精品解析：2022年河南省南阳市南召县中考数学三模试卷（5月份）

2022年河南省南阳市南召县中考数学三模试卷（5月份） 一、选择题（每小题3分；共30分） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. B. C. D. 2. 据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（　　） A. 28×10﹣9m B. 2.8×10﹣8m C. 28×109m D. 2.8×108m 3. 下列说法正确的是（ ） A. “在足球赛中，弱队战胜强队”是不可能事件 B. 疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用抽样调查 C. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5 D. 数据201，202，198，199，200的方差是0.2 4. 如图，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算：①；②；③；④，其中计算正确的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 7. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，规定，例如若则有，已知函数，则方程的解的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 9. 若点A、B、C都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a＋b的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分；共15分） 11. 不等式组的最小整数解为_____． 12. 用一组a，b的值说明命题“若非零实数，则”是错误的，这组值可以是_____， _____． 13. 如图所示的转盘，被分为6个面积相等的扇形，分别标有数字2、3、3、4、5、5．任意转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域的数字（指针指向区域分界线时，重新转动），则两次所指数字之和为7的倍数的概率是__________________． 14. 如图，在中，，点为上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，交于另一点，点为优弧上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 _____． 15. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD是△ABC的中线，E是AC上一动点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF线段CD交于点G，若△CEG是直角三角形，则CE＝____． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 2021年9月起，重庆市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．某区教委为了了解该区中学延时服务的情况，随机抽查了甲、乙两中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：；“满意”：；“比较满意”：；“不太满意”：；“不满意”：；）区教委将数据进行分析后，得到如下部分信息： a．甲中学延时服务得分情况扇形统计图 b．乙中学延时服务得分情况频数分布直方图 c．甲、乙两中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 79 79 80 乙 85 m 83 d．乙中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：． e．甲、乙两中学“满意组”的人数一样多． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出a和m的值； （2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）； （3）区教委指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计甲中学2000名家长中认为该校延时服务合格的人数． 18. 如图，已知点在y轴上，在x轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反比例函数在第一象限内的图象恰好经过点C，D． （1）直接写出：点D的坐标， ； （2）将正方形绕点B按顺时针方向旋转，当点C的对应点落在x轴上时，判断点D的对应点是否落在反比例函数的图象上，并说明理由． 19. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明． 20. 某广场前有一个斜坡的坡比，在坡角A点处测得商场主楼顶部H的仰角为，小明沿着斜坡行至距离A点10米的点D处测得主楼顶部H的仰角为，请你根据以上数据求主楼的高约为多少米？精确到，参考数据：，，，，，， 21. 2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级．红星塑料有限公司经过市场研究购进一批型可降解聚乳酸吸管和一批型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台型设备和3台型设备共需130万元，购买1台型设备的费用恰好可购买2台型设备． （1）求两种设备的价格； （2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如所示）． ①的解析式为_____________； 的解析式为______________． ②当销售量（）满足条件________时，该公司盈利（即收入大于成本）． （3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中型设备每天生产量为1.2吨，型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出型设备至少需要购进多少台？ 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）若，求抛物线所对应的函数解析式； （3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 23. 阅读理解： 如果一个等腰三角形的三个顶点在矩形的边上或矩形的边所在的直线上，我们称这个等腰三角形为这个矩形的“友好三角形”． 解决问题： 如图，在矩形中，是对角线，点E为直线上的一个动点，过点E作平行交或于F，连接、． （1）若点E在边上，且，以下三角形：①②③④，其中为矩形的“友好三角形”的是___________（填序号）； （2）当时，试判断是否为矩形的“友好三角形”？请说明理由； （3）当为矩形的“友好三角形”时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省南阳市南召县中考数学三模试卷（5月份） 一、选择题（每小题3分；共30分） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：有理数的绝对值为． 