广东省深圳市福田区福田中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

福田中学2026届高三年级第一次月考 数学试卷答案 命题人：马海琳 审题人：李向皇 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷选择题（共11题，共58分），第Ⅱ卷主观题（共92分）； 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号等填写在答题卡信息填写处； 3. 回答选择题时，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。请将所有答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 【解】集合, 所以 ， 故， 故选：C． 2．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解】由，有可能 ，不能得到，不充分。 由，则 ，于是成立，必要。 所以“”是“”的必要不充分条件 故选：B． 3．已知，若，则 A． B． C． D． 【解】因为，所以， 所以. 故选：D. 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若已知，，，则的面积是 A． B． C． D． 【解】由正弦定理化简得， 再由余弦定理结合题干信息可得，， 得，， 则的面积是. 故选：A 5．已知随机变量，，，则的最小值为 A． B． C． D． 【解】由题意得 则 故选：C． 6．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【解】当时，，易得在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 又为定义在上的奇函数， 所以当时，， 当时，， 当或时，. 综上，不等式的解集为. 故选：A. 7．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【解】因为，所以， 由函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 得，解得. 故选：D. 8．已知函数，则 A． B． C． D． 【解】由题意得， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ， 所以为偶函数，可知 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，， ，即， 所以，即， 所以，即. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分。 9．在二项式的展开式中，下列结论正确的是 A．常数项为 B．含的项的系数为 C．所有的二项式系数之和为64 D．所有项的系数之和为 【解】A：由题得二项式的展开式为， 当时为常数项，且系数为，故A错误； B：当时，系数为，故B正确； C：因，所有的二项式系数之和为，故C正确； D：令，得所有项的系数之和为，故D错误. 故选：BC. 10．定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是 A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 【解】选项A，， 即函数的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则， 所以函数的图象关于 对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，函数为偶函数，选项D错误. 故选：BC. 11．在斜三角形中，角的对边分别为．若，则 A．为锐角三角形 B． C．若，则 D． 【解】由正弦定理可得，且，则，故C正确； 由，可得是锐角, 当时，由，则，显然不合题意， ，由，解得，故A错误，B正确； 可得 ， 由，则，可得， 令，则，可得， 由，则代入可得最大值为，代入可得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为 .【答案】1 【解】由已知得，所以. 故答案为：1. 13．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解】因为， ， 在区间内单调递增， 在上恒成立，在上恒成立， 在上恒成立， ，， 因为在， ，则的取值范围是：. 14．某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则， ．【答案】 【解】根据题意可知，指的是当三种颜色的球都被摸到时乙摸球的次数为5. 所以可能的情况为： 前4次摸出2个白球、2个红球，第5次摸出1个黄球：此时概率为. 前4次摸出2个白球、2个黄球，第5次摸出1个红球：此时概率为. 前4次摸出2个黄球、2个红球，第5次摸出1个白球：此时概率为. 前4次摸出3个黄球、1个红球，第5次摸出1个白球或者前4次摸出3个黄球、1个白球，第5次摸出1个红球：此时概率为. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数的最大值为． （1）求常数的值； （2）求使成立的的取值集合． 【解】（1）∵ ， …………………………5分 ∵，， ∴， ∴． …………………………7分 （2）∵，即， ∴， ……………………………9分 ∴，， 解得，， …………………………12分 ∴使成立的的取值集合是，. ……………………13分 16．（15分）已知函数，其中为常数，且． （1）若是奇函数，求的值； （2）证明：在上有唯一的零点． 【解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，………………1分 由是奇函数，得 ……………………………7分 解得； ……………………………8分 （2）函数， 因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 又在上单调递增，因此在上单调递增，………………………12分 而，， ………………………14分 所以在上有唯一的零点. ……………………15分 17．（15分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求证：； （2）若为锐角三角形且，求a的取值范围. 【解】（1）因为，所以， 所以， 即， ………………………………4分 因为，所以， 又因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； ………………………………7分 （2）由题意， 所以，……………………10分 因为为锐角三角形，所以，解得，……………………13分 从而的取值范围是， 所以的取值范围是. …………15分 18．（17分）2024年3月20日，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场成功发射升空，鹊桥二号中继星作为探月四期后续工程的“关键一环”，将架设地月新“鹊桥”，为嫦娥四号，嫦娥六号等任务提供地月间中继通信．