精品解析：2022年河南省商丘市梁园区中考数学一模试卷

2022年河南省商丘市梁园区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（ ） A. 绝对值 B. 有理数 C. 代数式 D. 方程 2. 如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形．投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 观察下列的立体图形，从上面看，得到的平面图形是（    ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 一组数据：5，7，10，5，7，5，6，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 10和7 B. 5和7 C. 6和7 D. 5和6 6. 下列抛物线中，开口向下的有（　　） ①y＝﹣x2；②y＝x2；③y＝10x2；④y＝﹣x2． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 桌面上有三张背面相同的卡片，正面分别写有数字、、．先将卡片背面朝上洗匀，然后从中同时抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，分别为三边的中点，则下列说法中不正确的为（　　） A. B. C. D. 9. （2017届广东省广州市番禺区九年级中考一模数学试卷）如图，已知在中，点A(1，2)，∠OBA＝90º，OB在x轴上．将绕点A逆时针旋转90º，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 下列命题错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B. 一条斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C. 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算 ______． 12. 如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为__． 13. 已知，若，，则的取值范围______． 14. 如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．当点运动到的中点时，的面积为____________________． 15. 如图，绕点C逆时针旋转后得，如果点B、D、E在一直线上，且，那么A、D两点间的距离是_________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 17. 某校抽查了八（1）班20名学生，测量了他们在赛跑后的脉搏次数，结果如下（单位：次）：144，150，156，165，171，149，162，160，135，159，150，164，168，153，158，139，161，157，154，147． （1）填写表格 每分钟脉搏次数 划记 丅 _____________ 正 正一 一 频数 2 _____________ 8 6 1 （2）每分钟脉搏次数在这一组的频率是 ； （3）若要知道抽测中以上每种范围的人数占总人数的百分比，应选择哪一种统计图？画出你所选择的统计图，并在图中标明相应数据， 18. 阿基米德（，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，已知和是的两条弦（即折线是的一条折弦），是的中点．那么从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明思路： 证明：如图②，在上截取，连接，…… …… 【定理证明】 按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】 如图③，等边内接于为上一点，． 求的周长． 19. 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.3米，点B距地面10.8米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4） 20. 如图，直线y＝x+b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝（x＜0）交于点A(﹣1，n)，连接OA． （1）求直线与双曲线的解析式； （2）求OAC的面积； （3）求∠OAB的正弦值． 21. 某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元． （1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式． （2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润． 22. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）图1中，在上画点P，使；在上画点H，使； （2）图2中，在上画点Q，连，使； （3）图3中，点D是内一个格点，如图所示，在上画点M，使值最小． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过B、C两点，与y轴的另一个交点为点A，P为线段BC上一个动点不与点B、点C重合． 求抛物线的解析式； 设抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、PD，当为直角三角形时，求点P的坐标； 过点C作轴，交抛物线于点E，如图2，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省商丘市梁园区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（ ） A. 绝对值 B. 有理数 C. 代数式 D. 方程 【答案】D 【解析】 【分析】根据数学发展常识作答． 【详解】解：中国古代列方程的方法被称为天元术， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了方程，代数式，数学常识，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的数学模型． 2. 如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形．投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据轴对称图形和中心对称图形的定义得到圆和菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，然后根据概率公式求解． 【详解】解：投掷一次，向下一面有四种可能，其中圆、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，有两种可能，故概率为； 故选C. 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了轴对称图形和中心对称图形． 3. 观察下列的立体图形，从上面看，得到的平面图形是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据从上面看得到的图形得出的平面图形，可得答案． 【详解】解：从上面看：共分两列，从左往右第一列有2个，第二列上面1个小正方形，如图所示： 故选：B． 4. 下列各式中，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和平方根． 根据算术平方根和平方根的定义对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原式不正确，不符合题意； B．，原式不正确，不符合题意； C．，原式无意义，不符合题意； D．，符合题意． 故选：D． 5. 一组数据：5，7，10，5，7，5，6，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 10和7 B. 5和7 C. 6和7 D. 5和6 【答案】D 【解析】 【分析】将这组数据排序后处于中间位置的数就是这组数据的中位数，出现次数最多的数为这组数据的众数． 【详解】解：将这组数据按从小到大排列为：5，5，5，6， 7，7，10， ∵数据5出现3次，次数最多， ∴众数为5； ∵第四个数为6， ∴中位数为6， 故选：D 【点睛】本题考查了中位数，众数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 6. 下列抛物线中，开口向下的有（　　） ①y＝﹣x2；②y＝x2；③y＝10x2；④y＝﹣x2． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，则a＜0，由此即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0． ∴符合题意的有①y＝﹣x2；④y＝﹣x2，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向与a的正负的关系是解题的关键． 7. 桌面上有三张背面相同的卡片，正面分别写有数字、、．先将卡片背面朝上洗匀，然后从中同时抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率． 根据题意，列举所有可能，用乘积为奇数的数量除以总数即可． 【详解】解：，，， 共有种可能，两张卡片上的数字之积为奇数的有种， ∴两张卡片上的数字之积为奇数的概率是． 故选：C． 8. 如图，分别为三边的中点，则下列说法中不正确的为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线定理、三角形相似的判定和性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理是关键．根据三角形中位线定理得到，，则，根据相似三角形的性质即可得到，即可判断A、B、C选项，再根据三角形中位线定理判断D选项即可． 【详解】解：∵分别为三边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵分别为三边的中点， ∴， 若，则，原题的条件无法证明， 故选项D不正确， 故选D． 9. （2017届广东省广州市番禺区九年级中考一模数学试卷）如图，已知在中，点A(1，2)，∠OBA＝90º，OB在x轴上．将绕点A逆时针旋转90º，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由A(1，2)可知OB＝1，AB＝2.将绕点A逆时针旋转90°得到，则 ≌，所以CD＝OB＝1，AD＝AB＝2.所以点C坐标为(3，1)，又点C在双曲线 y= (x＞0)上，∴1＝，k＝3.故答案为C． 10. 下列命题错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B. 一条斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C. 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判断定理进行逐项判断即可． 【详解】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形，可以用来证明这两个直角三角形全等，选项不符合题意； D、两个锐角对应相等的两个直角三角形，不能用来证明这两个直角三角形全等，选项符合题意； C、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，可以用来证明这两个等腰三角形全等，选项不符合题意； B、一边一锐角对应相等的两个直角三角形，可以用或来证明这两个直角三角形全等选，选项不符合题意； 故答案为：B． 【点睛】本题考查了命题真假判定，三角形全等的判定，掌握三角形全等的判断定理：、、、、是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据二次根式的性质、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 12. 如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为__． 【答案】﹣1 【解析】 【详解】解：过F点作FG∥BC, ∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线, ∴BD=CD==1,∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°,AD⊥BC, ∵∠ACE=∠BAC, ∴∠CAD=∠ACE=15°, ∴AF=CF, ∵∠ACD=（180°-30°）÷2=75°, ∴∠DCE=75°-15°=60°, 在Rt△CDF中, AF=CF==2,DF=CD•tan60°=, ∵FG∥BC, ∴GF：BD=AF：AD,即GF：1=2：（2+）, 解得GF=4-2, ∴EF：EC=GF：BC,即EF：（EF+2）=（4-2）：2, 解得EF=﹣1 故答案为:﹣1. 13. 已知，若，，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组的综合．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，是解题的关键． 用含m的式子表示a、b的值，再根据，，得到一元一次不等式组，进一步计算即可求解． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②， 得， 解得， ∵，， ∴， 解得， ， 解得， ∴． 故答案为：． 14. 如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．当点运动到的中点时，的面积为____________________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据图象可得点P从点C到点D的运动时间为，，即可求出，进而求出，再根据当点P与点B重合时，求出，最后用待定系数法求解点P在线段上时，关于的函数的函数表达式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 点P从点C到点D的运动时间为：， 当点P与点C重合时，， ∴点P从点C到点D的运动路程为：， 即， ∴，即， 解得：， ∵当点P与点B重合时，， ∴，即， 解得：， ∴当点P在于点B重合时，， ∴点点P运动到中点时， 设点P在线段上时，关于的函数的函数表达式为：， 把代入得： ，解得：， ∴点P在线段上时，关于的函数的函数表达式为：， 把代入得：， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了函数动点问题，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，根据图象得出需要数据，熟练运用三角形的面积公式． 15. 如图，绕点C逆时针旋转后得，如果点B、D、E在一直线上，且，那么A、D两点间的距离是_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作交于点F，由旋转的性质得出是等腰直角三角形，再求出，利用含角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】过点C作交于点F， ∴， ∵绕点C逆时针旋转后得， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，原式利用除法法则变形，约分后化简得到结果，根据a为已知方程的解，将代入方程得到关系式，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 是方程的根， ， 则原式． 17. 某校抽查了八（1）班20名学生，测量了他们在赛跑后的脉搏次数，结果如下（单位：次）：144，150，156，165，171，149，162，160，135，159，150，164，168，153，158，139，161，157，154，147． （1）填写表格 每分钟脉搏次数 划记 丅 _____________ 正 正一 一 频数 2 _____________ 8 6 1 （2）每分钟脉搏次数在这一组的频率是 ； （3）若要知道抽测中以上每种范围的人数占总人数的百分比，应选择哪一种统计图？画出你所选择的统计图，并在图中标明相应数据， 【答案】（1） 根据题意，填写表格如下： 每分钟脉搏次数 划记 丅 正 正一 一 频数 2 3 8 6 1 （2） （3） 画出扇形统计图，如下： 【解析】 【分析】（1）根据题意，填写表格，即可； （2）根据频率等于频数与总数量的比值，即可求解； （3）根据扇形统计图的意义，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，填写表格如下： 每分钟脉搏次数 划记 丅 正 正一 一 频数 2 3 8 6 1 【小问2详解】 解：每分钟脉搏次数在这一组的频率是； 故答案为： 【小问3详解】 解：若要知道抽测中以上每种范围的人数占总人数的百分比，应选择扇形统计图， 每分钟脉搏次数在这一组的百分比为； 每分钟脉搏次数在这一组的百分比为； 每分钟脉搏次数在这一组的百分比为； 每分钟脉搏次数在这一组的百分比为； 每分钟脉搏次数在这一组的百分比为 【点睛】本题主要考查了频数分布表，求频率，扇形统计图，熟练掌握频率等于频数与总数量的比值是解题的关键． 18. 阿基米德（，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，已知和是的两条弦（即折线是的一条折弦），是的中点．那么从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明思路： 证明：如图②，在上截取，连接，…… …… 【定理证明】 按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】 如图③，等边内接于为上一点，． 求的周长． 【答案】【定理证明】：见解析；【问题解决】：的周长为 【解析】 【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案； （2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案． 【详解】解：（1）如图②，连接． 可得． 由是的中点，可求得． ， ． ． ， ． ． 即． （2）如图③，作． 由，可得． 由阿基米德折弦定理，可得． 由于， 所以，在中，可求得． 故的周长为． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键． 19. 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.3米，点B距地面10.8米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4） 【答案】14 【解析】 【分析】作AH⊥EF于H，作AD⊥BN于D，则易得四边形AHND为矩形，所以DN=AH=2.3，则BD=8.5，利用∠BAD=45°得到AD=BD=8.5，在Rt△ABD中利用正切值求出CD的长，然后计算CD-BD即可． 【详解】作AH⊥EF于H，作AD⊥BN于D，如图， AH＝2.3，∠BAD＝45°，∠CAD＝65°，BN＝10.8，易得四边形AHND为矩形， ∴DN＝AH＝2.3， ∴BD＝BN﹣DN＝10.8﹣2.3＝8.5， 在Rt△ABD中，∵∠BAD＝45°， ∴AD＝BD＝8.5， 在Rt△ABD中，∵tan∠CAD＝， ∴CD＝10.8tan65°＝10.8×2.1＝22.68， ∴CB＝CD﹣BD＝22.68﹣8.5＝14.18≈14 答：云梯需要继续上升的高度BC约为14米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 20. 如图，直线y＝x+b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝（x＜0）交于点A(﹣1，n)，连接OA． （1）求直线与双曲线的解析式； （2）求OAC的面积； （3）求∠OAB的正弦值． 【答案】（1）， （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得直线解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，再根据待定系数法，可得答案； （2）根据点经过y轴，得出，利用分割的思想得，进行求解即可； （3）根据等腰直角三角形的判定，可得是等腰直角三角形，根据正弦函数，可得的长，根据勾股定理，可得的长，再根据锐角三角函数的定义，可得答案． 【小问1详解】 解：将点代入中得到， ； 再将点带入得到， ， ， 直线与双曲线的解析式分别为，； 【小问2详解】 解点经过y轴， , ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于点， 当时，，即． ， 是等腰直角三角形， 在中， ． 在直角三角形中， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解题的关键是利用正弦函数得出的长． 21. 某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元． （1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式． （2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润． 【答案】（1）y=-100x+10000；（2）共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台,乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元. 【解析】 【分析】(1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可； (2)根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x=12代入函数解析式求出结果即可. 【详解】（1）由题意得：y=（2000-1600）x+（3000-2500）（20-x）=-100x+10000， ∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y=-100x+10000； （2）由题意得： ， 解得， ∵x为正整数， ∴x=12、13、14、15， 共有四种采购方案： ①甲型电脑12台，乙型电脑8台， ②甲型电脑13台，乙型电脑7台， ③甲型电脑14台,乙型电脑6台， ④甲型电脑15台，乙型电脑5台， ∵y=-100x+10000，且-100<0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x取最小值时，y有最大值， 即x=12时，y最大值=， ∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元. 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键. 22. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）图1中，在上画点P，使；在上画点H，使； （2）图2中，在上画点Q，连，使； （3）图3中，点D是内一个格点，如图所示，在上画点M，使值最小． 【答案】（1）见解析；见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）如图，取格点M，N，连接，与的交点P即为所求；取格点E，F，连接与的交点H即为所求； （2）如图，连接，与的交点即为所求； （3）如图，作，交于点，连接并倍长至点，过点作，交于，连接，交于点，点即为所求； 【小问1详解】 解：如图所求，点即为所求； 设小正方形的边长为1， 由图得：，， ∴， ∴； ∴点即为所求； 由图得：， ， ∴，点L为矩形的中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点下方格点，连接，连接，与的交点即为所求； 在中，； 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求； 作，交于点， 由（2）知，， ∴， 连接并倍长至点，过点作，交于， 则：， ∴点与点关于对称， ∴， ∴当三点共线时，的值最小； 连接，交于点，点即为所求； 【点睛】本题考查无刻度直尺作图．本题的综合性强，难度大，熟练掌握利用相似三角形的性质，四点共圆，锐角三角函数的定义，轴对称的性质，确定点的位置，是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过B、C两点，与y轴的另一个交点为点A，P为线段BC上一个动点不与点B、点C重合． 求抛物线的解析式； 设抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、PD，当为直角三角形时，求点P的坐标； 过点C作轴，交抛物线于点E，如图2，求的最小值． 【答案】抛物线的解析式为；点P的坐标为或；的最小值为10． 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，根据点B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； 根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴及点D的坐标，设点P的坐标为过点P作轴于Q，则点，分及两种情况考虑：当时，易证∽，利用相似三角形的性质即可求出点P的坐标；当时，通过解直角三角形可求出DQ、PQ的长度，进而可得出点P的坐标此问得解； 连接AE，交BC于点F，在的内部作，BH与AE交于点H，过点P作，垂足为R，连接PE，则，进而可得出，利用抛物线的对称性可得出，进而可得出，利用点到直线之间垂线段最短可得出当且仅当点P与点F重合时，等号成立，利用勾股定理及解直角三角形可求出AE、AH的长度，代入即可找出的最小值，进而可得出的最小值． 【详解】直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， 点B的坐标为，点C的坐标为 抛物线经过B、C两点， ，解得：， 抛物线的解析式为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 点D的坐标为． 设点P的坐标为过点P作轴于Q，则点． 当时，如图3， ，， ， ∽， ，即， 解得：， 点P的坐标为； 当时，如图4， ，， ， ， ，， ，， ， 点P的坐标为 综上所述，点P的坐标为或 连接AE，交BC于点F，在的内部作，BH与AE交于点H，过点P作，垂足为R，连接PE，如图5所示． ， ， ． 点C与点E、点A与点B均关于直线对称， ，， ， ，当且仅当点P与点F重合时，等号成立． ，，对称轴为直线， ，且点A的坐标为， ， ，即的最小值为5， 的最小值为10． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：根据点B、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；分及两种情况求出点P的坐标；利用点到直线之间垂线段最短找出当取最小值时点P的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $