题型过关专练（优质类型）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

第2章 整式及其加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、程序流程图 【解惑】如图的运算程序中，第1次输入的x为27，则第2025次输出的结果（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化规律、流程图等知识点，发现输出规律成为解题的关键． 由第1次输入的x为27，依次求出第1次输出的结果是9，第2次输出的结果是3，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是3，第5次输出的结果是1，可得规律“即从第二次后，第奇数次输出为1，偶次输出为3”，再结合2025是奇数即可解答． 【详解】解：第1次输入的x为27，则第1次输出的结果是9，第2次输出的结果是3，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是3，第5次输出的结果是1，即从第二次后，第奇数次输出为1，偶次输出为3， 由2025是奇数，则第2025次输出的结果是1． 故选：A． 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，当输入有理数时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据，的值，列算式并计算即可．理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入时，则输出y的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值；根据题意，，将字母的值代入代数式，即可求解． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：3． 3．如图，这是一个数值运算程序： (1)若输入的是，经历程序运算2次，求第2次输出的结果． (2)若输入的是，经历程序运算2025次，求第2025次输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，求代数式的值，数字类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）根据题意列式计算得出规律运算每次一个循环，即可得解． 【详解】（1）解：若输入的是，运算次后结果为， 运算次后结果为，即第2次输出的结果为； （2）解：若输入的是， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， …， 故运算每次一个循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为． 类型二、新定义运算 【解惑】对于有理数，定义，则化简后得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算及整式的运算，首先要理解新定义运算符号的含义，然后严格按着新的运算规则操作，将新定义运算转化为常见的整式运算，求解即可．解题的关键是理解新定义运算符号的含义，然后严格按着新的运算规则操作即可． 【详解】解：由题意知： ； 故选：A． 【融会贯通】 1．新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一），，， ， ， 运算（二），，，，利用以上规律计算：（   ） A． B．4049 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据题意发现当x为整数时，；当x为分数时，，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．定义：a 是不为 1 的有理数， 我们把 称为 a 的差倒数，例如：2 的差倒数是 的差倒数是 已知 是的差倒数， 是的差倒数，是的差倒数……依次类推，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字类规律探究. 根据计算可知，每三个数为一个循环组循环，求出每一个循环组的三个数的和，再用除以3求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 可知每三个数为一个循环组循环， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．现定义新运算为：，如． (1)计算和的值； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1)23；8 (2)0 (3)6 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，进行运算和的值，即可作答． （2）根据，进行运算化简，即可作答． （3）根据，进行运算得，再结合，得出，即可作答． 【详解】（1）解：， ． （2）解： ． （3）解：因为， 所以， 所以 ． 类型三、阴影面积部分 【解惑】如图，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为，则等于（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确列出运算式子是解题关键．设空白部分的面积为，则，再根据计算即可得． 【详解】解：设空白部分的面积为， 由题意得：， 则， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为，周长之和为，则下列说法正确的是（   ） A．和均不变 B．只有不变 C．只有不变 D．和均会变 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，设矩形公园的长为b、宽为a，，得出两阴影部分的周长和为：，设图中两个阴影部分的面积为，，长分别为m、n，将向下平移个单位长度后，两阴影面积和：，说明只有当时，为定值． 【详解】解：根据题意可知：矩形公园的长和宽为定值，如图，设矩形公园的长为b、宽为a，， 利用线段的平移可知，两阴影部分的周长和为：， ∵的长固定不变， ∴为定值， 设图中两个阴影部分的面积为，，长分别为m、n，则： ， 将向下平移个单位长度后，两阴影面积和： ， ∴只有当时，为定值， 综上分析可知：只有不变， 故选：C． 2．如图，四边形是边长为2的正方形，以点B为圆心、的长为半径的圆与正方形交于A，C两点，以点C为圆心、的长为半径的圆与正方形交于B，D两点，两个阴影部分的面积分别记为和，则 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】设一个空白的面积的x，根据题意，得，，解答即可． 本题考查了圆的面积，正方形的面积，意义面积，熟练掌握分割法表示阴影面积是解题的关键． 【详解】解：设一个空白的面积的x， 根据题意，得，， 故， 整理，得， 故答案为：． 3．如图，一张边长为15的正方形图案，有两个一样大小的直角三角形和一个长方形．设小长方形的长和宽分别为x，y，两个小直角三角形的两条直角边长也分别为x，y． (1)用x，y表示图中空白（即两个直角三角形和一个长方形）的总面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)129 【分析】本题考查列代数式以及代数式求值． （1）空白面积等于2个小三角形的面积加上长方形的面积，据此列代数式并化简即可； （2）阴影部分面积等于正方形的面积减去空白部分的面积． 【详解】（1）解：图中空白的总面积为：； （2）解：当时， 空白的总面积为：， 阴影部分的面积为：． 类型四、应用——数字、打折问题 【解惑】观察下列等式：则    的末位数字是（    ） A．0 B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律，解题的关键是根据数字的变化寻找规律．观察所给等式发现规律：末位数字为3，9，7，1，3，9，7， ，每4个一循环，进而可得算式结果的末位数字． 【详解】解：观察等式：，， 可知，末尾数字为3，9，7，1，3，9，7，，每4个一循环，且， ， 的末位数字是3， 故选：． 【融会贯通】 1．李明去超市购物，打算购买一件商品，在结账时遇到了问题：这件商品正在举行促销活动，可以打七折，李明手里有一张15元的优惠券．李明通过计算选择了“先打折，再用券”，请问“先打折，再用券”比“先用券，再打折”省多少钱？（    ） A．4.5元 B．4元 C．15元 D．10.5元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用．设商品标价为元，分别得到先打折，再用券以及先用券，再打折需要支付的费用，再比较即可求解． 【详解】解：设商品标价为元， 先打折，再用券需要支付元， 先用券，再打折需要支付元， （元），即问“先打折，再用券”比“先用券，再打折”省元钱 故选：A． 2．已知一个两位数的十位、个位上的数字分别为，记这个两位数为，若在这个两位数中间添加一个数字0，就得到一个三位数，则这个三位数可用代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据百位上的字母乘以100，十位上的字母乘以10，个位上的字母乘以1，再相加，即可求解． 【详解】解：依题意，这个三位数可用代数式表示为 故答案为：． 3．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物620元，他实际付款 元． (2)若某位顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，那么他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表示）． (3)如果王老师两次购物货款合计850元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？（货款为打折前的货物总价） 【答案】(1)546 (2)， (3)元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式．根据题意正确的列代数式是解题的关键． （1）根据500元部分按9折付款，剩下的按8折付款即可； （2）根据当x小于500元但不小于200元时，他实际付款为：购物款折元，当x大于或等于500元时，他实际付款为：折超过500的购物款折元，计算求解即可； （3）由题意知两次购物实际付款第一次购物款折折（总购物款第一次购物款第二次购物款的500）折，把相关数值代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 元， 故答案为：546； （2）解：由题意知，当x小于500元但不小于200元时，他实际付款元， 当x大于或等于500元时，他实际付款元， 故答案为：，； （3）解：第一次购物的货款为a元，， 第二次购物的货款为元， ∴第一次购物的实际货款为元，第二次购物的实际货款为元， ∴两次实际付款数和为：， ∴两次购物王老师实际付款元． 类型五、应用——日历、整除问题 【解惑】左图是2025年1月份的日历，用右图所示的“九方格”框住左图中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d．则代数式的值是（   ） A． B．2 C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减的应用，数字规律，设正中间的数字为，则可利用日历表示出，再代入求值即可，正确理解日历中的数字规律是解题的关键． 【详解】解：设右图所示的“九方格”中正中间的数字为， 则， 则代数式， 故选：B． 【融会贯通】 1．交换一个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新的两位数，则这两个两位数的和一定能被（   ） A．8整除 B．9整除 C．10整除 D．11整除 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的表示和整式加减的应用，正确表示出这两个两位数，准确进行计算是关键； 设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b，表示出原来的两位数和新的两位数，再求和即可进行判断. 【详解】解：设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原来的两位数可表示为，新的两位数可表示为， 所以， 则这两个两位数的和一定能被11整除； 故选： D． 2．下图是某月份的日历，用一个方框圈出任意个数，设最中间一个数是，则用含的代数式表示这个数的和是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，注意月历中日期和日期的关系，设出一个日期后将其他日期表示出来然后求解． 【详解】解：设最中间一个是x，另外8个可表示为：，，，，，，，， ∴这9个数的和可表示为：． 故答案为：． 3．阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 【答案】(1)当能被5整除时，即或5时，能被5整除 (2)当能被4整除时，能被4整除．