精品解析：广东省深圳市百合外国语学校2025-2026学年上学期九年级9月月考数学试卷

2026届初三9月学业水平检测 数学试卷 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 6. 如图，已知，那么∠4的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 8. 如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：_____． 10. 已知分式，当_______时，分式的值为0． 11. 如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为____． 12. 对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____． 13. 如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为_____． 三、解答题（共7题，共61分） 14. 解方程： （1）解一元二次方程：； （2）解分式方程：． 15. 先化简，然后从，1，，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）将向上平移6个单位得到，画出； （2）以为对称中心，画出关于该点对称的； （3）经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描） 17. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 18. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 19. [问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于点，且面积为． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）如图，设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标； （3）如图，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初三9月学业水平检测 数学试卷 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形； 选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点在数轴上的计算问题，根据a、b在数轴上的位置，可知，由此可对选项逐一进行判断． 【详解】解：A．由数轴图可知，故A选项错误，不符合题意； B．由数轴图可知，，故，故B选项正确，符合题意； C．由数轴图可知，故C选项错误，不符合题意； D．由B选项知，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选C． 4. 把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定定理进行判定即可得到结论 【详解】解：A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，故选项A符合题意； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故选项B不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项C不符合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，故选项D不符合题意； 故选：A 6. 如图，已知，那么∠4的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形的外角和等于360°即可求解． 【详解】解：∵， ∴∠4=120° 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和公式，熟练掌握多边形是外角和公式是解题的关键． 7. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 8. 如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三线合一性质，勾股定理，取的中点F，连结，计算即可． 【详解】解：如图，取的中点F，连结， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，． 由勾股定理，得． ∵BE平分，， ∴， ∴， ∴．根据等腰三角形“三线合一”，得． ∵， ∴ ∴E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵的中点F， ∴， ∴． 故选D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 10. 已知分式，当_______时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， 当时， ∴当时，分式的值是0． 故答案为：． 11. 如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像，结合不等式，得出函数在函数的下面，且它们的值小于，再根据交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵根据函数的图像，可知不等式的解集就是函数在函数的下面，且它们的值小于， 又∵，， 不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用图像法解不等式，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答． 12. 对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据新定义表示出，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，是综合性强的填空压轴题，得到点Q的运动路线是解答的关键． 连接，取的中点O，连接，证明是等边三角形，得到，利用含30度角的直角三角形的性质求得，则，证明得到，则点Q在射线上运动，由已知得到，过Q作于M，于N，，则，，利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质得到， ，在中，利用勾股定理结合平方根解方程求解x值即可解答． 【详解】解：连接，取的中点O，连接，则， 在矩形中，，，， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴，则， 连接并延长交于E， 由旋转性质得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴由得 解得，则 ∴点Q在射线上运动， ∵ ∴， 过Q作于M，于N，则四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， 由得， 解得，则， ∴， 在中，由得， 整理，得，即， ∴，又， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共7题，共61分） 14. 解方程： （1）解一元二次方程：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式方程，灵活运用解题方法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法求解即可； （2）方程根据去分母得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解： 去分母得，， 解得，， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 15. 先化简，然后从，1，，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值， 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件确定，最后把代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵且且， ∴，1，，2中x只能取， 当时，原式 16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）将向上平移6个单位得到，画出； （2）以为对称中心，画出关于该点对称的； （3）经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描） 【答案】（1） 如图为所求； （2） 如图为所求： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，中心对称的定义和性质，图形结合思想是解题的关键． （1）根据图形平移的性质即可求解； （2）根据中心对称图形的定义和性质作图即可，绕旋转中心旋转即可； （3）连接对应点的连线的交点即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、、，交于点Q，如图． 则，即对称中心坐标为． 17. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图所示菱形即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 18. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 19. [问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]，；或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出] 观察图象即可得出答案； [知识迁移] 由点在上，可求出m的值，观察图象即可； [问题解决] 由，求出与的两个交点坐标，画出图象即可解决问题． 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， 故答案为：； [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， 故答案为：； [问题解决]，如图， 设， 根据题意得： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为： ，； 故答案为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或， 故答案为：或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于点，且面积为． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）如图，设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标； （3）如图，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），直线的解析式为， （2）的坐标为或 （3）存在，点坐标为，或 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式求出点坐标，再利用待定系数法即可得到答案． （2）设，分两种情况讨论：当时，以及当时，利用构造全等三角形得到点的坐标，利用点在直线上建立方程，解方程即可得到答案． （3）设，根据三角形的面积关系得到，利用待定系数法得到直线的解析式，作交直线于点，分两种情况形成平行四边形，第三种情况，当点位于第三象限时，构造全等三角形，解得满足题意的点的坐标． 【小问1详解】 解：在中，令，解得， 令，解得：， ，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 将与代入，得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：，，点为线段中点， ， 设， 如图，过点作轴于点，则，， ①当点在点上方时，即时，过点作轴于点， 四边形是正方形， ， ， 又，， ， ，， ， ， 在直线上， 将点代入中，得：， 解得：， ， ②当点在点下方时，即时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 将点代入中，得：， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 如图，设， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，点代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，作交直线于点，此时，解得：， ， 如图，当时，四边形是平行四边形， 当时，四边形是平行四边形， ，， 可得，， 如图，当点在第三象限时，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， 即，解得：， ， 可得， 综上所述，满足题意的点的坐标为，或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是利用分类讨论的思想，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $