3.3 轴对称与坐标变化 课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

第三章　位置与坐标 学习目标 1.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程, 感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系, 进一步发展数形结合意识. 2.掌握坐标变化与轴对称的规律,并能利用变化规律解决问题. 3.3轴对称与坐标变化 情景导入 如图所示的平面直角坐标系中,第一、 第二象限内各有一面小旗。 (1)两面小旗有怎样的位置关系?对应 点A与的坐标有什么共同特点? 其他的对应点也有这个特点吗? y 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 2 O x 1 -4 -3 -2 -1 -5 -6 -4 -5 3 4 5 A B C 两面小旗关于y轴对称, 点A与的纵坐标相同,横坐标互为 相反数,其他的对应点也有这个特点 A ( 2, 4) (-2,4) B ( 5, 2) (-5,2) C ( 5, 2) (-5,2) D 由此,你发现了什么结论?与同伴交流. 关于y轴对称的两个点的纵坐标相同,横坐标互为相反数, 新知探究 y 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 2 O x 1 -4 -3 -2 -1 -5 -6 -4 -5 3 4 5 A B C (2)在这个坐标系中画出小旗ABCD 关于x轴的对称图形,它的各个“顶点” 的坐标与其对应点的坐标有什么关系? A ( 2, 4) (2,-4) B ( 5, 2) (5,-2) C ( 5, 2) (5,-2) D 横坐标相同,纵坐标互为相反数 由此,你发现了什么结论?与同伴交流. 关于x轴对称的两个点的横坐标相同,纵坐标互为相反数, (1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点：(0,0)， (5,4) ，(3,0)， (5,1) ，(5,-1)， (3,0)， (4,-2) ，(0,0)，你得到了一个怎样的图案？ y 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 2 O x 1 -4 -3 -2 -1 -5 -6 -4 -5 3 4 5 典例精析 (2)将各坐标的纵坐标保持 不变，横坐标都乘以－1 ， 则图形怎么变化？ 解: 纵坐标保持不变,横坐标分 别乘-1,所得各点的坐标依次是 (0,0),(-5, 4),(-3,0),(-5,1),(-5,-1), (-3,0),(-4,-2),(0,0), 依次连接这些点,所得图案如 图所示,它与原图案关于y轴对 称。 由此,你发现了什么结论?与同伴交流. 操作·思考 将下图各坐标的纵坐标都乘以－1，横坐标保持不变，则图形怎么变化？ y 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 2 O x 1 -4 -3 -2 -1 -5 -6 -4 -5 3 4 5 解: 横坐标保持不变,纵坐标分 别乘-1,所得各点的坐标依次是 (0,0),(5,-4),(3,0),(5,-1),(5,1), (3,0),(4,2),(0,0), 依次连接这些点,所得图案如 图所示,它与原图案关于x轴对 称。 由此,你发现了什么结论? 与同伴交流. 思考·交流 关于x轴对称的两个点的坐标之间有什么关系?关于y轴对称的两 个点呢?坐标具有这样关系的两个点,关于坐标轴对称吗?与同伴进行 交流。 关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数; 反过来,横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称。 关于y轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数; 反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称。 若P,Q两点关于x轴对称,则, 反之,若P,Q两点的坐标有, ,则P,Q两点关于x轴对称 若P,Q两点关于y轴对称,则, 反之,若P,Q两点的坐标有, ,则P,Q两点关于y轴对称 小试一下 1.在平面直角坐标系中，点关于 轴的对称点在( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知在平面直角坐标系中,点与点关于 轴对称,则( ) C A.，B.， C.，D.， 3.把各点的横坐标都乘 ,纵坐标不变,符合上述要求的图是( ) B A. B. C. D. 典例精析 如图所示，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点坐标分别为 ，， 。 y 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 2 O x 1 -4 -3 -2 -1 -5 -6 -4 -5 5 3 4 A B C 请画出关于轴对称的图 形点，， 的对称点 分别为，， ； D E F (2)内有点P(a,b),则在 中与点P对应的点Q坐标为 (-a,b) （3）在x轴上找一点 ，使 的 周长最小，并求出这个最小值. （3）在x轴上找一点 ，使 的 周长最小，并求出这个最小值. y 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 2 O x 1 -4 -3 -2 -1 -5 -6 -4 -5 5 3 4 A B C 解:如图作点B(2,4)关于x轴的对称点 (4,-2),连接交x轴于M,此时 的周长最小. M 由对称可知:BM= M, 的周长=BC+CM+BM =BC+ ， (4,-2) BC 的周长最小值为 当堂测评 1.在平面直角坐标系中，若点， 关于轴对称， 则 的值为( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1 2. 线段 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若线段与线段 关于 轴对称，则点的对应点 的坐标为( ) D A. B. C. D. B 3.在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点 关 于轴对称，已知点,则点 的坐标是( ) D A. B. C. D. 4.如图，已知点，， ， 点,关于轴对称，点,关于 轴对称， 是等腰直角三角形， ，点 在四边形边上从点 出发，以每秒5个 单位长度沿 方向运动，则 第2 025秒时，点 的坐标为_______________. 或 5.如图，在平面直角坐标系中，,， C是x轴上的一动点,则AC+BC的最小值为 . A B C 5 6. (1)【思考尝试】:数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面 直角坐 标系中，点关于 轴的对称点的坐标为_______； (2)【实践探究】:小睿受此问题启发，提出新的问题： 如图①，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，求点关于直线 的对称点的坐标 （用含， 的式子表示）； 如图①，设直线与的交点为，过点 作 轴，交直线于点，连接 ， 因为点，点关于直线 对称， 所以 ， , 所以 ， 所以， . 因为点的坐标为，所以易得 . 因为轴，所以 ， 所以 ，所以 . 在和 中 因为点的坐标为，所以易得点 . 所以 . 因为 ,所以 . 又因为轴，所以 轴. 因为， ， 所以点的坐标为 . 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新 的探究点，并进行了探究：如图②，在平面直角 坐标系中，点的坐标为 ，直接写出点 关于直线的对称点的坐标（用含 的式子表示）. 小博经过探究得出直线 上任意一点的横坐标与纵坐标的比 都是，点的纵坐标为 ，请帮助小博完成问题. 解:如图②，设直线与 的交 点为，过点作轴，交直线 于点，所以.因为点 ， 点关于直线对称， ，所以 ，.在和 中， 所以 ，所以 .因 为轴，点的纵坐标为 ，所以 点的纵坐标为，因为直线 上任意 一点的横坐标与纵坐标的比都是 ， 所以点的横坐标为.因为 ，所 以点的横坐标为，所以点 的坐 标为 ． 课堂小结 这节课,你学会了什么? 关于x(y)轴对称的两个点的坐标之间的关系 x轴对称,x相等,y相反;反之亦然 y轴对称,y相等,x相反;反之亦然 $