四川省达州中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

达州中学高2023级2025-2026学年度高三上数学入学考试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.给出下列关系：①∈R:②2∈乙：③1-3eN:④1-51∈Q,其中正确的个数为) 2 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知复数z满足z-z=2,则川z=() A.5 B.√ C.2 D.5 3.已知非零向量a,b满足a上2b,且(a+b)⊥b,则a与b的夹角为() A月 B. 6 C D2元 6 3 1.1 4.已知函数y=a-1+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,且点A在直线y=x+n(m,n>0)上，则二+二的 m n 最小值为() A.4 B.1 C.2 D.2 5.已知圆O:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-2x+2y+F=0(F<1)相交所得的公共弦长为√2，则圆O,的半 径r=() A.1 B.√3 C.√5或1 D.5 6.设{an}是等比数列，且a+a2+4=1,a2+4+4=2,则a,+a+a4=() A.12 B.24 C.30 D.32 7.己知A,B分别为曲线y=e+x+1和直线y=2x-3上的点，则|AB|的最小值为() A.√5 B.4V5 c25 D.v5 5 5 8,用0,2,3,5,7,8这6个数字可以组成N个无重复数字的六位数，其中偶数有M个，则名人 27 13 A. B. 50 25 D时 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.记Sn为等差数列{a}的前n项和，则() 第1页，共9页 A.S3,S6-S,S,-S6成等差数列 S.S,S成等差数列 B 36,9 C.S =2S-S3 D.Sg=3(S。-S3) 10己知椭圆c:x+ “云+方-1(a>b>0)的左，右焦点分别为R,R,过点写垂直于x轴的直线交椭圆c于 AB两点，14B4∠ARB-否若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是() A.cos∠RPF,的最小值为-3 1 B.△PFF,的面积的最大值为3√2 C.PE·PE,的取值范围为[3,6] D.C上有且只有4个点P,使得△PFF,是直角三角形 11.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距 离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.己知VABC的外心为O,重心为 G,垂心为H,且AB=6,AC=4,以下结论正确的是() A.AG.BC=_ 20 B.AO·BC=10 C.OH=OA+OB+OC D.若1BC2V万，则OB.OC=-14 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知y=f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)=x2+,且f(3)=3,则a= 13.VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csin B=4 asin BsinC, b2+c2-a2=8,则VABC的面积为 4已知点P是藤圆C子了1上动点，过点P作eG:x++y朵的切线P4、B,切点酚 一十 43 别为A、B,当|PGAB|最小时，线段AB的长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第2页，共9页 15.（本小题13分) 如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M,点A,B在单位圆上，其中点A在第一象限，且 <AOB=7记MOA=a&,∠MOB=B y B M π ①)若a=二，求点A,B的坐标： 6 4 (2)若点A的坐标为 m, 求sina-sinB的值. 16.(本小题15分) 已函数/国-血x+2a-+瓜+1a>0 )求f(x): (2)若曲线y=f(x)在1，fI)处的切线与曲线y=g(x)也相切，求a. 17.(本小题15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥AC,AB=AC=AA=2,点E、F分别为棱AB、AB的中 点 A E ①)求直线C,E与直线AF的夹角的余弦值； (2)求点F到平面B,C,E的距离 第3页，共9页 18.（本小题17分) 己知耳，乃是椭圆C: 产+6=1(a>b>0的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点， I)若三角形PO2为等边三角形，求C的离心率； (2)如果存在点P,使得P耳⊥PF,,且VEPF的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 19.(本小题17分) 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同.游戏规定：每位参与 者进行（∈N)次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球 均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X,二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋 中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y. )若n=4, (ⅰ)求随机变量Y的分布列和数学期望； (ⅱ)游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为？，无 放回摸球中奖概率为乃，求和P并比较它们大小 (2②若n=10,当P(X=)取得最大时的k值满足fw)=ad产(a>Lk∈N),若函数y=f(6)与y=x有两个 不同的公共点，求a的取值范围. 第4页，共9页 达州中学高2023级2025-2026学年度高三上数学入学考试题 参考答案及评分意见 一、单选题。（每题5分，共40分) 1-4BBDC 5-8DDAB 二。多选题。（共18分） 9.ABD 10.BCD 11.AC⑦ 三.填空题。（共15分） 12.2 13.23 3 14. 2 四.解答题。（共77分） 15.解：)因为= 6 所以cosa= ,1nC= 51 所以点A坐标为 22 因为B=T+& 2π 2 3 厅以cosB=,sP=V3 1 2 15 所以点B坐标为 22 所以A,B两点坐标分别为 9 (2)由A点在单位圆上， 得 又点A位于第一象限，则m= 3 43 所以点A的坐标为 55 即sina=cos=5 3 4 所以sinB=sin 2+a=cosa=4 第5页，共9页 1 所以sina-sinB=- 16【答案】解：四因为fw)=1+2f0,所以f四=1+2f0,即f0=1, 所以f(x)=lnx-2x (2)因为f(1)=-2,所以f(x)在(1，-2)处的切线方程为y+2=-(x-1),即y=-x-1, 设y=g(x)在(x,g(x)处切线为y=-x-1,因为g(x)=x+a, x+a=-1, 2号+心，+1=，-1'化简得(a+1)2=4, 所以 因为a>0,所以+1=2，所以a=1. 17.解：Q①)以A为原点建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),C(0,2,2),E(1,0,0),F(1,0,2), 所以CE=(1,-2,-2),AF=1,0,2), 设直线C,E与直线AF的夹角为O, 则cos0=|cos<CE,AF> CE·AFL_I1-4_V5 |CE1|AF13×√551 故直线CE与直线AP的夹角的余弦值为√5 (2)由1)知B,(2,0,2), 所以BC=(-2,2,0),EF=(0,0,2), 设平面B,C,E的法向量为i=(x,y,z), B.C·i=-2x+2y=0 则 CE.ii=x-2y-2z=0 第6页，共9页 C BL 令2=1，得到x=y=-2,则i=(-2,-2,1), EF.i 10+0+212 所以点F到平面B,C,E的距离为 V(2)2+(-2)2+123 18.解：)连接PF,由VPOF,为等边三角形，可知在VFPF中， ∠RPR=90,|PE卡c,|PE3c,于是2a=|PEl+|PEF(3+1)c, 故曲线C的离心率e=C=√5-1. a (2)由题意可知，满足条件的点P(x,)存在，当且仅当： x+c x-c ’+6=1, 即c|y=16①， x2+y2=c2②， x2,y2 a+6京1③， 由②@及d=b+c得y-b ,又由①知，2=16 ,故b=4, 电②a得xc-】,所以c2b 从而a2=b2+c2.2b2=32,故a.4√2， 当b=4,a.4√2时，存在满足条件的点P. 所以b=4,a的取值范围为[4W2,+o). 第7页，共9页 19.解：(1)()对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0,1,2,3,4， Y服从超几何分布， 则PW=)=CC , k=0,1,2,3,4, Y的分布列为： o 1234 1 4 381 D 21035 72114 4 3 2+4x 8 112 E(=0× +1× 21 +1×35+2×+3 14-5 四由题意得R=PX=2)+P(X=3)+Px=4)=3 625 B=P0W=2)+PV=3)+PT=49=37 2’得R<: (2)当n=10,则X~B(10,-), 5 若P(X=k)最大， P(X=k).P(X=k+1) 则 P(X=k).P(X=k-1) c 解得 33 即 周-〔 又k∈N,所以k=6, 故f()=as, ∴.f(6x)=d, 由题得：方程α=x有两个不相等的正实根， 两边取对数得，na-血有两个不相等的正实根， 构造函数)=血x,求导得，g)=1-血 2 由g(x)>0,得0<x<e,由g(x)<0,得x>e, 第8页，共9页 所以8(x)在(0，e)单调递增，在(e,+o)单调递减， 且x→0，g(x)→-0，x→+0，g(x)→0， 1 所以0<na<二 e 所以1<a<e. 第9页，共9页