2026届高三数学专题培优讲义

2026年高考数学培优讲义

 

 

 

 

培优点1　集合中的创新问题

【重点解读】

数学思维的创新是思维品质的最高层次，以集合为背景的创新问题是新高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力.　　　　　　　　　　　　　　　

题型一　集合中的新概念

例1　(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F={a+b|a，b∈Q}也是一个数域.下列关于数域的命题中是真命题的为(　　)

A.0，1是任意数域中的元素

B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域

C.存在无穷多个数域

D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q⊆M∩N

 

 

【解题妙招】

新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，可以利用原有集合的相关知识解题.

【即时训练】

1　设全集U={2，3，5，6，9}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是　　　　　　　. 

题型二　集合中的新运算

例2　(多选)(2024·泰州模拟)对任意A，B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如：若A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A⊕B={1，4}.下列命题中，为真命题的是(　　)

A.若A，B⊆R且A⊕B=B，则A=∅

B.若A，B⊆R且A⊕B=∅，则A=B

C.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B

D.存在A，B⊆R，使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB

 

 

【解题妙招】

新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等进行解答.

【即时训练】

2　对于数集A，B，定义A+B={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，A÷B=，若集合A={1，2}，则集合(A+A)÷A中所有元素之和为(　　)

A.5 B. C. D.

题型三　集合中的新性质

例3　(2024·江门模拟)将2 024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5=2 024①，称五元有序数组(x1，x2，x3，x4，x5)为方程①的解，对于上述的五元有序数组(x1，x2，x3，x4，x5)，当1≤i，j≤5时，若max(xi-xj)=t(t∈N)，则称(x1，x2，x3，x4，x5)是t-密集的一组解.

(1)方程①是否存在一组解(x1，x2，x3，x4，x5)，使得xi+1-xi(i=1，2，3，4)等于同一常数？若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；

(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的？

(3)记S=，问S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.

 

 

 

【解题妙招】

新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.

【即时训练】

3　(2025·山东名校联盟联考)已知集合S={0，1，2，…，5n}(n∈N*)，集合T⊆S，记T的元素个数为|T|.若集合T中存在三个元素a，b，c(a<b<c)，使得c+2a>3b，则称T为“理想集”.

(1)若n=1，分别判断集合T1={0，2，3，5}，T2={0，1，2，5}是否为“理想集”，并说明理由；

(2)若n=1，写出所有的“理想集”T的个数并列举；

(3)若|T|=4n+2，证明：集合T必为“理想集”