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本进行调查，调查结果如下表： 学生群体 关注情况 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 （1）完成上述列联表，若依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量的最小值； （2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择： 方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级； 方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级． 已知某同学答出三个问题的概率分别是，回答三个问题正确与否相互独立，则该同学选择哪种 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 方案晋级的可能性更大？ 附：， 其中． 【解】（1）由题意可将列联表补充完整如下： 学生群体 关注情况 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 ………………………………2分 零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关，，…………………5分 因为依据小概率值的独立性检验，判断不成立，认为关注航天事业发展与学生群体有关， 所以，解得， …………………7分 由已知易得是10的倍数，所以． ……………………8分 （2）记该同学答出三个问题的事件分别， 则显然要根据相互独立事件概率“”进行计算即可得出结论． 则， ……………………10分 记选择方案一通过的概率为， 则； ……………………13分 记选择方案二通过的概率为，则， ……………………16分 因为，故该同学应该选择方案一． ……………………17分 19．（17分）已知函数为自然对数的底数． (1)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (2)若，试讨论方程在上解的个数； (3)求证：对任意的，，恒有成立． 【解】（1）由题意得， ………………………………1分 因为函数存在单调递增区间，所以有解． 即有解，所以． ………………………………3分 又， 所以． ………………………………5分 （2）由题意，得只需讨论在上的零点个数， 其， 因为，所以，， 所以，故在上单调递减， ………………………………8分 而，令，其， 由得，所以在单调递减， 由得，所以在单调递增， 故，从而． …………………………………10分 于是，而，且函数的图像在上是连续不断的， 因此，函数在上有且只有一个零点． ………………………………11分 （3）证明：由于，即证对，成立， 只需证对恒成立， 由（2）可知，，所以有（当且仅当时取等）① 只需证对恒成立， …………………………13分 令函数，， 则， 当时，，，即在上是增函数， 当时，，，即在上是减函数， 所以在上，，所以． ………………………………15分 所以（当且仅当时取等）② 因为①②不能同时取等号，所以对恒成立， 所以对任意的，，恒有成立． ………………………………17分 试卷第2页，共3页 高三年级数学试卷 第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福田中学2026届高三年级第一次月考 数学试卷 命题人：马海琳 审题人：李向皇 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷选择题（共11题，共58分），第Ⅱ卷主观题（共92分）； 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号等填写在答题卡信息填写处； 3. 回答选择题时，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。请将所有答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 已知，若，则 A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若已知，，，则的面积是 A． B． C． D． 5．已知随机变量，，，则的最小值为 A． B． C． D． 6．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 7．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分。 9．在二项式的展开式中，下列结论正确的是 A．常数项为 B．含的项的系数为 C．所有的二项式系数之和为64 D．所有项的系数之和为 10．定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是 A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 11．在斜三角形中，角的对边分别为．若，则 A．为锐角三角形 B． C．若，则 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为 . 13．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 14．某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数的最大值为． （1）求常数的值； （2）求使成立的的取值集合． 16．（15分）已知函数，其中为常数，且． （1）若是奇函数，求的值； （2）证明：在上有唯一的零点． 17．（15分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求证：； （2）若为锐角三角形且，求a的取值范围. 18．（17分）2024年3月20日，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场成功发射升空，鹊桥二号中继星作为探月四期后续工程的“关键一环”，将架设地月新“鹊桥”，为嫦娥四号，嫦娥六号等任务提供地月间中继通信．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本进行调查，调查结果如下表： 学生群体 关注情况 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 （1）完成上述列联表，若依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量的最小值； （2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择： 方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级； 方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级． 已知某同学答出三个问题的概率分别是，回答三个问题正确与否相互独立，则该同学选择哪种 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 方案晋级的可能性更大？ 附：， 其中． 19．（17分）已知函数为自然对数的底数． (1)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (2)若，试讨论方程在上解的个数； (3)求证：对任意的，，恒有成立． 试卷第2页，共3页 高三年级数学试卷 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $