精品解析：2022年天津市中考数学结课模拟试卷（卷一）

2022年天津市中考数学结课模拟试卷（卷一） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列运算中，结果最小的是( ) A. 2＋(－3) B. 2×(－3) C. 2－(－3) D. －32 2. 计算tan45°+cos60°值为（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 4. 2018年9月14日，北京新机场名称确定为“北京大兴国际机场”，2019年建成的新机场一期将满足年旅客吞吐量45000000人次的需求．将45000000用科学记数法表示应为（　　　） A. B. C. D. 5. 如图，从上向下看几何体，得到的图形是（ ） A B. C. D. 6. 在□ABCD中，是上一点，交于点，若，，则的长为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 若点在反比例函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=（　　） A. B. 2 C. D. 12. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于，则下列结论： ①  ②  ③  ④ 其中正确的结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 计算：_____． 14. 一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的5个小球，其中黄球有2个，红球有2个，蓝球有1个，随机摸出一个小球为红球的概率是_________. 15. 抛物线y=2x2-6x-1的顶点坐标为_______，对称轴为________． 16. 已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，3）且和y＝2x﹣3平行，则函数解析式为_____． 17. 如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则_______________． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均为格点． （1）的面积等于_____． （2）请借助无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出的角平分线的垂直平分线，并简要说明你是怎么画出来的：_____． 三、解答题（共66分） 19. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来并写出非负整数解． 20. 在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题． （1）这次调查获取的样本容量是 （直接写出结果） （2）这次调查获取的样本数据的众数是 ，中位数是 ．（直接写出结果） （3）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费． 21. 已知四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，连接AC，BD． (1)如图①，若∠CBD＝36°，求∠BAD的大小； (2)如图②，若点E在对角线AC上，且EC＝BC，∠EBD＝24°，求∠ABE的大小． 22. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m） 23. 某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元. (1)若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元? (2)若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元? 24. 如图，点A是x轴非负半轴上动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t． （Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标； （Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C（1，2），且与直线y＝x交于点B（，）；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标； （3）点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年天津市中考数学结课模拟试卷（卷一） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列运算中，结果最小的是( ) A. 2＋(－3) B. 2×(－3) C. 2－(－3) D. －32 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的运算法则分别计算，再比较大小即可求解． 【详解】解：A、2+（-3）=-1， B、2×（-3）=-6， C、2-（-3）=5， D、-32=-9， 所以结果最小的是-9； 故选D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．也考查了有理数大小比较． 2. 计算tan45°+cos60°的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解. 【详解】解:tan45+cos60=1+=. 所以C选项是正确的. 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值. 3. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误， 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 4. 2018年9月14日，北京新机场名称确定为“北京大兴国际机场”，2019年建成的新机场一期将满足年旅客吞吐量45000000人次的需求．将45000000用科学记数法表示应为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：45000000=4.5×107， 故选：A． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5. 如图，从上向下看几何体，得到的图形是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】从上面看易得上面一层有2个正方形，中间一层有2个正方形，下面一层有1个正方形． 故选D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 6. 在□ABCD中，是上一点，交于点，若，，则的长为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由△AEO∽△CBO，可知OE：BO=3:1，即可得出OB的长. 【详解】∵ ∴，则 ∵△AEO∽△CBO， ∴， ∴OB=6，选C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的应用. 7. 如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键． 在优弧上取一点D，连接，，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形性质即得． 【详解】在优弧上取一点D，连接，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用加减消元法解这个二元一次方程组. 【详解】解： ①-②2，得：y=-2， 将y=-2代入②，得：2x-2=4， 解得，x=3， 所以原方程组的解是. 故选C. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点，解此题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较典型，难度适中. 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：D． 10. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点满足图象函数解析式是本题的关键． 将点A，点B，点C坐标代入解析式可求的值，即可得的大小关系． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠BCA=60°，AC=BC=AB， 又∵AD=BE， ∴AB-AD=BC-BE，即BD=CE， ∴△ACE≌△CBD， ∴∠CAE=∠BCD， 又∵∠AFG=∠ACF+∠CAE， ∴∠AFG=∠ACF+∠CAE=∠ACF+∠BCD=∠BCA=60°， ∵AG⊥CD于点G， ∴∠AGF=90°， ∴∠FAG=30°， ∴FG=AF， ∴. 故选A. 12. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于，则下列结论： ①  ②  ③  ④ 其中正确的结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由OA=OC 可得到C点坐标为（0，c），A点坐标为（-c，0），把它们代入解析式解得ac-b+1=0，即可判断②；由ac-b+1=0，得出b=ac+1<1，，根据三角形面积公式求得，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④． 【详解】解：∵抛物线顶点在第一象限， ∴， ∴，所以①正确； ∵OA=OC， ∴C点的坐标为（0，c），A点的坐标为（-c，0）， 代入得， ∴ac-b+1=0，所以②正确； ∵ac-b+1=0， ∴ac=b-1，b=ac+1<1， ∴， 设A（x1,0）,B（x2，0）， ∵AB=|x1-x2|=， ∴S△ABC=×AB×yM=× ×=1， ∴×=2， ∴，所以③正确； ∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点， ∴x1，x2是方程的两根， ∴x1，x2=， ∴OA⋅OB=，所以④正确； 故答案为A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质和二次函数与一元二次方程的联系． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，单项式除以单项式，根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 一个不透明口袋中有除颜色外完全相同的5个小球，其中黄球有2个，红球有2个，蓝球有1个，随机摸出一个小球为红球的概率是_________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据概率公式用红球的个数除以球的总个数即可． 【详解】摸出红球的概率. 故为. 【点睛】本题主要考查事件、随机事件的概率，熟悉掌握概率公式是关键. 15. 抛物线y=2x2-6x-1的顶点坐标为_______，对称轴为________． 【答案】 ①. （，-） ②. x= 【解析】 【分析】把抛物线化成顶点式即可求得顶点坐标与对称轴. 【详解】y=2x2-6x-1=2（x-）2-, ∴顶点坐标为(，-），对称轴为x=. 【点睛】此题主要考查抛物线的顶点坐标与轴对称，把解析式化成顶点式是解题的关键. 16. 已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，3）且和y＝2x﹣3平行，则函数解析式为_____． 【答案】y＝2x+1 【解析】 【分析】根据两直线平行可知k＝2，可得直线解析式为y＝2x+b，将点A（1，3）代入可求得b的值，可得直线解析式． 【详解】由一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝2x﹣3，可知k＝2 则一次函数为y＝2x+b， 将A的坐标（1，3）代入，得：2+b＝3， 解得：b＝1 这个一次函数的解析式是y＝2x+1． 故答案为y＝2x+1． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式的能力，根据两直线平行得到一次函数k值相等是关键，点的坐标代入求待定系数是基础． 17. 如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．过E作于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出的长． 【详解】解：设、交于点O，过E作于F， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分交于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 第二种方法：因为四边形是正方形， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均为格点． （1）的面积等于_____． （2）请借助无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出的角平分线的垂直平分线，并简要说明你是怎么画出来的：_____． 【答案】 ①. 6 ②. 见解析． 【解析】 【分析】（1）根据网格得出和的长度，再利用三角形面积公式，即可得到答案； （2）取格点E，得到是等腰三角形，根据矩形的性质，得到中点G，连接，根据等腰三角形三线合一的性质，即为的角平分线，与交点即为点D；连接交网格线于点N，根据平行线分线段成比例定理，得出N为中点，取格点H、K，连接交网格线于点M，可得四边形是矩形，即为的垂直平分线． 【详解】解：（1）由网格可知，，， ， 故答案为：6； （2）取格点E、F，连接、交于点G，与交点即为点D，连接交网格线于点N，取格点H、K，连接交网格线于点M，即为的垂直平分线； 如图，即为所求． 【点睛】本题的是无刻度直尺作图，涉及知识点包含等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，垂直平分线的性质等，灵活运用相关性质作图是解题关键． 三、解答题（共66分） 19. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来并写出非负整数解． 【答案】，见解析，非负整数解为0，1，2，3，4 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的非负整数即可． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：， 则不等式组的解集为，即不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4． 20. 在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题． （1）这次调查获取的样本容量是 （直接写出结果） （2）这次调查获取的样本数据的众数是 ，中位数是 ．（直接写出结果） （3）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费． 【答案】（1）40 （2）30，50 （3）50500元 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、加权平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据条形统计图中的数据可以求得这次调查获取的样本容量； （2）根据条形统计图中的数据可以得到这次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）先算出加权平均数，再根据样本估计总体的方法即可得到该校本学期计划购买课外书的总花费． 【小问1详解】 解：样本容量是：， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：由统计图可得，30出现的次数最多，从小到大排列排在第20和21位的数都是50， 所以这次调查获取的样本数据的众数是30，中位数是50， 故答案为：30，50； 【小问3详解】 解：（元）， 答：该校本学期计划购买课外书的总花费是50500元． 21. 已知四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，连接AC，BD． (1)如图①，若∠CBD＝36°，求∠BAD的大小； (2)如图②，若点E在对角线AC上，且EC＝BC，∠EBD＝24°，求∠ABE的大小． 【答案】(1)（2）24° 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠CBD=∠CDB=36°，根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC，∠CBD=∠CAD，根据∠BAD=∠BAC+∠CAD即可得答案； （2）根据等腰三角形性质可得∠EBD+∠CBD=∠BEC，根据外角性质可得∠BEC=∠ABE+∠BAE，由圆周角定理可得∠CBD=∠BAE，通过等量代换即可得∠ABE=∠EBD=24°. 