精品解析：2022年广东省潮州市潮安区中考数学二模试卷

2022年广东省潮州市潮安区中考数学二模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：，，是有理数； 是无理数． 故选C． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠A的度数是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果． 【详解】∵，， ∴∠A=30°， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 3. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 线段 B. 等边三角形 C. 圆 D. 长方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A．线段，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．等边三角形，是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C．圆，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．长方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（　　） A. 3.386×108 B. 0.3386×109 C. 33.86×107 D. 3.386×109 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108 故选∶A 【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，解题的关键是正确的找到a，n的值． 5. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单概率的计算公式即可得解. 【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是. 故选B. 考点：简单概率计算. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项运算，然后进行判断即可． 【详解】解：A、，错误，故不符合要求； B、，错误，故不符合要求； C、，正确，故符合要求； D、，错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算． 7. 如图，在中，，、分别是、的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线，解直角三角形的应用，掌握三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题关键．根据题意得到是的中位线，从而得出，则，由直角三角形的性质：斜边中线等于斜边一半，得到，再利用特殊角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 已知数m使关于x的不等式组至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程有不大于5的整数解，则所有满足条件的整数m的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分别解不等式组的两个不等式，根据“关于x的不等式组至少有一个非负整数解”，得到关于m的一元一次不等式，解之，解分式方程，结合“该分式方程有不大于5的整数解”，得到关于m的不等式，解之，经判断后即可得到m的值，即可得到答案． 【详解】解不等式﹣11x﹣5≤6得： x≥﹣1， 解不等式＞x﹣m得： x＜2m， ∵关于x的不等式组至少有一个非负整数解， ∴2m＞0， 解得：m>0， 解分式方程得： x＝，且x≠2， ∵关于x的分式方程有不大于5的整数解， ≤5且≠2， 解得：m≤13且m≠1， 则符合要求的m的值为：5，9，13，共3个， 故选：C． 【点睛】此题考查解不等式组，解不等式，根据不等式组及不等式的解的情况确定未知数的值，正确求解很关键. 9. 下列关于的说法正确的是（ ） A. B. 是有理数 C. D. 与最接近的整数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的知识，二次根式的化简，无理数的估算，根据，结合无理数的相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，是无理数，故选项错误； C、，故选项错误； D、，所以与最接近的整数是3，故选项正确． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】勾股定理得出，根据作图可知，垂直平分，根据，求得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据作图可知，垂直平分， ∴，，， ∴， 即， 解得： ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了余弦的定义，作线段，作垂线，勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算：___________（，结果精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算是解题的关键；因此此题可根据实数的运算进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为． 12. 如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，则与的度数和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和定理，三角形内角和定理． 根据正八边形的特征，由多边形内角和定理： （且n为整数）先求出正八边形的内角和，进一步得到2个内角的和，根据三角形内角和为，可求的度数，根据角的和差关系即可得到图中的结果． 【详解】解：如图， ， ， ． 故答案为：． 13. 在4张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出等边三角形、矩形、菱形和圆中中心对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可． 【详解】解：∵等边三角形、矩形、菱形和圆中中心对称图形有：矩形、菱形和圆共3个， ∴在4张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形和圆，在看不见图形的情况下随机抽取1张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是概率公式及中心对称图形，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 14. 路程一定，车轮的直径与转动的圈数成反比例．______判断对错 【答案】√ 【解析】 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【详解】解：车轮的周长， 因为车轮的周长车轮转动的圈数路程（一定）， 即：车轮的圈数路程（一定）， 所以车轮的直径与车轮的圈数成反比例． 故答案为：√． 15. 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：过P作PE⊥CD，PF⊥BC， 已知正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形， 所以∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，即可得∠PCE=30°， 所以PF=PB•sin60°=4×=2，PE=PC•sin30°=2， 即可得S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD =×4×2+×2×4-×4×4 =4+4-8 =4-4． 【点睛】本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）解方程组； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 方程组的解为； （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为． 17. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由： （3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）79，79，27； （2）乙班成绩比较好，理由： 乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好． （3）42人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解； （2）结合平均数，方差代表的数据信息说明； （3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数． 【小问1详解】 解：甲班成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，故中位数，众数； 乙班数据方差 【小问2详解】 略 【小问3详解】 获奖人数：（人）． 答：两个班获奖人数为42人． 【点睛】本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数，方差的定义是解题的关键． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先通分计算括号内的加法，再把除法化为乘法，分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 19. 某港口P位于东西方向的海岸线上．在港口P北偏东25°方向上有一座小岛A，且距离港口20海里；在港口与小岛的东部海域上有一座灯塔B，△PAB恰好是等腰直角三角形，其中∠B是直角； （1）在图中补全图形，画出灯塔B的位置；（保留作图痕迹） （2）一艘货船C从港口P出发，以每小时15海里的速度，沿北偏西20°的方向航行，请求出1小时后该货船C与灯塔B的距离． 【答案】（1）如图，点B即为所求见解析；（2）出发1小时后，货船C与灯塔B的距离为5海里． 【解析】 【分析】（1）轨迹题意画出图形即可； （2）首先证明∠CPB＝90°，求出PB、PC利用勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）如图，点B即为所求 （2）如图，∠CPN＝20°，∠NPA＝25°， ∠APB＝45°，∠CPB＝90° 在Rt△ABP中，∵AP＝20，BA＝BP， ∴PB＝10 在Rt△PCB中，由勾股定理得， CB＝＝＝5， ∴出发1小时后，货船C与灯塔B的距离为5海里． 【点睛】此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 20. 已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数的图象与轴相交于． （1）求这两个函数的解析式． （2）在给出的坐标系中画出这两个函数图象． （3）求的面积． 【答案】（1）， （2） 图象如图： （3）3 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、正比例函数解析式、画函数图象、求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数解析式画出函数图象即可； （3）根据计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：设正比例函数和一次函数解析式分别为和， 则，， ∴，， ∴正比例函数解析式为，一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：． 21. 兴隆台区的A商场和B商场都卖同一种学习用品，A商场的单价与B商场的单价之比是，用120元在A商场买这种电动玩具比在B商场少买2个，求这种电动玩具在A商场和B商场的单价． 【答案】这种电动玩具在A商场和B商场的单价分别是15元、12元 【解析】 【分析】设A商场该种电动玩具的单价是5x元，则B商场的该种电动玩具的单价是4x元，根据“用120元在A商场买这种电动玩具比在B商场少买2个列出关于的方程”解出即可． 【详解】解：设A商场该种电动玩具的单价是5x元，则B商场的该种电动玩具的单价是4x元．则 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解， 则 ，． 答：这种电动玩具在A商场和B商场的单价分别是15元、12元． 【点睛】本题主要考查解分式方程，根据题目条件列出分式方程是解题的关键． 22. 如图，是的直径，点，为上的两点且，连接，交于点，过点A作交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， 是的直径， ， ， ， ． ， ． ． ． ． ∵， ， ， 是半径， 为的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握切线的判定与性质和圆周角定理得到90°角是解题的关键． （1）连接、，由圆周角定理可得，即；再根据等腰三角形的性质可得，进而得到；再根据圆周角定理的关系可得，进而得到即可证明结论； （2）根据圆周角定理可得，利用勾股定理求得，再证可得即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径， ， 在中，， 为的切线． ， ， ， ， ， ． 23. 如图，抛物线过，，三点，边长为4的正方形的顶点，分别在轴上，轴上． （1）求抛物线解析式，并直接写出当时的最大值与最小值的差． （2）将正方形向右平移，平移距离记为． ①当点首次落在抛物线上，求的值． ②当抛物线落在正方形内的部分，满足随的增大而减小时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）y=2x2-8x+6，18；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后根据二次函数的性质可确定y的最大值与最小值，进而可得答案； （2）①当点首次落在抛物线上，则，解方程即可求出结果； ②当点首次落在抛物线上，，当时，抛物线落在正方形内的部分，满足 随的增大而减小，当时，即正方形运动到点处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足 随的增大而减小，当时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足随的增大而减小，故，进而求解． 【详解】解：（1）由题意得：，解得 ， 故抛物线的表达式为， 由抛物线的表达式知，其顶点坐标为， 当时，， 故当时，时，取得最大值16，而在顶点处取得最小值 ， 的最大值与最小值的差为； （2）①当点首次落在抛物线上，则，解得 ， 由于点C首次落在抛物线上，则； ②当点首次落在抛物线上，，当时，抛物线落在正方形内的部分，满足 随的增大而减小， 当时，即正方形运动到点处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足随 的增大而减小， 当时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足随的增大而减小，故； 故． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质、图形的平移等，确定正方形和抛物线的位置关系是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年广东省潮州市潮安区中考数学二模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠A的度数是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 线段 B. 等边三角形 C. 圆 D. 长方形 4. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（　　） A. 3.386×108 B. 0.3386×109 C. 33.86×107 D. 3.386×109 5. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，、分别是、的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数m使关于x的不等式组至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程有不大于5的整数解，则所有满足条件的整数m的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 下列关于的说法正确的是（ ） A. B. 是有理数 C. D. 与最接近的整数是 10. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算：___________（，结果精确到）． 12. 如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，则与的度数和为______． 13. 在4张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_______． 14. 路程一定，车轮的直径与转动的圈数成反比例．______判断对错 15. 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为__________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）解方程组； （2）解不等式组． 17. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由： （3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 18. 化简：． 19. 某港口P位于东西方向的海岸线上．在港口P北偏东25°方向上有一座小岛A，且距离港口20海里；在港口与小岛的东部海域上有一座灯塔B，△PAB恰好是等腰直角三角形，其中∠B是直角； （1）在图中补全图形，画出灯塔B的位置；（保留作图痕迹） （2）一艘货船C从港口P出发，以每小时15海里的速度，沿北偏西20°的方向航行，请求出1小时后该货船C与灯塔B的距离． 20. 已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数的图象与轴相交于． （1）求这两个函数的解析式． （2）在给出的坐标系中画出这两个函数图象． （3）求的面积． 21. 兴隆台区的A商场和B商场都卖同一种学习用品，A商场的单价与B商场的单价之比是，用120元在A商场买这种电动玩具比在B商场少买2个，求这种电动玩具在A商场和B商场的单价． 22. 如图，是的直径，点，为上的两点且，连接，交于点，过点A作交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图，抛物线过，，三点，边长为4的正方形的顶点，分别在轴上，轴上． （1）求抛物线解析式，并直接写出当时的最大值与最小值的差． （2）将正方形向右平移，平移距离记为． ①当点首次落在抛物线上，求的值． ②当抛物线落在正方形内的部分，满足随的增大而减小时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $