精品解析：广东省湛江市麻章区湛江市博雅学校2025-2026学年八年级上学期开学数学试题

25-26学年湛江博雅学校八年级第一学期开学摸底测试 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在实数，，，中，无理数是( ) A. B. C. D. 2. 如图所示，直线，相交于点O，若，则的大小为（　　） A. 20° B. C. D. 3. 下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 4. 以下调查方式中，适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查某品牌手机的使用寿命 B. 对乘坐飞机的乘客进行安检 C. 了解全班学生的体重 D. 检测“嫦娥一号”各零部件的质量情况 5. 点向上平移4个单位，再向左平移3个单位得到点B的坐标为（    ） A. B. C. D. 6. 解为的方程组是（　　） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 10. 关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：=___． 12. 扇形统计图中某扇形面积占圆面积的，则此扇形圆心角是______度． 13. 为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电商场共同举办“政企双补”家电以旧换新活动．活动期间，该工会会员小李购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的以旧换新补贴外，还获得一定金额的厂商补贴，若小李实际支付金额不低于2970元，则厂家给予的补贴最多不超过原价的______%． 14. 定义新运算：对于任意实数，都有如，计算：____________． 15. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点F在直线上，，，则的度数为_________． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 解方程组：． 18. 某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板共需万元，购买2台电脑和1台电子白板共需万元． （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案？ （3）最低费用是多少万元？ 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点 C 的坐标为，点 A，B 分别在格点上． （1）直接写出点 B 的坐标； （2）若把向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到 ，画出 ； （3）求的面积． 20. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________； （3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？ 21. 如图，已知直线，且与互补，求证： （1）； （2）当时，求的度数． 五、解答题（13+14分，共27分） 22. 近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． （1）求该商店在无促销活动时A，B商品的销售单价分别是多少元？ （2）为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）．求当a在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 23. 如图，，直线与，分别相交于点E，F． ．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点P，M分别在直线，上，，． （1）如图（1），直接写出的数量关系 ； （2）的平分线交直线于点O，． ①如图（2），当时，求的值； ②小安将三角尺保持，从图（1）的位置开始向左平移，利用备用图画图，并求的度数（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年湛江博雅学校八年级第一学期开学摸底测试 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在实数，，，中，无理数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐个判断各数即可得到结果． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数；  是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数． 2. 如图所示，直线，相交于点O，若，则的大小为（　　） A. 20° B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了邻补角，邻补角‌是指两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为的几何关系． 【详解】解：∵直线相交于点O，， ∴． 故选：D． 3. 下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、分别根据算术平方根、立方根的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 4. 以下调查方式中，适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查某品牌手机的使用寿命 B. 对乘坐飞机的乘客进行安检 C. 了解全班学生的体重 D. 检测“嫦娥一号”各零部件的质量情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此解答即可． 【详解】解：A. 调查某品牌手机的使用寿命，适宜抽样调查，故A选项符合题意． B. 对乘坐飞机的乘客进行安检，适宜全面调查，故B选项不符合题意； C. 了解全班学生的体重，适宜全面调查，故C选项不符合题意； D. 检测“嫦娥一号”各零部件的质量情况，适宜全面调查，故D选项不符合题意； 故选：A． 5. 点向上平移4个单位，再向左平移3个单位得到点B的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 根据坐标平移规律，向上平移改变纵坐标，向左平移改变横坐标，依次计算即可． 【详解】解：向上平移4个单位：点的纵坐标加上4，得到新的纵坐标为，此时坐标为； 再向左平移3个单位：点的横坐标2减去3，得到新的横坐标为，此时坐标为； 故选：A． 6. 解为的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【详解】A、把代入方程x-y=-1，左边=1≠右边，把代入方程y+3x=5，左边=5=右边，故不是方程组的解，故选项错误； B、把代入方程3x+y=-5，左边=5≠右边，故不是方程组的解，故选项错误； C、把代入方程x-y=3，左边=-1≠右边，故不是方程组的解，故选项错误； D、把代入方程x-2y=-3，左边=-3=右边=-3，把代入方程3x+y=5，左边=5=右边，故是方程组的解，故选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键． 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，及在数轴上表示不等式，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解为：， 故选：A． 8. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理判断即可，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，不能判定，故A符合题意； ， ，故B不符合题意； ， ，故C不符合题意； ， ，故D不符合题意； 故选：A． 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 10. 关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：=___． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 12. 扇形统计图中某扇形面积占圆面积的，则此扇形圆心角是______度． 【答案】108 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．用乘对应的百分比即可． 【详解】解：此扇形圆心角是， 故答案为：． 13. 为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电商场共同举办“政企双补”家电以旧换新活动．活动期间，该工会会员小李购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的以旧换新补贴外，还获得一定金额的厂商补贴，若小李实际支付金额不低于2970元，则厂家给予的补贴最多不超过原价的______%． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设厂家给予的补贴不超过原价的，根据题意可得出，解出x的取值范围即可得出答案． 【详解】解：设厂家给予的补贴不超过原价的， 根据题意： 解得：， 则厂家给予的补贴最多不超过原价的， 故答案为：15 14. 定义新运算：对于任意实数，都有如，计算：____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查新运算．根据新定义列出计算可得． 【详解】解：根据题意，原式转化为： ， 故答案为：． 15. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点F在直线上，，，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数. 根据平行线的性质得出，，再由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根、绝对值、乘方、算术平方根．先计算立方根、绝对值、乘方、算术平方根，再去括号计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ①，得③， ②+③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为． 18. 某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板共需万元，购买2台电脑和1台电子白板共需万元． （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案？ （3）最低费用是多少万元？ 【答案】（1）每台电脑万元，每台电子白板万元 （2）有3种购买方案 （3）28万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；③根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用． （1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据“购买1台电脑和2台电子白板共需万元，购买2台电脑和1台电子白板共需万元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需购进电脑m台，则购进电子白板台，根据“总费用不超过30万元，但不低于28万元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总价单价数量，可分别求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元， 根据题意得：， 解得： 答：每台电脑万元，每台电子白板万元； 【小问2详解】 解：设需购进电脑m台，则购进电子白板台， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为15、16、17， 共有3种购买方案， 方案1：购进电脑15台，电子白板15台； 方案2：购进电脑16台，电子白板14台； 方案3：购进电脑17台，电子白板13台； 【小问3详解】 解：选择方案1所需费用为（万元）； 选择方案2所需费用为万元）； 选择方案3所需费用为（万元）， ， 最低费用是28万元． 答：最低费用是28万元． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点 C 的坐标为，点 A，B 分别在格点上． （1）直接写出点 B 的坐标； （2）若把向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到 ，画出 ； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，三角形的面积，作图-平移，几何图形的面积计算——割补法． （1）观察图形写出坐标即可解答； （2） 把中的三个顶点分别 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，再画出图形即可解答； （3）利用割补法求三角形面积等于的长方形减去周围小三角形的面积计算即可解答． 【小问1详解】 解：观察B点在一象限， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解： 20. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________； （3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？ 【答案】（1）40， 补全条形统计图如图所示： （2） （3）225人 【解析】 【分析】（1）根据A平板观看的人数与占比即可求出本次调查的学生总人数，进而求出C电视观看的人数即可计算补全统计图； （2）先求出“手机观看”的占比再乘以即可求解； （3）根据“电视观看”的占比乘以全校九年级人数即可求解． 此题主要考查关联扇形统计图与条形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答．解题关键是正确读懂统计图的信息以及明确题意． 【小问1详解】 这次随机抽取的学生总人数：（人）， “电视观看”的人数：（人）， 【小问2详解】 B“手机观看”所占圆心角， 故答案为：； 【小问3详解】 这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生约有（人）， 答：这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生为225人． 21. 如图，已知直线，且与互补，求证： （1）； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意，易得到，从而证得结论； （2）由，得到，再结合平角的概念，得到结果． 【小问1详解】 证明：， ， 与互补， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 五、解答题（13+14分，共27分） 22. 近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． （1）求该商店在无促销活动时A，B商品的销售单价分别是多少元？ （2）为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）．求当a在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 【答案】（1）该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元； （2）当时，选用无人机配送服务更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，根据“某商店在无促销活动时，买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；买8件A商品，5件B商品，共需2280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据选用无人机配送服务更合算，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：当时，选用无人机配送服务更合算． 23. 如图，，直线与，分别相交于点E，F． ．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点P，M分别在直线，上，，． （1）如图（1），直接写出的数量关系 ； （2）的平分线交直线于点O，． ①如图（2），当时，求的值； ②小安将三角尺保持，从图（1）的位置开始向左平移，利用备用图画图，并求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①②或 【解析】 【分析】（1）过点N作，利用平行线的性质解答即可； （2）①根据平行线的判定和性质，解答即可； ②分三角尺在的左侧和右侧两种情况，利用平行线的性质，角的平分线的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点N作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解： ①∵的平分线交直线于点O， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：当直角三角尺在的右侧时，如图所示， ∵的平分线交直线于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直角三角尺在的左侧时，如图所示， ∵的平分线交直线于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $