精品解析：广东省佛山市南海外国语学校2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷

2021-2022学年七年级数学期中试卷 一．选择题 1. 下列四个算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，幂的乘方、积的乘方运算，熟练掌握相关运算性质是解题的关键． 按同底数幂的运算，合并同类项，幂的运算，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解：A．，故原计算错误，不符合题意； B．，故原计算错误，不符合题意； C．，计算正确，符合题意； D．，故原计算错误，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解决本题的关键．先由平行线的性质求出，再由直角和平角的定义，角的和差关系求出． 【详解】解：如下图所示： 直线， ， 又，， ， ， 故选：A． 3. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质； 根据作图步骤可知，，，然后利用证明即可． 【详解】解：由作图可知：，，， ∴， ∴，即， 故选：A． 4. 若a=（﹣）﹣2，b=（﹣1）﹣1，c=（﹣）0，则a，b，c的大小关系是（　　） A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞a＞b D. c＞b＞a 【答案】C 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂，0指数幂化简各数，再进行比较. 【详解】a=； b=； c=； ∵1>>−1， ∴即c>a>b. 故选C. 5. 根据下列条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定方法逐项判断即得答案. 【详解】解：A、∵，，，而，∴不能画出三角形； B、∵，，，而不是的夹角，∴不能画出唯一的三角形； C、∵，，，且是的夹边，∴根据角边角可判断能画出唯一的三角形； D、∵，，只有一个角和一条边，∴不能画出唯一的三角形； 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键，常见的一般三角形的判定方法有：，如果是直角三角形，还有. 6. 在下列条件中：①；②；③；④中，能确定△是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形的判定方法．根据三角形内角和等于，结合已知求出最大角的度数，再由有一个角为的三角形，叫做直角三角形，进行即可判断． 【详解】解：①∵，，∴，∴，判定△是直角三角形，故①符合题意； ②由，得到，∴△是直角三角形，故②符合题意； ③由，得到，因此，判定△是直角三角形，故③符合题意； ④由，，求出，得到，判定△是锐角三角形，故④不符合题意． 能确定△是直角三角形的条件有①②③，共3个． 故选：C． 7. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ） A. 7cm B. 3cm C. 7cm或3cm D. 8cm 【答案】B 【解析】 【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是3cm的边是底边时， 三边为3cm，5cm，5cm， 等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时， 底边长是：13－3－3＝7cm， 而3＋3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是：3cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键． 8. 某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是【 】 A. 汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h B. 乡村公路总长为90km C. 汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h D. 该记者在出发后4.5h到达采访地 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案. 【详解】A、汽车在高速公路上的行驶速度为180÷2=90（km/h），故本选项错误； B、乡村公路总长为360－180=180（km），故本选项错误； C、汽车在乡村公路上的行驶速度为（270-180）÷（3.5-2）=60（km/h），故本选项正确； D、由C可得到记者在乡村公路上行驶时间为180÷60=3h，加上高速公路行驶2h，得到记者在5h后达到采访地，故本选项错误. 故选C 【点睛】本题主要考查函数与图象，解题关键在于读懂题意. 9. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②；③；④和面积相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定．根据“边角边”证明，可推出，，可判断①②③正确，根据三角形中线的性质可判断④正确． 【详解】解：是的中线， ，和面积相等．故④正确； 在和中， ，故①正确； ，，故②正确； ，故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选：D． 10. 用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（　　） A. 2n+1 B. n2﹣1 C. n2+2n D. 5n﹣2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵第1个图形中，小正方形的个数是：=3； 第2个图形中，小正方形的个数是：=8； 第3个图形中，小正方形的个数是：=15； … ∴第n个图形中，小正方形的个数是：=； 故选C． 考点：规律型：图形的变化类． 二．填空题 11. 如图所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′=125°，那么∠AEB的度数是_____． 【答案】70° 【解析】 【详解】试题分析：由折叠的性质可求得∠EFC=∠EFC′=125°，由平行线的性质可求得∠DEF=∠BEF=55°，从而可求得∠AEB的度数． 解： 由折叠的性质可得∠EFC=∠EFC′=125°，∠DEF=∠BEF， ∵AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC=180°， ∴∠DEF=∠BEF=180°﹣∠EFC=180°﹣125°=55°， ∴∠AEB=180°﹣∠DEF﹣∠BEF=180°﹣55°﹣55°=70°， 故答案为70°． 12. 计算： ________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平方差和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式把看作一个整体，符合平方差公式，展开后再利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为： 13. 某下岗职工购进一批货物，到集贸市场零售，已知卖出去的货物重量x与售价y的关系如下表：写出用x表示y的关系式是______． 重量x（千克） 1 2 3 4 5 售价y（元） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，解决的关键是根据题意找出自变量与因变量的关系； 由图表分析可知，质量每增加1千克，售价增加元；再根据y与x的变化规律可得函数关系，进而得出答案． 【详解】根据图表可知： 即， 故答案为：． 14. ∠A的两边与∠B的两边互相平行，且∠A比∠B的2倍少15°，则∠A的度数为_____． 【答案】15°或115°． 【解析】 【分析】如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，由∠A比∠B的3倍小20°和∠A与∠B相等或互补，可列方程组求解． 【详解】根据题意，得或， 解方程组得∠A＝∠B＝15°或∠A＝115°，∠B＝65°． 故答案为15°或115°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，此类问题结合方程的思想解决更简单．注意结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． 15. 长方形的周长为14，在它的每条边上向外以该边为边长作正方形，已知这四个正方形的面积和为50，则这个长方形的面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 设长方形的长为，宽为，根据周长与四个正方形面积列出关系式，利用完全平方公式化简求出的值，即为长方形面积． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 根据题意得：，， 即，， ， 即， 整理得：， 则长方形的面积为12． 故答案为：12． 16. 如图，，，AE平分，，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：； ； ，；其中正确的结论有______填写序号 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据∠ACB=90°，BF⊥AE，得出∠ACB=∠BED=∠BCF=90°，推出∠F=∠ADC，证△BCF≌△ACD，根据全等三角形的性质即可判断①②；假如AC+CD=AB，求出∠F+∠FBC≠90°，和已知矛盾，即可判断③④，证根据全等三角形的判定ASA得出△BEA≌△FEA，推出BE=EF，即可判断⑤． 【详解】解：∵∠ACB=90°，BF⊥AE， ∴∠ACB=∠BED=∠BCF=90°， ∴∠F+∠FBC=90°，∠BDE+∠FBC=90°， ∴∠F=∠BDE， ∵∠BDE=∠ADC， ∴∠F=∠ADC， ∵AC=BC， ∴△BCF≌△ACD， ∴AD=BF，∴①正确；②错误； ∵△BCF≌△ACD， ∴CD=CF， ∴AC+CD=AF， 假如AC+CD=AB， ∴AB=AF，∴∠F=∠FBA=65°， ∴∠FBC=65°﹣45°=20°， ∴∠F+∠FBC≠90°，∴③错误；④错误； 由△BCF≌△ACD， ∴AD=BF， ∵AE平分∠BAF，AE⊥BF， ∴∠BEA=∠FEA=90°，∠BAE=∠FAE， ∵AE=AE，∴△BEA≌△FEA， ∴BE=EF， ∴⑤正确； 故答案为①③⑤． 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，垂线，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是证此题的关键． 三．解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 先化简再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式计算，再根据多项式除以单项式计算，然后去括号，合并同类项，最后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 根据下列语句，用尺规作图，不要求写作法： （1）过点作直线； （2）作，使，，． 【答案】（1） 直线即为所求： （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作，直线即为所求； （2）作线段，分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知：如图，，．求证：，． 解：连接 ， 　　 　　 在△和△中， （ 　　 　　 　　 　　 【答案】，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行线的性质推导出，并且适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，根据“两直线平行，内错角相等”证明，而，，可根据“”证明，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”得，，即可根据“内错角相等，两直线平行”证明，于是得到问题的答案． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， 在△和△中， ， ， （全等三角形的对应边相等）， （全等三角形的对应角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 21. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续去学校．如图是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程为________米； （2）在整个上学途中________时间段小明骑车速度最快，最快的速度是_______米/分； （3）小明在书店停留了________分钟； （4）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？ 【答案】（1）1500 （2）12分钟至14分钟；450 （3）4 （4）2700 【解析】 【分析】（1）根据小明本次上学所用的时间与路程的关系示意图可得，小明家到学校的路程； （2）分别求出折回书店前，折回书店，买书后去学校的速度即可得出结论； （3）观察图象即可得小明在书店停留的时间； （4）观察小明本次上学所用的时间与路程的关系示意图可得，本次上学途中，小明一共行驶的路程． 【小问1详解】 解：小明家到学校的路程是1500米． 故答案为：1500； 【小问2详解】 解：小明折回书店前骑车的速度是（米/分）， 小明折回书店时骑车的速度是（米/分）， 小明买书后去学校的骑车的速度是（米/分）， 故小明在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度是450米/分． 故答案为：12分钟至14分钟；450； 【小问3详解】 解：小明在书店停留了12-8=4（分钟）． 故答案为4； 【小问4详解】 解：本次上学途中，小明一共行驶了1200+600+（1500-600）=2700（米）， 答：小明一共行驶了2700米． 【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是数形结合思想的熟练运用． 22. 如图，，是的高，点在直线上，在直线上，且，． （1）猜想与的大小关系，并证明你的结论． （2）判断与有何特殊的位置关系？并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． （1）易证，即可求证，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得； （2）根据全等三角形对应角相等即可求得，结合即可得出，从而得出． 【小问1详解】 解：结论：． 理由：，是的高， ，， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 结论：． 理由：， ， ， ， ， ． 23. （1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下 方法①：__________ 方法②：__________ 从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________ （2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________ （3）如果、满足，，求：①的值；②的值． 【答案】（1），，；（2）；（3）①；②． 【解析】 【分析】本题利用几何图形探索完全平方公式，考查了完全平方公式的几何意义以及利用公式的变形，与平方差公式的变形进行计算． （1）方法①是将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧，则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形，方法②是分割法求面积，用正方形草坪的面积减去两条小路的面积，需要注意的是两条小路的重叠部分是边长为的小正方形，减去了两次，要再加上； （2）类比（1），用两种方法求大正方形的面积，从而可得； （3）①利用（1）、（2）所得两个公式，即可求出，②根据（2）可得，进而求出，再对所求式利用平方差公式分解因式进行求解． 【详解】解：（1）方法①：将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧， 则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形， 剩余草坪的面积为， 方法②：剩余草坪的面积为， 故答案为：，，； （2）类比（1）同理可得，用两种方法求图2中大正方形的面积为， 故所得等量关系为； （3）①由题意得， ， ； ②， ， ， ． 24. 如图，在长方形中，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1） _______ ．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，? （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，①当，时，；②当，时， 【解析】 【分析】（1）根据题意写出表达式即可； （2）根据题意得出当时，，据此计算出t即可； （3）分情况根据三角形全等得出v的值即可． 【小问1详解】 解：由题意知，； 【小问2详解】 解：当时，， ∵当时，， ， 在和中， ， ； 【小问3详解】 解：①当时，， , ∴, ， 即， 解得； ②当时，， ， , ∴， 解得， ∵, 即， 解得； 综上所述，当/秒或/秒时和全等． 25. 先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）． 理由：如图1，延长到点，使，连接， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ； （2）结论不成立，新的关系为， 理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ，即， ∵， ∴， ∴； （3）；理由如下： 延长至点，使，连接，如图3所示， ，， ， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，再推出，； （3）延长至点，使，连接，证出，由证明，得出，，证出，再由证明，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年七年级数学期中试卷 一．选择题 1. 下列四个算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 若a=（﹣）﹣2，b=（﹣1）﹣1，c=（﹣）0，则a，b，c的大小关系是（　　） A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞a＞b D. c＞b＞a 5. 根据下列条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 6. 在下列条件中：①；②；③；④中，能确定△是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ） A. 7cm B. 3cm C. 7cm或3cm D. 8cm 8. 某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是【 】 A. 汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h B. 乡村公路总长为90km C. 汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h D. 该记者在出发后4.5h到达采访地 9. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②；③；④和面积相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（　　） A. 2n+1 B. n2﹣1 C. n2+2n D. 5n﹣2 二．填空题 11. 如图所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′=125°，那么∠AEB的度数是_____． 12. 计算： ________． 13. 某下岗职工购进一批货物，到集贸市场零售，已知卖出去的货物重量x与售价y的关系如下表：写出用x表示y的关系式是______． 重量x（千克） 1 2 3 4 5 售价y（元） 14. ∠A的两边与∠B的两边互相平行，且∠A比∠B的2倍少15°，则∠A的度数为_____． 15. 长方形的周长为14，在它的每条边上向外以该边为边长作正方形，已知这四个正方形的面积和为50，则这个长方形的面积为________． 16. 如图，，，AE平分，，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：； ； ，；其中正确的结论有______填写序号 三．解答题 17. 计算： 18. 先化简再求值：，其中． 19. 根据下列语句，用尺规作图，不要求写作法： （1）过点作直线； （2）作，使，，． 20. 已知：如图，，．求证：，． 解：连接 ， 　　 　　 在△和△中， （ 　　 　　 　　 　　 21. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续去学校．如图是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程为________米； （2）在整个上学途中________时间段小明骑车速度最快，最快的速度是_______米/分； （3）小明在书店停留了________分钟； （4）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？ 22. 如图，，是的高，点在直线上，在直线上，且，． （1）猜想与的大小关系，并证明你的结论． （2）判断与有何特殊的位置关系？并证明你的结论． 23. （1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下 方法①：__________ 方法②：__________ 从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________ （2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________ （3）如果、满足，，求：①的值；②的值． 24. 如图，在长方形中，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1） _______ ．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，? （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 25. 先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $