精品解析：四川省广安市广安区等3地2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

2025年秋季学期三地高2026届入学考试 数学试题 注意事项： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 3.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5.考试结束后， 将答题卡、试卷、草稿纸全部交回. 请考生注意：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求， 1. 已知全集，，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若平面向量，则的最小值为（     ） A. 2 B. C. D. 3. 某种品牌摄像头的使用寿命ξ (单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.荆州中学在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为 A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，当时，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 数列满足：，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 下列命题错误的是（ ） A. 当时，函数的图象是一条直线 B. 已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是 C. 30030能被64个不同偶数整除 D. 在的二项展开式中，则第3项的二项式系数为10 11. 已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则（ ） A. B. 数列中与之间共有项 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________. 13. 已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________． 14. 楷书也叫正楷，真书，正书，是从隶书演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范，线条平直自然，结构匀称方正，运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中笔画“竖”的写法主要有垂露竖､悬针竖和短竖三种.小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君在一行内写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则这5个“十”字的不同写法共有__________种.（用数字作答） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）求的最小正周期； （2）若函数在区间上恰有两个零点， ① 求m的取值范围； ② 求的值. 16. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若是减函数，求的取值范围. 17. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 18. 近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力． （1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计． 月份 1 2 3 4 5 睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ （2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为． (ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； (ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 19. 已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点. （1）求曲线的标准方程; （2）已知是定值，求该定值; （3）求面积的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期三地高2026届入学考试 数学试题 注意事项： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 3.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5.考试结束后， 将答题卡、试卷、草稿纸全部交回. 请考生注意：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求， 1. 已知全集，，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数. 【详解】，，， 则集合的真子集个数为7个. 故选：C. 2. 若平面向量，则的最小值为（     ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系求出与的关系， 利用基本不等式求的最小值. 【详解】∵平面向量与平行， ∴，化简可得. ∴， 当且仅当，由，可得，时取等号. 所以的最小值为. 故选：B 3. 某种品牌摄像头的使用寿命ξ (单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.荆州中学在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两种情况下的使用概率，求得该摄像头平均使用寿命为4年，进而求得两个摄像头同时正常工作的概率． 【详解】因为使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2，因而根据正态分布规律可知该摄像头平均使用寿命为 年 所以每个摄像头4年内正常工作的概率为0.5，因而两个摄像头同时能正常工作的概率为 0.50.5=0.25 所以选B 【点睛】本题考查了正态分布的简单应用，独立事件概率的运算，属于基础题． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可求解. 【详解】由，可得，即，解得， 所以. 故选：A. 5. 若，当时，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数，指数函数，对数函数单调性可判断选项正误. 【详解】当时， 由于是一个减函数，故有， 由于是一个递增的幂函数，故， 由于是递减的对数函数，故， 综上. 故选：B. 6. 已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，由椭圆的定义可得，利用两点间的距离公式可求得，可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意，设，，， 则，， ， 则，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 7. 数列满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 8. 若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，然后利用切线长公式及二次函数的性质即得 【详解】由圆，可得， ∴圆心，又圆关于直线对称， ∴，即， 由点向圆所作的切线长为： ， 即切线长最小值为4. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】CD 【解析】 【分析】设，化简得到，从而得到方程组，求出或1，得到虚部. 【详解】，则， ∵， ∴， ∴， 故，解得，或1， 故虚部为0或1. 故选：CD． 10. 下列命题错误的是（ ） A. 当时，函数的图象是一条直线 B. 已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是 C. 30030能被64个不同偶数整除 D. 在的二项展开式中，则第3项的二项式系数为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】由幂函数图象的特点可得A错误；把换为可得，再代入化简可得，再根据导数的几何意义求解可得B正确；由加法原理结合组合数的计算可得C错误；先将原式变形为，再由二项式系数的计算可得D错误. 【详解】对于A，当时，函数的图象是一条除去点的直线，故A错误； 对于B，由，有， 即， 将代入， 有， 故，， 所以在处的切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程是，即，故B正确； 对于C，因为，所以30030的任一偶因数必含2这个因数， 另含3,5,7,11,13中的若干个因数， 在3,5,7,11,13共五个因数中取个数做因数，有种方法， 根据加法原理，30030的所有偶因数有个，故C错误； 对于D，， 所以第三项的二项式系数为，故D错误. 故选：ACD 11. 已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则（ ） A. B. 数列中与之间共有项 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据已知条件求，的通项公式，再根据数列的性质逐项判断. 【详解】数列的前项和，当时，； 当时，， 经检验，当时也满足，所以， 又因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以． 则数列为：， 所以，故选项A正确； 数列是由连续奇数组成的数列，都是偶数， 所以与之间包含的奇数个数为个，故选项B正确； 因为，前面相邻的一个奇数为， 令，解得， 所以数列从1到共有，也即，故选项C错误； 设位于与之间，则有，解得， 所以前1022项中包含的前10项，的前1012项， 即，故D正确． 故选：ABD 【点睛】注重等差数列等比数列基础知识的掌握，强化计算能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用第百分位数的定义求出，再利用组合的应用列式计算作答. 【详解】由，得， 于是展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 13. 已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设圆台的母线长为，根据圆台的侧面积公式和梯形面积公式分别计算侧面积和轴截面面积，由条件列方程求母线长. 【详解】设圆台的母线长为，高为，则， 因为圆台上、下底面的半径分别为1和2， 所以圆台的侧面积，轴截面面积， 由已知，化简得， 所以 解得． 故答案为：2. 14. 楷书也叫正楷，真书，正书，是从隶书演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范，线条平直自然，结构匀称方正，运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中笔画“竖”的写法主要有垂露竖､悬针竖和短竖三种.小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君在一行内写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则这5个“十”字的不同写法共有__________种.（用数字作答） 【答案】232 【解析】 【分析】根据题意分类讨论短竖有几处，结合组合相关概念计算即可. 【详解】当短坚为3处时，不同写法有40种， 当短坚为2处时，不同写法有种， 当短坚为1处时，不同写法有种， 当短坚为0处时，不同写法有种， 所以一共有种不同写法. 故答案为：232. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）求的最小正周期； （2）若函数在区间上恰有两个零点， ① 求m的取值范围； ② 求的值. 【答案】（1） （2）①或 ② 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，进一步结合周期公式即可求解； （2）①通过换元，将问题转换为的图象与直线在有两个交点，画出对应的图形即可得解；②根据对称性即可求解. 【小问1详解】 ， ∴的最小正周期为即为所求. 【小问2详解】 ①令，其中x与t是一一对应的， 当时，， ， 所以，如图， 要使在区间上恰有两个零点 等价于的图象与直线在有两个交点， 所以要使在区间上恰有两个零点， 的取值范围为或； ②设是函数的两个零点（即）， 由正弦函数图象对称性可知， 即，所以. 16. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若是减函数，求的取值范围. 【答案】（1）减区间为，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导求单调性即可.（2）由是减函数，则导函数参变分离转化为最值求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 令，令令所以函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 函数是减函数,则在恒成立. ，即， ，令，()，在单调递减，在单调递增，所以，故的取值范围是. 17. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，，且的中点为，所以， 又平面，故平面， 由于平面，故. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据，，即可根据线线垂直证明平面，即可根据线面垂直的性质求解； （2）利用等体积法即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，利用换元法，即可根据基本不等式求解最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由则， 取的中点，连接 故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心， 因为，故， 设到平面的距离为，到平面的距离为， 由等体积法可得 而， 由于，故， 所以，从而， 故到平面的距离为. 【小问3详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点作平面的垂线，垂足为， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， ， 故， ， 则， 设平面的法向量为，则 ， 取则， 设平面的法向量 ， ， 取则， 设平面与平面的夹角为， 故， ， 令，，故， 由于，故 当且仅当，即时取等号， 故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时. 18. 近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力． （1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计． 月份 1 2 3 4 5 睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ （2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为． (ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； (ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 【答案】（1）大约有71人 （2）(ⅰ) X 0 1 2 P ； (ⅱ) 第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为， 当时， ， 得：， 由①得： ，其中 是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 由聚点数列的定义知：， 当时，， 所以，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，所以数列是聚点数列，且聚点. 【解析】 【分析】(1)根据线性回归方程系数公式求解出回归直线方程，再将代入计算即可； (2)先求出数列通项公式，再根据聚点数列的定义证明即可. 【小问1详解】 解：，． ， ． ， ． 所以回归直线方程为， 当时，， 即预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有71人． 【小问2详解】 解：(ⅰ)的可能取值为． ； ； ； 所以的分布列为： X 0 1 2 P ． (ⅱ)略 19. 已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点. （1）求曲线的标准方程; （2）已知是定值，求该定值; （3）求面积的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点的坐标，由题意可得点的恒纵坐标的关系，即可得到曲线的标准方程； （2）设直线和直线的方程，然后与椭圆的方程联立，即可得到的坐标关系，进而可得为定值； （3）由题意可得的比值，由题意可得面积的表达式，再由函数的单调性，即可得到结果. 【小问1详解】 令且，因为，所以， 整理可得， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 设，，， 设直线和直线的方程分别为，， 联立直线与椭圆方程，整理可得， 则，， 联立直线与椭圆方程，整理可得， 可得，， 又因为，， 所以， 所以，即， 同理可得，，即， 所以. 设，，， 设，则有， 又， 可得， 同理可得， 所以. 【小问3详解】 不妨设，于是， 因此， 又因为，所以， 设，， 则，， ， 所以在单调递增，则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了椭圆中的定值问题与椭圆中的三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于设出直线方程与椭圆方程联立，表示出三角形面积公式，代入计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $