广东省汕头市三校联考2024～2025学年七年级数学上学期期中试题

汕头市2024～2025学年三校联考七年级上学期期中考试 数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把支出30元记作-30元，那么收入50元记作（ ） A -30元 B. 5元 C. +50元 D. 30元 2. 计算52的结果是（ ） A. 10 B. C. 5 D. 25 3. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（ ） A．12 B．8 C．10 D．6 5. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. 2， B. ，2 C. ， D. 3，2 6．下列代数式，表示正确的是（     ） A． B． C． D．元 7．已知代数式的值是3，则代数式的值是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．下面各组数中，相等的一组是（      ） A． 与 B．与 C．与 D．与 9. 实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( ) A. B. C. D. 10．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：．下列说法： ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果； ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果； ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果； ④代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请把答案直接填写在横线上。 11．下列各式 ①：；②：； ③：；④：中最符合书写规范的是 . 12. 直接写出结果： （）的倒数是_____． （）______．（精确到） 13. 在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为_____． 14．如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图所示，如果相对两个面上的数或式的值互为相反数，则（a+c﹣x）2022的值为_____． 15．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为_____． 16．规定：，例如，．下列结论中，正确的是_____(填写正确选项的番号)． ①式子的最小值是8；②若，则；③能使成立的x的值不存在；④若，则为定值． 3、 解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．简算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 18. 计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 出租车司机林师傅某天下午在东西走向的环城大道上行驶营运，如果规定向东为正，向西为负．这天下午行车里程如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． （1）当最后一名乘客送到目的地时，出租车距出车地点的距离为多少千米？ （2）若每千米的营运额为元，那么这天下午林师傅的总营业额为多少？ 20．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且．设的长为米．（公共边共用一条篱笆）． (1)用含的代数式表示的长为多少米？ (2)用含的代数式表示的长．（结果需化为最简形式） 21. 【综合与实践】嘟嘟想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 嘟嘟测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量n（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 10.8 11.6 12.4 13.2 14 … 【数学思考】 （1）观察这些表格中数据的规律，用含n的代数式表示h． （2）当杯子的数量为15只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 （3）请帮嘟嘟算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 22．观察下列式子：，，，…，以上式子反过来为：，，，… （1）写出计算结果________； （2）探究并计算，写出计算过程：． 23. 已知，有个完全相同的边长为的小长方形（如图）和个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）当，时，大长方形的面积为________； （2）请用含的代数式表示下面的问题：大长方形的长：________；阴影图形的面积：________； （3）请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 24．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足，， (1) ________， ________； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数________表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式得最小值时，此时________，最小值为________； (4)在（1）（2）的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d（用t的代数式表示）． 25．数学问题的分析、解决离不开其中蕴含的思想与方法，思想与方法可以说是数学的“灵魂”．整体思想就是一个很重要的数学思想． 【案例学习】 计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设，① 则 得，② ②①得：， ， ， 即．    【实践操作】 (1)计算的值； 【迁移拓展】 (2)观察分析，该算式中第56个加数为 （直接写出结果）； (3)计算的值； 【灵活运用】 (4)现有一机器跳蚤从原点出发，沿着数轴正方向按如下指令前进：第1次前进个单位长度，第2次前进个单位长度，第3次前进个单位长度依此类推，每一次前进的长度是上次长度的一半．试判断该跳蚤第50次前进后，能否到达该数轴表示数1的点处？若能，请说明理由；若不能，用自己的语言描述该跳蚤在何处？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕头市2024～2025学年三校联考七年级上学期期中考试 数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把支出30元记作-30元，那么收入50元记作（ ） A -30元 B. 5元 C. +50元 D. 30元 【答案】C 【分析】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 根据相反数的意义可进行求解． 【详解】解：由把支出30元记作-30元，可知收入50元记作+50； 故选C． 2. 计算52的结果是（ ） A. 10 B. C. 5 D. 25 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解答本题的关键． 利用乘方的意义计算即可． 【详解】解：52=5×5=25 故选：D． 3. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】此题考查了数轴的应用以及两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据数轴得到两点的距离，再根据点A表示的数进而得出答案． 【详解】解：数轴的单位长度为1，由数轴可得两点的距离为，且在的右边 点A表示的数是，所以点表示的数为 故选D 4．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（ ） A．12 B．8 C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，整体代换运算；设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，由已知条件得，由两正方形之间的关系得，，由长方形的周长和可得 ，即可求解； 理解两正方形周长和两长方形周长之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b， 两个正方形的周长和为60， ， ， ， ， 长方形的周长为48， ， ， ， ， ， ， ， 重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为； 故选：A． 5. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. 2， B. ，2 C. ， D. 3，2 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数和次数，熟练掌握其知识点是解题关键． 根据单项式中所有未知数前的数字(包括符号)叫做单项式的系数，单项式中所有字母的次数之和叫做单项式的次数即可判断． 【详解】∵单项式中所有未知数前的数字(包括符号)叫做单项式的系数， ∴系数为： ∵单项式中所有字母的次数之和叫做单项式的次数， ∴的次数为：， ∴答案为：，． 故选C． 6．下列代数式，表示正确的是（     ） A． B． C． D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的书写，代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求，即可一一判定． 【详解】解：A、应写成，故此选项不符合题意； B、，书写正确，故此选项符合题意； C、应写成，故此选项不符合题意； D、元，应写成元，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．已知代数式的值是3，则代数式的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，将条件及所求代数式联系起来，整体代入是解决问题的关键． 根据条件得到，再由恒等变形得到，将计算即可得到答案． 【详解】解：代数式的值是3， ， ， 故选：D． 8．下面各组数中，相等的一组是（     ） A． 与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，求一个数的绝对值，化简多重符号，先根据乘方，绝对值的意义，相反数的定义，进行计算和化简，再进行判断即可． 【详解】解：A、，与不相等，不符合题意； B、，，与不相等，不符合题意； C、，，与不相等，不符合题意； D、，，，符合题意； 故选D． 9. 实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较、实数的运算等，根据数轴的特点判断两个数的取值范围是解题的关键. 先由数轴上、两点的位置确定、的取值范围，再逐一验证即可求解． 【详解】由数轴上、两点的位置可知-2＜＜-1，0<＜1， 所以＜，故A选项错误； ，故B选项正确， ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B. 10．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：．下列说法： ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果； ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果； ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果； ④代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了去括号，属于新定义题型，关键是熟练掌握新定义的运算法则．根据题目所给“换位思考”的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：①中括号前都是加号，所以无论怎么换位，结果不变， ∴化简后是1种，故符合题意； ②当a、b“换位思考”，结果为， 当a、c“换位思考”，结果为， 当a、e“换位思考”，结果为， 当a、d“换位思考”，结果为， 当b、c“换位思考”，结果为， 当b、d“换位思考”，结果为， 当b、e“换位思考”，结果为， 当c、d“换位思考”，结果为， 当c、e“换位思考”，结果为， 当d、e“换位思考”，结果为， ∴化简后可以得到5种结果；故符合题意； ③当a、b“换位思考”，结果为 当a、c“换位思考”，结果为 当a、e“换位思考”，结果为， 当a、d“换位思考”，结果为， 当b、c“换位思考”，结果为， 当b、d“换位思考”，结果为， 当b、e“换位思考”，结果为， 当c、d“换位思考”，结果为， 当c、e“换位思考”，结果为， 当d、e“换位思考”，结果为， ∴化简后可以得到7种结果；故不符合题意； ④当a、b“换位思考”，结果为， 当a、c“换位思考”，结果为， 当a、e“换位思考”，结果为， 当a、d“换位思考”，结果为， 当b、c“换位思考”，结果为， 当b、d“换位思考”，结果为， 当b、e“换位思考”，结果为， 当c、d“换位思考”，结果为， 当c、e“换位思考”，结果为， 当d、e“换位思考”，结果为， ∴化简后可以得到7种结果；故不符合题意； 综上：正确的有①②，共2个， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请把答案直接填写在横线上。 11．下列各式 ①：；②：； ③：；④：中最符合书写规范的是 . 【答案】②． 【分析】本题考查了代数式，代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键 【详解】解：①：中的乘号应省略不写，且写在前面，故①错误，不符合题意； ②：符合书写规范，故②正确，符合题意； ③：应按照分数的写法来写，故③错误，不符合题意； ④：中带分数要写成假分数的形式，故④错误，不符合题意； 故答案为：②．. 12. 直接写出结果： （）的倒数是_____． （）______．（精确到） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）根据倒数的定义即可求解； （）根据四舍五入法即可求解； 本题考查了倒数和近似数。掌握倒数的定义和四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：（）倒数是， 故答案为：； （）， 故答案为：． 13. 在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据新的定义运算法则计算即可． 【详解】解： 当时，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图所示，如果相对两个面上的数或式的值互为相反数，则（a+c﹣x）2022的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，结合图形找出相对面求出a＋c与x的值是解题的关键． 结合图形找出相对面，求出a＋c与x的值，代入式子中即可解答． 【详解】解：由图可知： a＋b与c＋d为相对面，a−b与c−d为相对面，x与−1为相对面， ∵相对两个面上的数或式的值互为相反数， ∴a＋b＝−（c＋d）①， a−b＝−（c−d）②， x＝1， ∴①＋②得：2a＝−c−d−c＋d， 2a＝−2c， 2a＋2c＝0， ∴a＋c＝0， ∴（a＋c−x）2022＝（0−1）2022＝1， 故答案为：1． 15．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为_____． 【答案】53 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】∵四个互不相同的正整数，满足， ∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，， 解得：， 则． 故答案为：53． 16．规定：，例如，．下列结论中，正确的是_____(填写正确选项的番号)． ①式子的最小值是8；②若，则；③能使成立的x的值不存在；④若，则为定值． 【答案】①②④ 【分析】本题考查绝对值及代数式求值，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． ①写出的代数式，根据数轴上绝对值表示的几何意义解答即可；②根据绝对值的非负性质，分别求出x和y的值进行计算判断即可；③解关于x的绝对值方程：若有解，则说明使成立的x的值存在，否则，说明不存在；④当时，对进行化简，若结果含有x，则说明不为定值，否则，说明为定值． 【详解】解：①∵， ∴． ∵的几何意义是数轴上数为x的点分别到数为3和两个点的距离之和， ∴的最小值为8，①正确，故符合要求． ②∵， ∴，解得， ∴，②正确，故符合要求． ③∵， ∴， ∴，（无解）， ，解得，③不正确，故不符合要求． ④当时，，④正确，故附符合要求． 综上，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 3、 解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．简算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题主要考查了有理数的运算： （1）把两个数都乘以8，再计算除法即可； （2）把后面两个数合并计算，再计算减法即可； （3）把32变成4乘以8，然后计算即可； （4）利用分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18. 计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） ； （2） ； （3） ； （4） 【分析】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则计算即可； （）把除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可； （）根据有理数的运算法则计算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 19. 出租车司机林师傅某天下午在东西走向的环城大道上行驶营运，如果规定向东为正，向西为负．这天下午行车里程如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． （1）当最后一名乘客送到目的地时，出租车距出车地点的距离为多少千米？ （2）若每千米的营运额为元，那么这天下午林师傅的总营业额为多少？ 【答案】（1）千米 （2）元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法和混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． （）根据正负数的意义列出算式计算即可； （）求出总里程，再乘以单价即可求解； 【小问1详解】 解：， 答：出租车距出车地点距离为千米； 【小问2详解】 解：， 答：这天下午林师傅的总营业额为元． 20．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且．设的长为米．（公共边共用一条篱笆）． (1)用含的代数式表示的长为多少米？ (2)用含的代数式表示的长．（结果需化为最简形式） 【答案】(1)（米）； (2)（米） 【分析】本题考查了列代数式和整式的加减； （1）根据题意可得； （2）将、以外的线段用表示出来，再用减去所有线段的长再除以可得的长度． 【详解】（1）解：∵．设的长为米． ∴ ∵区域①是正方形， ∴ 答：用含的代数式表示的长为米。 （2）解：由（1）知米， ∵区域①是正方形， ∴米， ∵区域②是长方形，米， ∴米，米， 则米． ∵区域③是长方形， ∴米， 则（米）． 答：用含的代数式表示的长为（米）。 21. 【综合与实践】嘟嘟想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 嘟嘟测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量n（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 10.8 11.6 12.4 13.2 14 … 【数学思考】 （1）观察这些表格中数据的规律，用含n的代数式表示h． （2）当杯子的数量为15只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 （3）请帮嘟嘟算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 【答案】（1）；（2）；（3）36 【分析】本题考查数字类规律探究，列代数式，代数式求值．解题的关键是得到每增加一个杯子，高度增加． （1）根据表格可知：每增加一个杯子，高度增加，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式，求值即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】解：（1）由表格可知：每增加一个杯子，高度增加， ∴； （2）当时，， 答：这摞杯子的总高度为； （3）当时，， ∴， 答：一摞最多能叠36个杯子，可以一次性放进柜子里． 22．观察下列式子：，，，…，以上式子反过来为：，，，… （1）写出计算结果________； （2）探究并计算，写出计算过程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确运算法则以及计算方法． （1）根据材料提供的裂项法进行求解即可； （2）根据材料提供的裂项法进行求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）根据题意可得：，，… 则有： ． 23. 已知，有个完全相同的边长为的小长方形（如图）和个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）当，时，大长方形的面积为________； （2）请用含的代数式表示下面的问题：大长方形的长：________；阴影图形的面积：________； （3）请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【答案】（1） ； （2）； ； （3）说明见解析 【分析】（）求出长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可； （）根据图形可表示出大长方形的长；分别表示出阴影的长和宽，根据长方形面积公式可得出阴影的面积； （）求出阴影的周长，再求出周长和即可说明； 本题考查了整式的加减运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 【小问1详解】 解：当，时，大长方形的长为， ∴大长方形的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图可得，大长方形的长； 阴影图形的长为，宽为， ∴阴影图形的面积为； 故答案为：；； 【小问3详解】 证明：阴影的周长为， 阴影的周长为， ∴阴影与阴影的周长的和为： ， ∴阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 24．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足，， (1) ________， ________； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数________表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式得最小值时，此时________，最小值为________； (4)在（1）（2）的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d（用t的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)； (3)；； (4) 【分析】此题考查是列代数式，数轴上两点之间的距离，非负性，掌握数轴上两点之间的距离求法是解决问题的关键． （1）根据两个非负数的和为零则这两个数均为零即可得出答案； （2）先求出，则折点为的中点，求出折点表示的数，再求出C点与折点的距离，进而得到C点对应的数即可； （3）当P与点B重合时，即当时，取得最小值； （4）分小球乙碰到挡板之前和之后，即当，时，表示出甲、乙两小球之间的距离d即可． 【详解】（1）解：，， ，， ，； 故答案为：，； （2）因为，， 所以， 将数轴折叠，使得点与点重合， 所以对折点为的中点， 所以对折点表示的数为：， C点与对折点的距离为：，所以C点对应的数为， 即点C与数表示的点重合， 故答案为：； （3）表示， ∴当点与点重合，即时，有最小值为两点间的距离， 即：的最小值为； 故答案为：；； （4）由题意，乙到达挡板处需要的时间为秒， ∴秒后，甲的位置是，乙的位置是， ． 25．数学问题的分析、解决离不开其中蕴含的思想与方法，思想与方法可以说是数学的“灵魂”．整体思想就是一个很重要的数学思想． 【案例学习】 计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设，① 则 得，② ②①得：， ， ， 即．    【实践操作】 (1)计算的值； 【迁移拓展】 (2)观察分析，该算式中第56个加数为 （直接写出结果）； (3)计算的值； 【灵活运用】 (4)现有一机器跳蚤从原点出发，沿着数轴正方向按如下指令前进：第1次前进个单位长度，第2次前进个单位长度，第3次前进个单位长度依此类推，每一次前进的长度是上次长度的一半．试判断该跳蚤第50次前进后，能否到达该数轴表示数1的点处？若能，请说明理由；若不能，用自己的语言描述该跳蚤在何处？ 【答案】(1) ； (2) ； (3) ；(4)该跳蚤第次前进后，不能到达该数轴表示数的点处，此时它在数的左侧，且与之距离为个单位长度 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的乘方的应用，理解案例方法，掌握整体思想是解题关键． （1）仿照例题，设，则，作差即可求解； （2）观察该算式的各个加数发现第个加数为，即可求解； （3）设，则，进而得到，求出的值即可求解； （4）由题意可知，该跳蚤第50次前进后的长度为，仿照例题，求得，即可求解． 【详解】（1）解：设，① 则， 得，② ②①得：， ， 即； （2）解：观察可知，该算式中第1个加数为， 该算式中第2个加数为， 该算式中第3个加数为， 该算式中第4个加数为， …… 即该算式中第个加数为， 该算式中第56个加数为， 故答案为：； （3）设，① 则， 则，② ②①得：， ， ， 即； （4）解：由题意可知，第1次前进个单位长度， 第2次前进个单位长度， 第3次前进个单位长度， …… 即第50次前进个单位长度， 该跳蚤第50次前进后的长度为， 设，① 则， 则，② ②①得：， ， ， 即该跳蚤第50次前进后，不能到达该数轴表示数1的点处，此时它在数1的左侧，且与之距离为个单位长度． 学科网（北京）股份有限公司 $