理由见解析 【分析】本题考查了整死加减的运用．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用． （1）把四位数化为，根据整除的性质得出结论； （2）把四位数化为，根据整除的性质得出结论． 【详解】（1）解：当能被5整除时，即或5时，能被5整除，理由如下： ， 能被5整除， 当或5时，能被5整除； （2）解：当能被4整除时，能被4整除．理由： ， 能被4整除， 当能被4整除时，能被4整除． 类型六、行列排序问题 【解惑】“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题关键是找出规律，并用规律求解． 先写出前几个式子，再用表示出，然后求出，即可得出其末位数字． 【详解】解：第n行的数字之和记为， 第1行的数字之和记为， 第2行的数字之和记为， 第3行的数字之和记为， 第4行的数字之和记为， 第5行的数字之和记为， … 依次类推，第n行的数字之和记为， 所以， 即的末位数字是2， 故选：A． 【融会贯通】 1．张老师将正整数按照如图所示的方式依次排列，假设1600在第m行，从左向右第n个位置，则的值等于（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】B 【分析】本题考查了数字变化类的规律探索； 分析得出规律：第n行有个数字，最后一个数字为，可得1600是第40行，第79个数，然后计算即可． 【详解】解：由图可得： 第1行有个数字，最后一个数字为， 第2行有个数字，最后一个数字为， 第3行有个数字，最后一个数字为， 第4行有个数字，最后一个数字为， … ∴第n行有个数字，最后一个数字为， ∵， ∴1600是第40行的最后一个数字， ∵， ∴1600是第40行，第79个数， ∴， ∴， 故选：B． 2．将，，，，，， ……按一定规律排成下表： 第一行                             第二行                             第三行                              第四行                                第五行                               从表中可以看到，第4行中自左向右第3个数是，第5行中自左向右第4个数是，那么 （1）是第 行中自左向右第 个数． （2）第199行中自左向右第8个数是 ． 【答案】 8 4 【分析】本题考查数字类规律探索，由已知数据可知：第几行就有几个数，且分母是偶数的数是负数，分母是奇数的数是正数，利用规律求解即可． 【详解】解：， 是第8行中自左向右第4个数； ， 第199行中自左向右第8个数是， 故答案为：8，4，． 3．观察下面三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 2、、14、、62、、……③ (1)第①行第7个数是______； (2)第①行第n个数是______； (3)请说出第②行数与第①行相对应的数有什么关系？ (4)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)128 (2) (3)第②行数等于第①行相应数减去2 (4)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数，根据题意找出各行之间数的变化规律是解题的关键． （1）观察数据可知，第①行第7个数是； （2）观察数据可知，第①行的数都是2的乘方得到，且偶数个数的系数为负，据此即可求解； （3）观察数据可知，第②行的数等于第①行相应的数减去2； （4）根据第②行的数等于第①行相应的数减去2，第③行的数是第①行与第②行相应的数的和，分别用表示出来列出代数式，利用3数之和为1020得到方程，解出来答案后，然后再判断是否合理． 【详解】（1）解：观察数据可知，第①行第7个数是， 故答案为：128． （2）解：观察数据可知，第①行的数都是2的乘方得到，且偶数个数的系数为负， 所以第①行第n个数是， 故答案为：． （3）解：观察数据可知，第②行的数等于第①行相应数减去2； （4）解：不存在，理由如下： 观察数据可知，第②行的数等于第①行相应数减去2，第③行的数是第①行与第②行相应的数的和， 由题意可知，同一列的数字符号相同，那么这三个数都是正数， 设第①行的数为，第②行相应的数为，第③行相应的数为， ∴这一列三个数的和为， 整理得， 那么这3个数为256、254、510， ， ∴256在第八列， 但第八列是负数，故不存在这样的数． 类型七、操作问题 【解惑】有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法： ①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到系数之间的规律是解题的关键． 先计算出三次操作的所有整式，然后找出规律进行判断即可． 【详解】解：第1个整式：， 第2个整式：， 第3个整式：， 第4个整式：， 第5个整式：， 第6个整式：， 第7个整式：， 第8个整式：，故①正确； 由此规律可知，第n个整式中含项的系数的2倍与第个整式中含项的系数之差为1；第n个整式与第个整式，x项的系数和为； ∴第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1，故②正确；第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于，故③错误； 故选：C． 【融会贯通】 1．依次排列的两个整式，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（   ）个． ①第6个整式为； ②第个整式中系数与系数的和为； ③若，则前个整式之和为． ④第次与第次操作后得到的两个整式中与所有系数的绝对值之和为； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的加减运算，整式的加减运算中的规律探究，举反例方法的应用，绝对值的含义，掌握探究的方法是解本题的关键．先根据题意得出前面五次操作的结果，再进行观察，分析得出规律，结合举反例的方法，从而可得答案． 【详解】解：①第1个整式：， 第2个整式：， 第3个整式：，（第一次操作） 第4个整式：，（第二次操作） 第5个整式：，（第三次操作） 第6个整式：，（第四次操作） 第7个整式：，（第五次操作） 故①错误； 由前面7个等式可得的系数之和为， ∴第个整式中系数与系数的和为；故②正确； ∵，当时，前3个整式之和为： ，故③错误； 当时，第一次操作得，第二次操作得， 此时所有的系数的绝对值之和为， 此时，故④错误； 综上分析可知：正确的有1个， 故选：B． 2．在数字探索游戏中，小明将数组，，进行了一系列操作后得到新的数组， 操作如下： 用相邻两个数中左边的数减去右边的数，所得之差放在两数之间 得到一个新的数组，即 ，，，，，这称为第次操作继续操作下去会得到不同的新的数组．当小明操作第次后又得到一个新的数组，则该数组之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现所得新数组的和依次增加是解题的关键．根据所给操作方式，依次求出每次操作后所得数组的和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第次操作后，所得新数组的和为：； 第次操作后，所得新数组的和为：； 第次操作后，所得新数组的和为：； ， 所以第次操作后，所得新数组的和为． 当时， ， 即第次操作后，所得新数组的和为． 故答案为：． 3．甲、乙两名同学分别以作为起始整式，第一次分别用自己的整式的3倍减去对方的整式，得到新的整式；以后每次都用自己得到的整式的3倍分别减去对方的整式得到整式． 如表所示： 甲 乙 甲、乙所得整式的差 起始整式 第一次操作 第二次操作 … … … … (1)则______，______； (2)求第四次操作后甲、乙所得整式的差； (3)写出第次操作后甲、乙所得整式的差（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减运算．解题的关键是理解题干中的操作方法，抽象概括出相应的数字规律． （1）根据题干中的运算方法，进行计算即可； （2）两个多项式进行相减，即可得出结果； （3）根据前三个整式，推断出相应的规律，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ； ； 故答案为：；． （2）解：第三次操作：甲：， 乙：， 甲、乙所得整式的差：； 第四次操作：甲：， 乙：， 甲、乙所得整式的差：； （3）解：起始整式，甲，乙所得整式的差为：； 第一次操作，甲，乙所得整式的差为：； 第二次操作，甲，乙所得整式的差为：； 第三次操作，甲，乙所得整式的差为：； ， 第次操作，甲，乙所得整式的差为：． 类型八、规律——数与图形 【解惑】观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … (1)写出第5个等式： ； (2)猜想第n个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式，再进行总结，并对等式左边的式子和右边的式子进行整理即可． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 故答案为：． （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …， 第n个等式为：， 证明：左边，右边， 左边右边， ． 【融会贯通】 1．观察下列各式： ， ， ， ， …… 回答下面的问题： (1)猜想__________．（直接写出你的结果） (2)利用你得到的（1）中的结论，计算的值． (3)计算的值． 【答案】(1) (2)25502500 (3)13005000 【分析】本题主要考查数字规律，根据题意得出规律是解题的关键． （1）由前面的具体运算归纳即可； （2）根据（1）所得规律求解即可； （3）将所求式子变形为，再结合（1）所得规律求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式； （3）解：原式． 2．如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去． (1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数填入下表： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 … (2)请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？ 【答案】(1)13，17, (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查了图形规律，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干划分的图形特征，得出第n次划分，得出共有个正方形，即可作答． （2）依题意，列式，得不是整数，即可作答． 【详解】（1）解：根据题干分析可得：第1次划分，得出个正方形； 第2次划分，根据图形得出共有个正方形； 第3次划分，根据图形得出共有个正方形； 第4次划分，根据图形得出共有个正方形， …… 以此类推：写成第n次划分，得出共有个正方形； 即填表如下： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 13 17 … （2）解：不能得到103个正方形，理由如下： 由（1）得第n次划分，得出共有个正方形； ∴令，则不是整数，故舍去； ∴不能得到个正方形． 3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 【答案】 21 【分析】本题主要考查了代数式的规律题，根据题目规律得到连续自然数相加，再根据连续自然数相加的规律得到答案即可； 【详解】解：（1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”， ，即第6个三角形数是21； ，即第n个三角形数是． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分，那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．以此类推，第n幅图为． 故答案为：（1）21，；（2）；（3），，． 类型九、整体思想 【解惑】理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题关键． （1）把代入式子求值即可； （2）将原式变形为，再把代入求解即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 原式 ． 【融会贯通】 1．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)11 (3)28 【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入思想求解是解答的关键． （1）根据已知等式可得，代入代数式，即可求解． （2）将代入代数式，即可求解． （3）两式相加后整体思想代入求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2026； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴， 即， ∴． 2．【教材呈现】如图是某版七年级上册数学教材82页的部分内容． 求代数式的值，其中，． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】 ①已知，则_______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知且，求m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)1 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，代数式的求值，整体代入是解题的关键； （1）把看作一个整体，合并同类项，即可进行化简； （2）①把看作一个整体进行化简，再代入求值即可， ②先把看作一个整体，合并同类项，再整体代入计算即可； （3）将方程化为，再将，代入求值即可． 【详解】（1）解：设， 原式 ； 当时， 原式； （2）解：①∵， ∴ 故答案为：． ②∵， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ 即 解得：． 3．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则______；我们将作为一个整体代入．则原式．仿照这样的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，求的值： (3)若，，则______． (4)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体思想的应用，是解题的关键． （1）根据，得到，整体代入求值即可； （2）把看作一个整体，代入求值即可； （3）整体代入法，求值即可； （4）把，代入，得到，再把，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：2025； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴； 故答案为：28； （4）解：当时，， ∴， ∴当时， ． 类型十、新定义应用 【解惑】定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． 已知关于x的多项式与多项式是恒等的． (1) ； (2)若数，数，则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ 【答案】(1)3； (2)数m与数n互为相反数，见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据两个多项式恒等时，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等，则得到a，d的值； （2）由（1）得，计算，得到，即可判断数m与数n互为相反数． 【详解】（1）解：关于x的多项式与多项式是恒等， ∴，，， 故答案为：3，； （2）解：数m与数n互为相反数，理由如下： 由（1）得，即， ∵数，数， ∴ ， ∴数m与数n互为相反数． 【融会贯通】 1．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数，例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)3与__________是关于8的友好数，与__________是关于8的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于8的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于8的友好数，求代数式的值． 【答案】(1)5， (2)a与b是关于8的友好数； (3)1 【分析】本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算． （1）根据题意列式即可得到本题答案； （2）根据题意列式并计算得到，即可得到本题答案； （3）根据题意列式并计算得到，再整体代入即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，， 故答案为：5，； （2）解：∵，， ∴ ， ∴a与b是关于8的友好数； （3）解：∵，，且c与d是关于8的友好数， ∴，即：， ∴ ． 2．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 3．任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453的千位数字与百位数字的和为：，十位数字与个位数字的和为：，所以3453是一个“七上八下数”；3452的十位数字与个位数字的和为：，所以3452不是一个“七上八下数”． （1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由； （2）若对于一个“七上八下数”，交换其百位数字和十位数字得到新数，并且定义，若与个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”，并说明理由． 【答案】（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由见详解；（2）2562、6153、3426、7017 【分析】（1）根据“七上八下数”的定义，直接判断即可； （2）设七上八下数m=1000a+100b+10c+d，根据、与个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，可得，从而得，再对d的值进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由如下： ∵2571的千位数字与百位数字的和为：2+5=7，十位数字和个位数字和为：7+1=8， ∴2571是七上八下数， ∵4425的千位数字与百位数字的和为：4+4=8≠7，十位数字和个位数字和为：2+5=7≠8， ∴4425不是七上八下数； （2）设七上八下数m=1000a+100b+10c+d，其中a+b=7，c+d=8， 