故选：A． 2. 据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（　　） A. 28×10﹣9m B. 2.8×10﹣8m C. 28×109m D. 2.8×108m 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】28nm =28×10﹣9m = 2.8×10﹣8m ， 所以28nm用科学记数法可表示为：2.8×10﹣8m， 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “在足球赛中，弱队战胜强队”是不可能事件 B. 疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用抽样调查 C. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5 D. 数据201，202，198，199，200的方差是0.2 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据概率的意义以及方差的定义和随机事件、全面调查和抽样调查的定义进行分析得出答案即可． 【详解】A、弱队有可能战胜强队，所以是可能事件，故错； B、疫情期间从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用普查，故错； C、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5，正确； D、平均数为200，代入方差公式可求方差为2，故错； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了方差的意义以及全面调查与随机事件和概率的意义，能够把方差与概率的意义与实际问题相结合是本题的关键． 4. 如图，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对顶角相等，利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到与平行，再利用两直线平行内错角相等及邻补角定义即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图， ， ，和为对顶角， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，邻补角的定义，对顶角相等等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，邻补角的定义，对顶角相等，是解题的关键． 5. 下列计算：①；②；③；④，其中计算正确的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算公式、乘法公式进行判断即可． 【详解】①，正确； ②；正确； ③，正确； ④，正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的运算、幂的运算等知识点，熟记公式并能灵活运用是解决问题的关键． 6. 如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图． 根据几何体的主视图和左视图，通过分析各层小正方体的数量，确定组成几何体小正方体的最多个数． 【详解】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最多有4个小正方体，而第二层则只有1个小正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是5个， 故选：C． 7. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆周角定理得出，进而得出，再由外角的性质得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点所对应的读数为， ， 为直径，， 点在上， ， ， 是的外角， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系． 8. 对于函数，规定，例如若则有，已知函数，则方程的解的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据规定将方程转化为一般式，再由根的判别式判断即可． 【详解】解：根据题意： ， 由：， 故：， 即：， ， 没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可． 9. 若点A、B、C都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断，可知反比例函数的图象在二、四象限，再利用图象法可得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限， 如图所示，当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，理解“在每个象限内，y随x的增大而增大”以及图象法是解本题的关键． 10. 如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a＋b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC＋PE＝PA＋PE，推出当A、P、E共线时，PE＋PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE＋PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE＋PC的最小值，PD的长即可解决问题． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点， ∴易证AE⊥BC， ∵A、C关于BD对称， ∴PA＝PC， ∴PC＋PE＝PA＋PE， ∴当A、P、E共线时，PE＋PC的值最小，即AE的长． 观察图象可知，当点P与B重合时，PE＋PC＝6， ∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4， ∴在Rt△AEB中，AE＝， ∴PC＋PE的最小值为， ∴点H的纵坐标a＝， ∵BC∥AD， ∴， ∵BD＝， ∴PD＝， ∴点H的横坐标b＝， ∴a＋b＝； 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（每小题3分；共15分） 11. 不等式组的最小整数解为_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】先求得不等式组的解集,再确定其整数解，最后确定最小值即可； 【详解】∵ 解①，得x≤1； 解②，得x＞-2； ∴不等式组的解集为-2＜x≤1， ∴整数解为-1,0,1， ∵-1＜0＜1， ∴最小整数解为x=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集及其整数解，实数的大小比较，熟练求得不等式组的解集及其特殊解是解题的关键． 12. 用一组a，b的值说明命题“若非零实数，则”是错误的，这组值可以是_____， _____． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．通过a取，b取可说明命题“若，则”是错误的． 【详解】解：当，时，，，而， ∴命题“若，则”是错误的 故答案为：；1．（答案不唯一） 13. 如图所示的转盘，被分为6个面积相等的扇形，分别标有数字2、3、3、4、5、5．任意转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域的数字（指针指向区域分界线时，重新转动），则两次所指数字之和为7的倍数的概率是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是列出表格，求出相应的概率． 根据题意可以画出相应的表格，然后即可求出两次所指数字之和为7的倍数的概率． 【详解】解∶列表如下 2 3 3 4 5 5 2 （2，2） （2，3） （2，3） （2，4） （2，5） （2，5） 3 （3，2） （3，3） （3，3） （3，4） （3，5） （3，5） 3 （3，2） （3，3） （3，3） （3，4） （3，5） （3，5） 4 （4，2） （4，3） （4，3） （4，4） （4，5） （4，5） 5 （5，2） （5，3） （5，3） （5，4） （5，5） （5，5） 5 （5，2） （5，3） （5，3） （5，4） （5，5） （5，5） 存在种可能性，其中两次所指数字之和为7的倍数有，，，，，，，共8种可能性， 故两次所指数字之和为7的倍数的概率是． 故答案为∶． 14. 如图，在中，，点为上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，交于另一点，点为优弧上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，切线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，理解等底时，高越大，面积越大，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 如图所示，连接，根据切线的性质，可求出，根据可求出的值，因为弓形的面积是定值，当的面积最大时，阴影部分的面积最大，如图，过点作，反向延长交于点，连接，当点重合时，的面积最大，即最大值为的面积，根据圆的基础知识可得是等边三角形，可求出，， 根据可求出弓形的面积，由此即可求解阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵弓形的面积是定值， ∴当的面积最大时，阴影部分的面积最大， 如图，过点作，反向延长交于点，连接，当点重合时，的面积最大，即最大值为的面积， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴图中阴影部分面积的最大值为：， 故答案为：． 15. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD是△ABC的中线，E是AC上一动点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF线段CD交于点G，若△CEG是直角三角形，则CE＝____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形：如图1中，当时．如图2中，当时，分别求解即可． 【详解】解：在中，，，， ，， ， ∴， ∴． 若△CEG是直角三角形，有两种情况： I．如图1中，当时． ∴， 作于．则， 在中，，， ． II．如图2中，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，此时点与点重合， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式运算法则，二次根式性质，零指数幂运算法则，进行计算即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据，进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 把代入得：原式． 17. 2021年9月起，重庆市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．某区教委为了了解该区中学延时服务的情况，随机抽查了甲、乙两中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：；“满意”：；“比较满意”：；“不太满意”：；“不满意”：；）区教委将数据进行分析后，得到如下部分信息： a．甲中学延时服务得分情况扇形统计图 b．乙中学延时服务得分情况频数分布直方图 c．甲、乙两中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 79 79 80 乙 85 m 83 d．乙中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：． e．甲、乙两中学“满意组”的人数一样多． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出a和m的值； （2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）； （3）区教委指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计甲中学2000名家长中认为该校延时服务合格的人数． 【答案】（1）；；（2）从平均数来看，乙学校整体成绩高于甲学校整体成绩；从中位数来看，乙学校的高分段人数较多；综上：乙学校的延时服务开展得更好；（3）名 【解析】 【分析】（1）根据甲、乙两中学“满意组”的人数一样多得出甲组满意的人数为人，从而得出甲组满意所占总人数百分比，进而得出的值；根据中位数的计算方法得出乙组的中位数位于第和的平均数； （2）根据平均数以及中位数进行分析即可； （3）由甲组70分及以上所占百分比估算甲中学2000名家长中认为该校延时服务合格的人数即可． 【详解】解：（1）∵甲、乙两中学“满意组”的人数一样多， ∴甲满意的人数为人， ∴甲满意的人数占甲组的百分比为：， ∴， ∴； 乙学校中位数为第名和名的平均数， ∴乙（中位数）＝， ∴； （2）略 （3）甲中学70分及以上的百分比＝， （名）， 答：甲中学2000名家长中认为该校延时服务合格的人数为名． 18. 如图，已知点在y轴上，在x轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反比例函数在第一象限内的图象恰好经过点C，D． （1）直接写出：点D的坐标， ； （2）将正方形绕点B按顺时针方向旋转，当点C的对应点落在x轴上时，判断点D的对应点是否落在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）点D的坐标为，2 （2） 没有，理由： 如图所示： ∵， ∴； 由旋转可知：； ∴， ∴的坐标为：； ∵， ∴点D的对应点不落在反比例函数的图象上． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及了全等三角形的判定与性质、旋转等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）作轴，证即可求解； （2）根据题意作图，可求出的坐标为：，据此即可验证； 【小问1详解】 解：作轴，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵反比例函数在第一象限内的图象经过点D． ∴； 【小问2详解】 略 19. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论． 【详解】解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线； （2）这个确定的值是． 证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 20. 某广场前有一个斜坡的坡比，在坡角A点处测得商场主楼顶部H的仰角为，小明沿着斜坡行至距离A点10米的点D处测得主楼顶部H的仰角为，请你根据以上数据求主楼的高约为多少米？精确到，参考数据：，，，，，， 【答案】建筑物的高约为米 【解析】 【分析】过点D作，垂足为P，过点D作，垂足为M，则，，根据斜坡的坡比，可得，从而在中，可求出，的长，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为P，过点D作，垂足为M， 四边形是矩形 ，， ∵斜坡的坡比， ， ， 在中，米， （米）， （米）， 设米， 米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根， （米） ∴建筑物GH的高约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21. 2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级．红星塑料有限公司经过市场研究购进一批型可降解聚乳酸吸管和一批型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台型设备和3台型设备共需130万元，购买1台型设备的费用恰好可购买2台型设备． （1）求两种设备的价格； （2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如所示）． ①的解析式为_____________； 的解析式为______________． ②当销售量（）满足条件________时，该公司盈利（即收入大于成本）． （3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中型设备每天生产量为1.2吨，型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出型设备至少需要购进多少台？ 【答案】（1）型设备为每台20万元，型设备为每台10万元；（2）①；；②；（3）至少购买型设备8台． 【解析】 【分析】（1）设A型设备为每台万元，则型设备为每台万元，根据题意列二元一次方程组求解即可． （2）①根据函数图像给出的点的信息，设函数表达式，求解参数即可． ②根据图像读出数据； （3）设购进A型设备台，则购进型设备台，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）设A型设备为每台万元，则型设备为每台万元.依题意，得 ，解得， 答：A型设备为每台20万元，型设备为每台10万元； （2）①根据图像特点，设，， 将点（10,20）代入，求解得到k=2，则； 将点（0,10）、（10,20）代入，求解得到m=1，n=10，则； ②从图形可以看出时，该公司盈利； （3）设购进A型设备台，则购进型设备台，依题意得 ，解得. ∴的最小整数为， 答：至少购买A型设备8台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一次函数性质与图像、一元一次不等式等有关知识点，读懂图像理解题意是解决问题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）若，求抛物线所对应的函数解析式； （3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【解析】 【分析】(1)根据对称轴公式求解即可； (2)根据AB两点坐标，求出对称轴，即可求出a； (3)确定点P在AB上，结合图象，根据抛物线与线段恰有一个公共点，确定P点与B点的位置即可． 【详解】解：(1)根据对称轴公式可得，； （2）∵抛物线与y轴的交点为A， ∴点A的坐标为． ∵过A所作x轴的平行线与抛物线的交点为B，， ∴点B的坐标为或．∴抛物线的对称轴为直线或． ∴或． ∴抛物线所对应的函数解析式为或． （3）∵过A所作x轴的平行线与抛物线的交点为B， ∴点B的纵坐标为1. ∴点B的横坐标是关于x的方程的解． 解得． ∴点B的坐标为．又∵点P的坐标为， ∴点P在直线上． ①如图4，当时，． ∴在右侧，且的y轴上的上方，在抛物线的对称轴右侧． ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴结合图象可得，点P，点B的横坐标，满足． ∴，解得． ②如图5，当时，， ∴在左侧，且的y轴上的下方，在抛物线的对称轴右侧． ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴结合图象可得，点P，点A的横坐标满足， ∴，解得． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解题关键是树立数形结合思想，结合图象，熟练运用二次函数相关性质解决问题． 23. 阅读理解： 如果一个等腰三角形的三个顶点在矩形的边上或矩形的边所在的直线上，我们称这个等腰三角形为这个矩形的“友好三角形”． 解决问题： 如图，在矩形中，是对角线，点E为直线上的一个动点，过点E作平行交或于F，连接、． （1）若点E在边上，且，以下三角形：①②③④，其中为矩形的“友好三角形”的是___________（填序号）； （2）当时，试判断是否为矩形的“友好三角形”？请说明理由； （3）当为矩形的“友好三角形”时，求的长． 【答案】（1）④；（2）不是，理由见解析；（3）或或． 【解析】 【分析】（1）根据新定义，逐次判定三角形是否是等腰三角形即可求解； （2）计算出，，即可求解； （3）当点在边上时，当时，即，即可求解；当、同理可解；当点在上时，由，即可求解． 【详解】解：（1），则， 在中，设，则，则， 则，则， ①在中，， 同理可得：，， 则没有两条边相等，则不符合题意； ②在中，，故不符合题意； ③在中，，则没有两条边相等，故不符合题意； ④在中，， 故符合题意， 故选④； （2）， 则， ，， ， 在中，，则， ， 而， 故不是矩形的“友好三角形”， （3）①当点在边上时，如题干图， 设，则， 在中，，则， 则，则， 在中，， 在中，， 当时，即，解得（不合题意的值已舍去）； 当时，即，解得（不合题意的值已舍去）； 当时，即，解得（舍去）； ②当点在上时，如下图， ， ， 当为矩形的“友好三角形”时，则只有，即为等腰三角形， 则， ，，故四边形为平行四边形， 故，， 设，则， 过点作于点，故， 在中，， 解得， 综上，的值为或或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质、新定义、解直角三角形等，题目综合性强，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $