第二章 等式与不等式 知识清单-2025-2026学年高一上学期人教B版数学必修第一册

第二章、等式与不等式

 

2.1等式

 

2.1.1等式的性质与方程的解集

一、等式的性质

1．如果，则对任意，都有；

2．如果，则对任意，都有；

3．如果，则对任意不为零的，都有；

4．如果，则对任意不为零的，都有.

二、恒等式

1．恒等式的含义

一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．

2．常见的恒等式

(1)(平方差公式)；

(2)(两数差的平方公式)；

(3)(两数和的平方公式)；

(4)(立方差公式)；

(5)(立方和公式).

 

三、方程的解集

1.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．

2.方程，当时解集为；当时解集为．

 

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系

 

一、一元二次方程的解集

1.一元二次方程：形如的方程为一元二次方程，其中为常数，且.其中二次项是，一次项是，是常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．

 

2．判别式的取值与解集的关系

3.一元二次方程的解法

(1)因式分解法：一元二次方程的一边为，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成的形式，可解得两根为

(2)配方法：把一元二次方程通过配方化成的形式，再用直接开平方法求解

(3)公式法：若一元二次方程满足，则利用求根公式

 

二、一元二次方程根与系数的关系

1.设一元二次方程的两个根分别为，则，．

 

2.1.3方程组的解集

 

一、方程组的解集

一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．求方程组解集常用的方法是消元法．

 

二、用信息技术求方程和方程组的解集

 

2.2不等式

 

2.2.1不等式及其性质

 

一、不等关系与不等式

1．不等式的概念

用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．

2．实数的坐标与实数的性质

(1)实数的坐标

实数与数轴上的点一一对应，如果点对应的数为，则称为点的坐标，并记作.两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小．

数轴上的点往数轴的正方向(负方向)运动时，它所对应的实数会变大(变小).一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离．

(2)实数的性质

任意给定两个实数，那么，，

．

 

二、不等式的性质及推论

1．性质

性质1：如果，那么.(可加性)

性质2：如果，那么.(可乘性)

性质3：如果，那么.(可乘性)

性质4：如果，那么.(传递性)

性质5：.(对称性)

2．推论

推论1：如果，那么.(移项法则)

推论2：如果，那么.(同向不等式相加)

推广：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．

推论3：如果，那么.(同向不等式相乘)

推论4：如果，那么.

推论5：如果，那么.

 

三、不等式的常见证明方法

1.综合法

从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．

2.分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

3.反证法

首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立，这种得到数学结论的方法通常称为反证法．

 

2.2.2不等式的解集

 

一、不等式的解集与不等式组的解集

1．不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．

2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.