其中1≤a≤7，0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，则交换百位数字和十位数字后得到新数为=1000a+100c+10b+d， ∴==， ∵与个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方， ∴设， ∴， ∵0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数， ∴是正整数， ∵c+d=8，即c=8-d， ∴，即：， 当d=0时，＞8，不合题意，舍去； 当d=1时，， ∵0≤b≤6， ∴=0或1或2， ∵n为正整数， ∴没有符合的n值； 当d=2时，， ∵0≤b≤6， ∴=0或1或2或3或4或5或6， ∵n为正整数， ∴=5符合条件，此时，b=5，d=2，a=7-b=2，c=8-d=6， ∴m=2562， 同理：当d=3时，， ∵0≤b≤6， ∴=4或5或6或7或8或9或10， ∵n为正整数， ∴=5符合条件，此时，b=1，d=3，a=7-b=6，c=8-d=5， ∴m=6153； 同理：当d=4时，没有满足条件的n； 当d=5时，没有满足条件的n； 当d=6时，m=3426； 当d=7时，m=7017； 当d=8时，没有满足条件的n． 综上所述：满足条件的所有“七上八下数”为2562、6153、3426、7017． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，理解“七上八下数”的定义，列出代数式，式解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 整式及其加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、程序流程图 【解惑】如图的运算程序中，第1次输入的x为27，则第2025次输出的结果（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，当输入有理数时，的值为（    ） A． B． C． D． 2．根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入时，则输出y的值是 ． 3．如图，这是一个数值运算程序： (1)若输入的是，经历程序运算2次，求第2次输出的结果． (2)若输入的是，经历程序运算2025次，求第2025次输出的结果． 类型二、新定义运算 【解惑】对于有理数，定义，则化简后得（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一），，， ， ， 运算（二），，，，利用以上规律计算：（   ） A． B．4049 C．0 D． 2．定义：a 是不为 1 的有理数， 我们把 称为 a 的差倒数，例如：2 的差倒数是 的差倒数是 已知 是的差倒数， 是的差倒数，是的差倒数……依次类推，则 的值为 ． 3．现定义新运算为：，如． (1)计算和的值； (2)化简； (3)若，求的值． 类型三、阴影面积部分 【解惑】如图，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为，则等于（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【融会贯通】 1．如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为，周长之和为，则下列说法正确的是（   ） A．和均不变 B．只有不变 C．只有不变 D．和均会变 2．如图，四边形是边长为2的正方形，以点B为圆心、的长为半径的圆与正方形交于A，C两点，以点C为圆心、的长为半径的圆与正方形交于B，D两点，两个阴影部分的面积分别记为和，则 ．（结果保留） 3．如图，一张边长为15的正方形图案，有两个一样大小的直角三角形和一个长方形．设小长方形的长和宽分别为x，y，两个小直角三角形的两条直角边长也分别为x，y． (1)用x，y表示图中空白（即两个直角三角形和一个长方形）的总面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 类型四、应用——数字、打折问题 【解惑】观察下列等式：则    的末位数字是（    ） A．0 B．1 C．3 D．9 【融会贯通】 1．李明去超市购物，打算购买一件商品，在结账时遇到了问题：这件商品正在举行促销活动，可以打七折，李明手里有一张15元的优惠券．李明通过计算选择了“先打折，再用券”，请问“先打折，再用券”比“先用券，再打折”省多少钱？（    ） A．4.5元 B．4元 C．15元 D．10.5元 2．已知一个两位数的十位、个位上的数字分别为，记这个两位数为，若在这个两位数中间添加一个数字0，就得到一个三位数，则这个三位数可用代数式表示为 ． 3．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物620元，他实际付款 元． (2)若某位顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，那么他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表示）． (3)如果王老师两次购物货款合计850元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？（货款为打折前的货物总价） 类型五、应用——日历、整除问题 【解惑】左图是2025年1月份的日历，用右图所示的“九方格”框住左图中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d．则代数式的值是（   ） A． B．2 C． D．不确定 【融会贯通】 1．交换一个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新的两位数，则这两个两位数的和一定能被（   ） A．8整除 B．9整除 C．10整除 D．11整除 2．下图是某月份的日历，用一个方框圈出任意个数，设最中间一个数是，则用含的代数式表示这个数的和是 ．    3．阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 类型六、行列排序问题 【解惑】“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【融会贯通】 1．张老师将正整数按照如图所示的方式依次排列，假设1600在第m行，从左向右第n个位置，则的值等于（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 2．将，，，，，， ……按一定规律排成下表： 第一行                             第二行                             第三行                              第四行                                第五行                               从表中可以看到，第4行中自左向右第3个数是，第5行中自左向右第4个数是，那么 （1）是第 行中自左向右第 个数． （2）第199行中自左向右第8个数是 ． 3．观察下面三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 2、、14、、62、、……③ (1)第①行第7个数是______； (2)第①行第n个数是______； (3)请说出第②行数与第①行相对应的数有什么关系？ (4)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 类型七、操作问题 【解惑】有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法： ①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【融会贯通】 1．依次排列的两个整式，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（   ）个． ①第6个整式为； ②第个整式中系数与系数的和为； ③若，则前个整式之和为． ④第次与第次操作后得到的两个整式中与所有系数的绝对值之和为； A．0 B．1 C．2 D．3 2．在数字探索游戏中，小明将数组，，进行了一系列操作后得到新的数组， 操作如下： 用相邻两个数中左边的数减去右边的数，所得之差放在两数之间 得到一个新的数组，即 ，，，，，这称为第次操作继续操作下去会得到不同的新的数组．当小明操作第次后又得到一个新的数组，则该数组之和为 ． 3．甲、乙两名同学分别以作为起始整式，第一次分别用自己的整式的3倍减去对方的整式，得到新的整式；以后每次都用自己得到的整式的3倍分别减去对方的整式得到整式． 如表所示： 甲 乙 甲、乙所得整式的差 起始整式 第一次操作 第二次操作 … … … … (1)则______，______； (2)求第四次操作后甲、乙所得整式的差； (3)写出第次操作后甲、乙所得整式的差（直接写出结果）． 类型八、规律——数与图形 【解惑】观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … (1)写出第5个等式： ； (2)猜想第n个等式，并证明． 【融会贯通】 1．观察下列各式： ， ， ， ， …… 回答下面的问题： (1)猜想__________．（直接写出你的结果） (2)利用你得到的（1）中的结论，计算的值． (3)计算的值． 2．如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去． (1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数填入下表： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 … (2)请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？ 3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 类型九、整体思想 【解惑】理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【融会贯通】 1．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 2．【教材呈现】如图是某版七年级上册数学教材82页的部分内容． 求代数式的值，其中，． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】 ①已知，则_______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知且，求m的值． 3．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则______；我们将作为一个整体代入．则原式．仿照这样的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，求的值： (3)若，，则______． (4)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 类型十、新定义应用 【解惑】定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． 已知关于x的多项式与多项式是恒等的． (1) ； (2)若数，数，则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ 【融会贯通】 1．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数，例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)3与__________是关于8的友好数，与__________是关于8的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于8的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于8的友好数，求代数式的值． 2．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 3．任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453的千位数字与百位数字的和为：，十位数字与个位数字的和为：，所以3453是一个“七上八下数”；3452的十位数字与个位数字的和为：，所以3452不是一个“七上八下数”． （1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由； （2）若对于一个“七上八下数”，交换其百位数字和十位数字得到新数，并且定义，若与个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”，并说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $