考案 (2) 第二章等式与不等式-【成才之路·考案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

新敬学必修·第一香UB 10.(2026·青岛高一检测)设0<6<.a+b=1,则下列结论正确的是 考案（二） A.a2+6> B.b<a+b 材习、究、练、测四位一体 C.6c2<号 n.<d2+<1 11.已知关于x的一元二次不等式x2-bx+e<0的解集为xx<-2或x>3,下列说法正确的是 第二章 等式与不等式 A.u+56+e=0 时间：120分钟满分：150分 B.e<0 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， C.bx2-ar+e>0的解集是(-2,3) 1,若a>b.x>y,下列不等式正确的是 D,对于任意的x∈R.x2+x-b<0恒成立 A.a+x<b+y B.ax >by 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 C.lalx≥laly D.(a-b)x<(a-b)y 12已知关于的不等式：+6>0的解集是1，+国).则片一关于的不等式之>0的解集是 2.不等式1≤|2x-1|<2的解集为 A{-<x<0或1≤≤ B{-<x0或1≤≤引 18设0>06>0.记4=兰，G:V压，日：治分别为a6的算术平均数，儿何平均数调和平均数.古希销数学家期 波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过：≠6时A,G,H的大小关系，则A,G,H中最大和最小的分别为 n{<0成1≤x<2引 3.设方程x2+x-2=0的两个根为a,B.那么(a-1)(B-1)的值等于 14.已知a,b,c.d均为实数，有下列命题：①若b>0,br-dl>0,则二-4>0：②若山>0.二-4>0，则6c-d>0: a b A.-4 B.-2 C.0 D.2 ③若c-ad>0,台-号>0，则ah>0.其中正确的命题是 .(填序号)》 4若-四+1=0，则+等于 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 2 号 B.O Cio 15.(13分)(2025·上海商一检测)已知关于x的不等式4->1(aeR). x-2 (1)当a=1时，求此不等式的解集： 5.关于x的不等式2+bx+c>0的解集为xl-1<x<2,则关于x的不等式bx2-r-c>0的解集为 (2)当：<1时，求此不等式的解集， A.xl-2<x<1 B.x|-1<x<2 C.{xx>2或x<-1 D.1xx>1或x<-2 6.已知正实数a,6满足4如+6=30.使得+名取最小值时，实数对(a,6)是 A.(5.10) B.(6.6) C.(10.5 D.(7.2） 7.某种产品的总成本（万元）与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的 售价为25万元，则生产者不亏木时的最低产量是 ( A.200台 B.150台 C.100台 D.50台 8.已知不等式(x+仕+）≥9对意正实数y桓成立，则正实数a的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.(2026·沈阳高一检测)以下四种说法中，正确的是 ( A关于x的方程x+上=m+的解集为m(m≠0) B.x1x,是方程x2-2x-2k2=0的两根(k>0),则x-,=2 C.设方程(x-a)(x-6)-x=0的解集为，d,则方程(x-c)(x-d)+x=0的解集为a,b D.以方程组 2x+3y=-3, 的解为坐标的点(x,y)在第二象限 x-y▣-4 229 2304 107 x :18.(17分)解关于x的不等式[(m+3)x-1](x+1)>0,其中m∈R. ☐x+5y=13,① 47 16.(15分)甲，乙两人在解方程组 时，甲看错了①式中的x的系数，解得 乙看错了方程②中 l4x-☐y=-2,② 8 y=47 「x 81 的y的系数，解得 76 17 若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解集 19.(17分》在①x2-(2a-1)x+2-a<0,②x2-2r+a2-1<0.③x2-(a+1)x+a<0(a>1)这三个条件中任选 个补充到下面的问题中，求实数a的取值范H. 已知号<0 ,且p是g的必要不充分条件，求实数a的取值范用 17.(15分)研发投人是技术创新的主要米源，企业加强对研发活动的支持，加大研发投人，有助于开发新的技术和产 品，同时能够提高生产效率降低生产成木，从而在竞争中占据一定优势，促进企业绩效的提升，使得企业可持续发 展，某企业的年利润（千万元）与每年投人的研发费用（百万元）之间的函数关系式为)“+5：160 1050x (1)当投人的研发费用x为多少时年利润最大？最大年利铜是多少（精确到0.】千万元）？ (2)若要求年利润不低于10千万元，试问每年投人的研发费用应该在什么范围内？ 231 2324新 数学必修·第一册RB 于是得1k1-I=0,k1=k2,即有整数a,b属于同一“类”，所以 考案部分 “整数a,b属于同一‘类'”的充要条件是“a-be[0]”,D正确。 材 习、究、练、测四位一体 参考答案 12.(2,3]由集合P={x|-1≤x≤2}，Q=xI0<x-1≤2}=xl1 <x≤3}， 可得CRP={xx<-1或x>2},所以(CRP)∩Q={xl2<x≤3} 考案（一）】 =(2,3]. 13.14设A=[-m,m](m>0),B=[-1,4], 1.D由补集定义可知CA={xl-3<x≤-2或1<x<3{,即CA= 若p是q的充分条件，则ACB, （-3,-2]U(1,3). 所以{m≥-1所以0<m≤1， 2.A因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题p:]x Lm≤4」 ∈R,x2+2x+3=0,则p是Hx∈R,x2+2x+3≠0.故选A. 所以m的最大值为1， 3.B因为A二B,则有： 若p是q的必要条件， 若a-2=0,解得a=2,此时A=0,-2},B={1,0,2},不符合题 则BCA,所以-m≤-1， 意； m≥4， 若2a-2=0,解得a=1,此时A=0,-1},B={1,-1,0},符合 所以m≥4，则m的最小值为4. 题意： 14. 综上所述：a=1. -,刂由题意，AUB=(-1,2), 故选B. 因为集合C={xmx+1>0},(AUB)CC, 4C方程a+4x+2=0有两个不同实根台0，之 ”曰a<2且a≠ ①m<0,<-六，所以- m≥2， 0, 所以“a<2”是“关于x的方程aa2+4x+2=0有两个不同实根” 所以m≥-方，所以- 2≤m<0; 的必要不充分条件. ②m=0时，成立； 5.DCB画成维恩图如图(1)，A∩C,B画成维恩图如图(2)，而 ③ms0,x>-m,所以-m-1, (A⌒C,B)⌒C画成维恩图就是题目中阴影部分所表示的集合. m 所以m≤1，所以0<m≤1， ! 综上所述，实数m的取值范围为[-之，】 118 15.(1)p:HmeR,方程x2+x-m=0必有实数根；p:3meR,方 (1) 程x2+x-m=0没有实数根. 6.A当x=2时，2=x2,故B错误；当a=b=0时，满足a+b=0, 由4=1+4m,可得当m<-子时，4<0，此时方程无实数根，因 但号=-1不成立，故C错误；xeR,x+2>0,故3xeR,x+ 此p是真命题 2≤0错误，故选A. (2)q:3xeR,使得x2+x+1≤0.7q:x∈R,x2+x+1>0. 7.B因为lxl<a(a>0),所以-a<x<a. 由于4=1-4=-3<0，所以不等式x2+x+1>0恒成立，因此 p:-a<x<a,9:-2<x<3, g是真命题 若p是q的必要条件，则(-2,3)二(-a,a), 16.(1)A=x|x2+x-2=0}={-2,1}, 所以{a≤-2所以4≥3.故选B. 若BUA=A,则BCA, 19 La≥3， 所以B可能为☑，{-2}，1}，{-2,1}， 8B由题a+1<2x在[分，+)上恒成立，即a+1<1a<0只 ①若B=☑，则4=a2-4(a2-12)<0,所以a2>16,所以a>4 或a<-4; 有选项B中a<1为其必要不充分条件，故选B. r4=0, 9.ACA=xl2x+1≥0，xeZ={xx≥-7，xeZ},B=-1, ②若B={-2},则x1+x2=-4=-a,今 lx1x2=4=a2-12 0,1,2}, 「a=±4. A∩B={0,1,2},故A正确；AUB=xx≥-1，x∈Z},故B错 a=4, →a=4; 误； La=±4 C,A={<-方eZ所以(C,A)nB=f-1,放C正确： r4=0, ③若B={1},则x1+x2=2=-a,→a∈0， 由AnB={0,1,2,得A∩B的真子集个数是2-1=7，故D错 误 lx12=1=a2-12 r4>0, 10.BD命题p:3x∈R,x2+ax+4<0,所以4=a2-16>0,解得 ④若B={-2,1},则{a=1, →ae⑦. a>4或a<-4. a2-12=-2 即命题p的等价条件是ae(-0,-4)U(4,+0),命题p成 综上，a≥4或a<-4. 立的一个充分不必要条件是(-∞，-4)U(4,+0)的真子集， 所以实数a的取值范围为ala≥4或a<-4} 所以B、D选项符合，A、C选项不符合. 11.ACD对于A,因为2025=5×405+0，则2025∈[0]，A正确； (2)因为BUA≠A,所以由(1)知-4≤a<4.即实数a的取值范 围为{al-4≤a<4}. 对于B,因为-3=5×(-1)+2，则-3∈[2]，B不正确：对于C, 因为任意整数除以5，余数可以且只可以是0,1,2,3,4，则Z= 17.(1)当a=-3时，A=x-7≤x≤-2}， [0]U[1]U[2]U[3]U[4],C正确：对于D,若整数a,b属于 1 因为B={x|-3≤x≤3}， 所以A∩B={x-3≤x≤-2}. 同一“类”，则整数a,b被5除所得余数相同，从而得a-b被5 (2)选①，因为AUB=B,所以ACB, 除的余数为0，即有a-b∈[0]，若a-b∈[0]，不妨令a=5n1+ 若A=☑，2a-1>a+1,解得a>2,满足题意； k1,b=5n2+k2(n1,n2∈Z,k1,k2∈0,1,2,3,4})则a-b=5(n1 -n)+(k,-k),显然（n-)eZ.1k,-,1e0,1,2,3,4 D241 r2a-1≤a+1. 若A≠)，由A二B可得{2a-1≥-3， 考案（二） [a+1≤3， 1.C由a>b,x>y得a+x>b+y,A错误： fa≤2. 1 取a=-2,b=-3,x=5,y=1满足a>b,x>y但a<by,B错误； 即{a≥-1，解得-1≤a≤2， .Ial≥0，.Ialx≥laly,C正确： la≤2， 由a>b得a-b>0, 综上所述，a的取值范围为ala≥-1}： ∴.(a-b)x>(a-b)y,D错误 选②，因为“xEA”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB, 若A=⑦，2a-1>a+1,解得a>2,满足题意； 2.D当2x-1≥0，即x≥2时，有1≤2x-1<2,解得1≤x<； r2a-1≤a+1, 若A≠⑦，由AB可得2a-1≥-3， 当2-1<0，即x<号时，有1≤1-2<2，解得-分<≤0： La+1≤3， 11 31 ra≤2 综上，不等式的解集为{-2<x≤0或1≤x<2} 即{a≥-1，解得-1≤a≤2， 3.C依题意得a+B=-1,a·B=-2,.(a-1)(B-1)=a·B 【a≤2， ! (a+B)+1=-2+1+1=0. 当a=-1时，A={xl-3≤x≤0}B,满足题意； 19 当a=2时，A=3}军B,满足题意； 4.Cx2- 2x+1=0, 综上所述，a的取值范围为{ala≥-1}： 选③，A∩B=了 x+s19 = 2 若A=),2a-1>a+1,解得a>2,满足题意： 若A≠)，由A∩B=可得 2a-lsa+l或2a-1≤a,+l, -2 2a-1>3, a+1<-3, 整理可得{经，（合去）或日24.可得a<4, la<-4, -器故选心 综上所述，a的取值范围为{ala<-4或a>2}. 5.D因为不等式ax2+bx+c>0的解集为xI-1<x<2},所以 由x∈R得x2-1≥-1， 若p:Hx∈R,m<x2-1为真命题， a<0,-1,2是方程ar2+bx+c=0的两根，所以-女=1，号 则m<-1. -2, 若q:3xeR,x2+2x-m-1=0为真命题， 故b=-a,c=-2a,所以bx2-ax-c>0可化为-ax2-ax+2a> 则方程x+2x-m-1=0有实根， 0,即x2+x-2>0, 所以4+4(m+1)≥0，所以m≥-2. 分解因式得(x+2)(x-1)>0, 因为P,9都是真命题，所以m<-L, 解得x<-2或x>1, lm≥-2， 所以不等式的解集为{xx>1或x<-2}. 所以-2≤m<-1. 6.A因为a>0,b>0, 所以实数m的取值范围为[-2，-1). 由题意知A=1,2}. 所以+动(4+6)（日+） (1)A∩B=2},.2∈B, 将x=2代人x2+2(a+1)x+a2-5=0, 得a2+4a+3=0,所以a=-1或a=-3 4a+b=30 当a=-1时，B=-2,2},满足条件： 取等号 当a=-3时，B=2},也满足条件 即a=5,b=10 综上可得，a的值为-1或-3. 7.B要使生产者不亏本，则应满足25x≥3000+20x-0.1x2,整理 (2)AUB=A,∴.BCA. 得x2+50x-30000≥0，解得x≥150或x≤-200（舍去），故最低 对于方程x2+2(a+1)x+a2-5=0, 产量是150台. ①当△=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3)<0 即a<-3时，B=⑦，满足条件： 8B不等式(+)（任+号）上≥9对红意正实数x,y恒成立， ②当△=0，即a=-3时，B=2},满足条件； 则1+a+Y+a匹≥a+2a+1≥9， ③当△>0，即a>-3时，B=A=1,2}才能满足条件，由 2229+0得ae②： 所以a≥2或a≤-4（舍去）， 所以正实数a的最小值为4. 综上可知，a的取值范围是a≤-3. (3)An(C B)=A,..ACCuB,..AnB=. 9DA选项：关于的方程+士=m+2-(+品》+1 对于方程x2+2(a+1)x+a2-5=0, ①当4<0，即a<-3时，B=☑，满足条件. =0a(x-m)(x-）=0, ②当△=0，即a=-3时，B={2},A∩B={2},不满足条件. 从而当m≠±1且m≠0时，方程x+ =m+ 的解集为 ③当4>0，即a>-3时，只需1生B且2B即可. m 将x=2代入x+2(a+1)x+a2-5=0,得a=-1或a=-3; m,品}故A错误： 将x=1代人x2+2(a+1)x+a2-5=0,得a=-1±5， B选项：由根与系数的关系可知，x1+x2=2k,x1x2=-2k2, .a≠-1且a≠-1±√3， 且k>0, 综上，a的取值范围是a<-3或-3<a<-1-5或-1-5<a 所以(x1-x2)2=(1+x2)2-4x12=12k2, <-1或-1<a<-1+3或a>-1+3. 即Ix1-x21=23k,故B正确； D242 C选项：(x-a)(x-b)-x=0→x2-(a+b+1)x+ab=0, 解得x>2. 5.A因为f(x)对任意的x,2∈[0，+0)，(x1≠)，都有 由根与系数的关系可知，c+d=a+b+1,cd=ab, 即该不等式的解集为(2，+∞). 原不等式的解为-1<x<m+3 (x -c)(x-d) +x=0→x2-(c+d-1)x+cd=0 x)-<0, 综上，当m<一4时，不等式的解集为x 即x2-(a+b)x+ab=0→(x-a)(x-b)=0, (2)根据题意，不等式x-,>1, x-2 -1<x<m+ 所以f(x)在[0，+)上是减函数，且f八x)是R上的偶函数， 从而(x-c)(x-d)+x=0的解集为a,b},故C正确： 当m=-4时，不等式的解集为☑ 所以由fa)≤f(3a+1)得flal)≤fI3a+1I),所以1al≥I3a D选项：解方程组得3即(-3，)在第二象限，放D正确 即为a-x-a-2>0. x-2 当-4<m<-3时，不等式的解集为 m+3<x< 1 +11, 1y=1, 则有[(a-1)x-(a-2)](x-2)>0, 10.BCD由0<b<a,a+b=1,则0<b<3<a<1,1-2a<0, 又因为a<1,不等式可以变形为(：-日引x-2)<0 当m=-3时，不等式的解集为xlx<-1} 所以d≥(3a+1)2,整理得，8a2+6m+1≤0，解得-2≤a≤ 1 对于A:由a+b=1,两边平方并整理得，a2+b2=1-2ab=b+a 当m>-3时，不等式的解集为{xx<-1或x>m+3 -子，所以。的取值范围为[-之，] -2ab=a+b(1-2a)<a,故A错误； 分3种情况讨论：①当a<0时，不等式的解集为（名二，2： 对于B:7<a→1<2a→b<2ab<d+6,故B正确： ②当a=0时，解集为空集： 9由命题p+音<0，得到-3<4， 6.C由fx)+2f(1-x)=-1,将x换成1-x有(1-x)+ X ③当0<a<1时，不等式的解集为2，日二引 规定集合A={xl-3<x<4. 对于C:由选项B知，6<2a6,又2a<2x(=分放C正 设q对应的x的范围即为集合B. 21-1-0)=-1, 16.设方程组为 因为P是q的必要不充分条件，所以B军A 1 rax +5y=13. ① 选条件①x2-(2a-1)x+a2-a<0. 即1-)+2)=-x1,故有 对于D:因为+8，a=分，又心<，公<+<a 4x-by=-2 由x2-(2a-1)x+a2-a<0 fx)+21-x)=-1, 2 解得a-1<x<a. → +b=1,故D正确。 1l.AC因为关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集为 把 58 代入②得4×g-6×号=-2， 因为B三4，所以只需{C42-3 1-0+2x)=-1 xx<-2或x>3} y= 47 解得-2≤a≤4，当a=-2时， [x)+21-x)=-l, 所以a<0,且方程ax2-bx+c=0的解为x=-2或x=3, 81 B={xl-3<x<-2},有B年A; 2 两式相减化简得 则=1，=-6， x二76 把 代A①得器+5× 19=13, 当a=4时，B={xl3<x<4},有BA: 21-x)+4fx)== -2, 17 y 19 即实数a的取值范围为[-2,4] 即b=a,c=-6a, 选条件2x2-2a+2-1<0, 所以a+5b+c=a+5a-6a=0,故A正确； 由③④解得a=8,b=9, 由x2-2ar+a2-1<0 )11 2 1 放-2)-2-1-2 6 3 c=-6a>0,故B错误； 由b2-ax+c>0, 原方程组为8x+5y=13, =107 解得a-1<x<a+1. 3 故选C. 921 即ax-ax-6a>0, 4-9y=2,解得 因为BA,所以只需-1≥-3， 7.B设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元， la+1≤4， 即x2-x-6<0, 解得-2≤a≤3，当a=-2时， 800+ 解得-2<x<3, 即bx2-ax+c>0的解集是(-2,3)，故C正确； 即解集为（贸} B={x-3<x< 1},有BA； 则y= 0+ 当a=3时，B={x2<x<4},有BA; x>0, 由cx2+ax-b<0,得-6ax2+ax-a<0,即6x2-x+1<0,不等 17.(1)）依题意有y=2+5x+1600 1050x 1050 即实数a的取值范围为[-2,3]. 式无解，故D错误 x+5+1600 选条件③x2-(a+1)x+a<0(a>1). 0+≥2√四言-20 12.-1xx<-1或x>2依题意，a>0且-么=1， 由x2-(a+1)x+a<0(a>1), 1050 1050_21 解得1<x<a, 当且仅当0=专，即x=80时取等号. 所以名=-1：不等式之>0 5+2.1600 85 ,当且仅当x=40时，等号成立 17 1≥-3 即每批生产80件，平均每件产品的费用最小 因为B军A,所以只需{a≤4， 8.C根据题意，由x-2x-1≤2，解得-1≤x≤3， 可变形为(ax-b)(x-2)>0(x≠2)， 故当投入的研发费用为40百万元时年利润最大，最大年利润y a>1. rx2-2x-1,-1≤x≤3， 即(x-名）x-2)>0, 924(千万元) 解得1<a≤4，当a=4时B={x11<x<4},有B军A;即实数q 所以5(x)=2,x<-1, 的取值范围为(1,4]. 2,x>3, 所以(x+1)(x-2)>0 1050x (2)由题意得2+5x+160≥10，整理得 考案（三） 如图所示： 故x>2或x<-1 个Y 13.A.H因为0>0.6>0.ab,所以A-G=生-瓜= x2-100x+1600≤0，解得20≤x≤80. 故每年投入的研发费用应该不少于2千万元，不超过8千万 1.C 要使函数有意义，需满足≥0，即x≥-1且x≠0.故选C. 1x≠0， (a)2-2a·6+(b2(a-b) ->0 2 2 18.①当m=-3时，原不等式为-(x+1)>0 2B令1=2-1，则x=2(+1),进而)=4(t+1)-5=4 432013456主 不等式的解为x<-1. 1,fa）)=6,得4a-1=6,解得a=子 2 =(a+b-2画.画a-D>0, ②当m>-3时，原不等式可化为(x-m+3x+1)>0, 对于A:6(2)=22-2×2-1=-1.枚A错误：对于B:当-1≤x a+b a+0 ≤3时， 2≤x2-2x-1≤2，当x< 1时，5(x)=2,当 >3时 所以G>H,所以A>G>H. 故选B. 5(x)=2,故5(x)的值域为[-2,2]，故B错误；对于C:当-1≤ 所以A,G,H中最大的为A,最小的为H. :不等式的解为x<-1或x>m+3 1 -x2-ar-5(x≤1) ≤1时6(x)=fx)=x2-2x-1,结合图像可知5(x)在[-1,1] 14.①②③对于①，若ab>0,bc-ad>0 4.B因为函数f(x) (x>1) 是R上的增函数， 上单调递减，故C正确；对于D:y=(x-1)为6(x)向右平移 不等式两边同时除以b得后-号>0，所以①正确：对于②@，若 ③当m<-3时，原不等式可化为(：-m十x+1)<0, 个单位，结合图像可知函数y=(x-1)不为偶函数，故D错误. ab>0,。-名>0，不等式两边同时乘ab得b加-ad>0,所以② 当m+3-1,即m=-4时，原不等式无解： 设gx)=--ax-5(x≤1)，A(x)=(x>1),由分段函数的9.ABC由题可知，函数)2+a 性质可知，函数g(x)=-x2-ax-5在(-0,1]上单调递增，函 正确：对于③，若行-号>0，当两边同时乘山时可得6c-ad> 1 当-4<m<-3时m+3<-l, 数h(x)=在(L,+)上单调递增，且g(1)≤h(1), 若a=0时，则)==定义为：≠0，选项C可能： 0所Lab0所1③正陷 1 综上，正确的命题是①②③ 原不等式的解为m+3<x<-l: -≥1， ra≤-2 若a>0,取a=1时)=本则函数定义域为R,且是奇函 所以 所以{a<0,解得-3≤a≤-2. 15.(1)根据题意，当0=1时，不等式即为>1，变形可得，2>0， 数：x0时函数可化为x)=1 当m<-4时m+3>-l a<0, 工选项B可能。 -a-6≤a, la≥-3， ◆243 P244