【详解】（1） ∴ ∴ ∴ （2） ∴ = ∴ ∴ 【点睛】本题考查等腰三角形性质及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键. 22. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m） 【答案】该建筑物的高度约为138m． 【解析】 【分析】根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长． 【详解】解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m． 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝ ∴，3x＝(x＋100) 解得x＝50＋50＝136.6 ∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m) 答：该建筑物的高度约为138m． 23. 某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元. (1)若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元? (2)若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元? 【答案】（1）8元；（2）售价70元时，利润最大. 【解析】 【分析】（1）设每件售价提高x元，由题意得(10+x)(800-25x)=10800,;（2）设售价提高x元，利润y元，则,在0≤x≤10范围内求函数最值. 【详解】解：（1）设每件售价提高x元， 由题意得(10+x)(800-25x)=10800, 解得：x1=8,x2=14, 因为0≤x≤10 所以，x=8 答：售价应提高8元. （2）设售价提高x元，利润y元，则 因为0≤x≤10，当x=10元时，利润最大. 答：售价为70元，获得利润最大. 【点睛】理解题意，把问题转化为二次函数的最值问题是关键. 24. 如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t． （Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标； （Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值． 【答案】（1）（1，2）；（2）S=t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值 【解析】 【详解】试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可； （II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=t，AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围； （III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小． 试题解析：解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，当t=2时，OA=2．∵M是AB的中点，∴G是AO的中点，∴OG=OA=1，MG是△AOB的中位线，∴MG=OB=×4=2，∴M（1，2）； （II）如图1，同理得：OG=AG=t．∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAF=90°．∵∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAO=∠ACF．∵∠MGA=∠AFC=90°，MA=AC，∴△AMG≌△CAF，∴AG=CF=t，AF=MG=2，∴EC=4﹣t，BE=OF=t+2，∴S△BCE=EC•BE=（4﹣t）（t+2）=﹣t2+t+4； S△ABC=•AB•AC=••=t2+4，∴S=S△BEC+S△ABC=t+8． 当A与O重合，C与F重合，如图2，此时t=0，当C与E重合时，如图3，AG=EF，即 t=4，t=8，∴S与t之间的函数关系式为：S=t+8（0≤t≤8）； （III）如图1，易得△ABO∽△CAF，∴===2，∴AF=2，CF=t，由勾股定理得：AC===，BC===，∴BC+AC=（ +1），∴当t=0时，BC+AC有最小值． 点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C（1，2），且与直线y＝x交于点B（，）；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标； （3）点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标． 【答案】（1）y＝﹣2x2+4x；（2）当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为（，）；（3）点Q的坐标为（，） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2（a≠0），代入点B的坐标即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式； （2）设点P的坐标为（x，﹣2x2+4x）（0＜x＜），则点Q的坐标为（x，x），进而可得出PQ＝﹣2x2+3x，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）设点Q的坐标为（m，m），点N的坐标为（n，n），则点P的坐标为（m，﹣2m2+4m），点M的坐标为（n，﹣2n2+4n），根据平行四边形的性质可得出m+n＝，由PN⊥OB及直线OB的解析式可得出△PNQ为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出PQ＝2（n﹣m），结合PQ＝﹣2m2+3m，m+n＝，即可得出关于m的一元二次方程，解之取大于0小于的值即可得出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线顶点为C（1，2）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2（a≠0）． ∵点B（，）在抛物线上， ∴＝a（﹣1）2+2， ∴a＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+2，即y＝﹣2x2+4x． （2）设点P的坐标为（x，﹣2x2+4x）（0＜x＜），则点Q的坐标为（x，x）， ∴PQ＝﹣2x2+4x﹣x＝﹣2x2+3x＝﹣2（x﹣）2+． ∵﹣2＜0， ∴当x＝时，PQ的长度取最大值， ∴当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为（，）． （3）依照题意画出图形，如图所示． 设点Q的坐标为（m，m），点N的坐标为（n，n），则点P的坐标为（m，﹣2m2+4m），点M的坐标为（n，﹣2n2+4n）， ∴PQ＝﹣2m2+3m，MN＝﹣2n2+3n． ∵四边形PQNM为平行四边形， ∴PQ＝MN，即﹣2m2+3m＝﹣2n2+3n， ∴﹣2（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0． ∵m≠n， ∴m+n＝， ∴n＝﹣m． ∵直线OB的解析式为y＝x，PN⊥OB， ∴△PNQ为等腰直角三角形， ∴PQ＝NQ＝2（n﹣m），即﹣2m2+3m＝3﹣4m， 整理得：2m2﹣7m+3＝0， 解得：m1＝，m2＝3（不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为（，）． 【点睛】考查了二次函数的三种形式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、平行四边形的性质、等腰直角三角形以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）巧设抛物线的解析式为顶点式，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设出点P的坐标，找出PQ关于x的二次函数解析式，利用二次函数的性质解决最值问题；（3）由平行四边形的性质结合等腰直角三角形的性质找出关于点Q的横坐标的一元二次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $