第一章三角形能力提升卷 2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

新浙教版八年级第一学期数学第一章三角形能力提升卷答案 一、选择题： 1．下列各组数可作为一个三角形三边长的是（　　） A．4，6，8 B．4，5，9 C．1，2，4 D．5，5，11 【分析】在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得答案． 【解答】解：A、4+6＞8，能组成三角形 B、4+5＝9，不能组成三角形； C、1+2＜4，不能组成三角形； D、5+5＜11，不能组成三角形． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 2、已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【分析】解此题的关键是三角形全等的判定定理的准确应用．三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做题时要从已知入手由易到难，不重不漏． 【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADO＝∠AEO＝90°； ∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO（AAS）． ∴AD＝AE， ∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO， ∴△ADC≌△AEB（ASA）． ∴AB＝AC， ∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴△AOB≌△AOC（SAS）． ∴∠B＝∠C， ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴DB＝EC； ∵∠BOD＝∠COE， ∴△BOD≌△COE（AAS）． 故选：A． 【点评】此题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是要注意正确识图． 3、可以用来证明命题“若x+2y＝0，则x＝y＝0”是假命题的反例是（　　） A．x＝1，y＝1 B．x＝2，y＝﹣1 C．x＝﹣1，y＝2 D．x＝0，y＝0 【分析】作为反例，要满足条件但不能满足结论．一一判断即可． 【解答】解：A、当x＝1，y＝1时，x+2y≠0，故A不符合题意． B、当x＝2，y＝﹣1时，x+2y＝0成立，而x＝y＝0不成立，故B符合题意． C、当x＝﹣1，y＝2时，x+2y≠0，故C不符合题意． D、当x＝0，y＝0时，x+2y＝0成立，而x＝y＝0也成立，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题的定义，学会举反例说明命题是假命题，属于中考常考题型． 4、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F分别是垂足．已知AB＝2AC，则DE与DF的长度之比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2 【分析】根据三角形的中线把其面积分成相等的两个三角形得出△ABD和△ACD的面积相等，再根据三角形面积公式计算即可得出高之间的关系． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵DE⊥AC，DF⊥AB，AB＝2AC， ∴， 即2AC•DE＝AC•DF， ∴2DE＝DF， ∴DE：DF＝1：2， 即DE与DF的长度之比是1：2， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5、下列说法，其中真命题有（　　）个． ①相等的角是对顶角； ②同位角相等； ③两边及一角对应相等的两个三角形全等； ④角平分线上的点到角两边的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据对顶角的概念、平行线的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质判断即可． 【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故本小题命题是假命题； ②两直线平行，同位角相等，故本小题命题是假命题； ③两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故本小题命题是假命题； ④角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题； 故选：A． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（　　） A．AD是△ABE的角平分线 B．BE是△ABD边AD上的中线 C．CH为△ACD边AD上的高 D．AH为△ABC的角平分线 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断． 连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线； 三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线； 从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 【解答】解：A、根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故本选项错误； B、根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项错误； C、根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故本选项正确； D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键． 7、如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝6，BF＝4，EF＝3，则AD的长为（　　） A．9 B．6 C．5 D．7 【分析】由“AAS”可证△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝6，BF＝DE＝4，即可求AD的长． 【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°， ∴∠A＝∠C，且∠CED＝∠AFB＝90°，AB＝CD， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝4， ∴AD＝AF﹣EF+DE＝7． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△CDE是本题的关键． 8、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 【分析】由∠D+∠C＝∠CBE+∠DEB，推出∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝∠A+∠ABE+∠BEF+∠F，即可得到答案． 【解答】解：连接BE， ∵∠D+∠C＝∠CBE+∠DEB， ∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝∠A+∠ABE+∠BEF+∠F＝360°． 故选：D． 【点评】本题考查角的计算，关键是把问题转化成求四边形内角和． 9、如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为24，则△DFC与△BDE的面积之差是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】结合题意，根据全等三角形的性质，通过证明△ABE≌△FAC，得△DFC与△BDE的面积之差＝S△ACD﹣S△ABD，再根据CD＝2BD，△ABC的面积为24计算，即可完成求解． 【解答】解：∵∠1＝∠ABE+∠BAE，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE+∠BAE， ∵∠BAC＝∠BAE+∠FAC， ∴∠ABE＝∠FAC， ∵∠1＝∠2， ∴∠AEB＝∠CFA， 在△ABE和△FAC中， ， ∴△ABE≌△FAC（AAS）， ∴S△ABE＝S△FAC， ∴△DFC与△BDE的面积之差＝S△ACD﹣S△ABD， ∵CD＝2BD，△ABC的面积为24， ∴S△ABDS△ABC24＝8，S△ACDS△ABC24＝16． ∴16﹣8＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 10、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（　　） A．BC+AD＝CD B．E为CD中点 C．∠AEB＝90° D．S△ABES四边形ABCD 【分析】C：先根据AD∥BC，推∠CBA+∠BAD＝180°，再根据AE平分∠BAD，BE平分∠CBA，进一步推∠BAE+∠ABE＝90°，证明∠AEB＝90°； B：延长BE，AD交于点F，先通过（AAS）证明△ABE≌△AFE（AAS），推BE＝EF，再证明△BCE≌△FDE（AAS）， 从而证明E为CD中点； D：根据△BCE≌△FDE，得S△ABF＝S四边形ABCD，再根据E为CD中点，得S△ABES△ABF，最后的S△ABES四边形ABCD； A：由△ABE≌△AFE，△BCE≌△FDE，推AB＝AF，BC＝DF，再根据AF＝AD+DF＝AD+BC，推AB＝AD+BC， 因此BC+AD＝CD不一定成立． 【解答】解：延长BE，AD交于点F， ∵AD∥BC， ∴∠CBA+∠BAD＝180°， ∵AE平分∠BAD，BE平分∠CBA， ∴∠BAE∠BAD，∠ABE∠ABC， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠AEB＝90°， 故选项C不符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠ABF＝∠F，∠C＝∠D， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE（AAS）， ∴BE＝EF， ∵∠C＝∠EDF，∠BEC＝∠FED， ∴△BCE≌△FDE（AAS）， ∴CE＝DE， ∴E为CD中点， 故选项B不符合题意； ∵△BCE≌△FDE， ∴S△ABF＝S四边形ABCD， ∵E为CD中点， ∴S△ABES△ABF， ∴S△ABES四边形ABCD， 故选项D不符合题意； ∵△ABE≌△AFE（AAS），△BCE≌△FDE（AAS）， ∴AB＝AF，BC＝DF， ∵AF＝AD+DF＝AD+BC， ∴AB＝AD+BC， ∵AB与CD不一定相等， ∴BC+AD＝CD不一定成立； 故选项A符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、命题与定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质的应用，辅助线的做法是解题的关键． 2、 填空题： 11、三角形的三边长分别为3，5，x，化简式子|x﹣2|+|x﹣9|＝　7　 ． 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析求解． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8， 则|x﹣2|+|x﹣9|＝x﹣2﹣x+9＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，比较简单． 12、在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接CE，BD＝ED，AD＝CD，∠DCE＝22°，则∠B的度数为 　68°　 ． 【分析】证明△ABD≌△CED（SAS），即可得出结果． 【解答】解：∵∠DCE＝22°，∠CDE＝90°， ∴∠CED＝90°﹣22°＝68°， 在△ABD与△CED中， ， ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴∠B＝∠CED＝68°， 故答案为：68°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13、如图，△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝5cm，△ABC的周长为30cm，则△ABD的周长是 　20cm ． 【分析】关键线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE＝5cm，再利用△ABC的周长为30cm和等线段代换得到AB+BD+AD＝20cm． 【解答】解：∵DE是AC的中垂线， ∴DA＝DC，AE＝CE＝5cm， ∵△ABC的周长为30cm， ∴AB+BC+AC＝30cm， 即AB+BD+CD+10＝30， ∴AB+BD+AD＝20（cm）， 即△ABD的周长为20cm． 故答案为20cm． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 14、如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，若S△ABC＝9，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，则S1﹣S2的值是 　　 ． 【分析】根据S1﹣S2＝S△ABE﹣S△BCD即可求出答案，所以要求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，根据AD＝2BD，BE＝CE，S△ABC＝9，即可求出两者的面积． 【解答】解：∵AD＝2BD，BE＝CE，S△ABC＝9， ∴S△BCDS△ABC＝3，S△ABES△ABC， ∴S1﹣S2＝S△ABE﹣S△BCD3． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． 15、如图，在△ABC中，已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积等于8cm2，则阴影部分面积为 　1cm2 ． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形进行计算即可． 【解答】解：∵点D是BC的中点， ∴， ∵点E是AD的中点， ∴， ∵点F是CE的中点， ∴， 阴影部分面积为1cm2． 故答案为：1cm2． 【点评】本题考查求三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 16、如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，则∠A的度数为 　2n°﹣m°　 ．（用m，n表示） 【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数． 【解答】解：连接BC． ∵∠BDC＝m°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣m°， ∵∠BGC＝n°， ∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣n°， ∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线， ∴∠GBD+∠GCD∠ABD∠ACD＝180°﹣n°﹣180°+m°＝m°﹣n°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°+2（m°﹣n°）＝180°+m°﹣2n°， ∴∠A＝180°﹣（180°+m°﹣2n°）＝2n°﹣m°． 故答案为：2n°﹣m°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 三、解答题： 17、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若∠CAD＝20°，∠B＝50°，求∠AEC的度数． 【分析】根据已知条件得到∠ADC＝90°，求得∠ACD＝90°﹣20°＝70°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°，根据角平分线的定义得到∠ACEACB＝35°，于是得到答案． 【解答】解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACEACB＝35°， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键． 18、如图，在△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，AB＝7，AC＝5． （1）若AD为△ABC的角平分线，则DE与DF满足数量关系为 DE＝DF ； （2）若AD为△ABC的中线，说明DE与DF满足的数量关系并证明． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得出结论； （1）根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的两个三角形可得出结论． 【解答】解：（1）∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 故答案为：DE＝DF； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴SABD＝S△ACD， ∴， ∴， ∴DE． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，熟记角平分线的性质，三角形中线的性质是解题的关键． 19、如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M． （1）求证：EC＝BF； （2）求证：EC⊥BF． 【分析】（1）利用SAS说明△ABF≌△AEC得结论； （2）先利用全等三角形的性质说明∠AEC＝∠ABF，再利用三角形内角和定理说明∠BMD＝90°得结论． 【解答】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠CAF＝90°． ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF． 在△ABF和△AEC中， ， ∴△ABF≌△AEC（SAS）． ∴EC＝BF． （2）由（1）知：△ABF≌△AEC， ∴∠AEC＝∠ABF． ∵AE⊥AB， ∴∠BAE＝90°． ∴∠AEC+∠ADE＝90°． ∵∠ADE＝∠BDM， ∴∠ABF+∠BDM＝90°． 在△BDM中， ∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°． ∴EC⊥BF． 【点评】本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 20、如图，已知AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从点B向点A运动，每分钟走1m，点Q从点B向点D运动，每分钟走2m．若P，Q两点同时出发，运动几分钟后，△CAP与△PQB全等？ 【分析】分当△CPA≌△PQB时和当△CPA≌△PQB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立． 【解答】解：当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（米）， 则BQ＝AP＝AB﹣BP＝12﹣4＝8（米）， A的运动时间是：4÷1＝4（分钟）， Q的运动时间是：8÷2＝4（分钟）， 则当t＝4分钟时，两个三角形全等； 当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（米）， AP＝BPAB＝6（米）， 则P运动的时间是：6÷1＝6（分钟）， Q运动的时间是：4÷2＝2（分钟）， 故不能成立． 总之，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA≌△PQB和△CPA≌△PQB两种情况讨论是关键． 21、阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p，那么这个三角形的面积为S．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”． 完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6． （1）求△ABC的面积； （2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长． 【分析】（1）利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积； （2）利用面积法求CD的长． 【解答】解：（1）∵a＝7，b＝5，c＝6． ∴p9， ∴△ABC的面积S6； （2）如图，∵△ABC的面积AB•CD， ∴6×CD＝6， ∴CD＝2． 【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．也考查了阅读理解能力． 22、已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线． （1）求证：∠AFC＝120°； （2）若AD＝6，CE＝4，求AC的长？ 【分析】（1）由题意∠BAC+∠BCA＝120°，根据∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180120°，即可解决问题； （2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG．只要证明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD＝∠AFG＝60°，∠GFC＝∠CFE＝60°，再证明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG＝CE＝4，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线， ∴∠FAC∠BAC，∠FCA∠BCA， ∵∠B＝60° ∴∠BAC+∠BCA＝120°， ∴∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180°120°＝120°． （2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG． ∵AE、CD分别为△ABC的角平分线 ∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE， ∵∠AFC＝120°， ∴∠AFD＝∠CFE＝60°， 在△ADF和△AGF中 ， ∴△ADF≌△AGF（SAS） ∴∠AFD＝∠AFG＝60°， ∴∠GFC＝∠CFE＝60°， 在△CGF和△CEF中 ， ∴△CGF≌△CEF（ASA）， ∴CG＝CE＝4， ∴AC＝10． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 23、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”． 如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C． （1）∠ABO的度数为 　30　 °，△AOB　是　 （填“是”或“不是”）智慧三角形； （2）若∠ACB＝80°，求证：△AOC为“智慧三角形”； （3）当△ABC为“智慧三角形”时，请直接写出∠OAC的度数． 【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断； （2）根据“智慧三角形”的概念证明即可； （3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算． 【解答】解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∵∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB为“智慧三角形”， 故答案为：30；是； （2）∠AOC＝60°，∠ACB＝80°， ∴∠CAO＝20°， ∴∠AOC＝3∠OAC， ∴△AOC为“智慧三角形”； （3）∵△ABC为“智慧三角形”， ①当点C在线段OB上时，∵∠ABO＝30°， ∴∠BAC+∠BCA＝150°，∠ACB＞60°，∠BAC＜90°， Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°， ∴∠OAC＝80°， Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时， ∴∠ACB＝10° ∴此种情况不存在， Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时， ∴∠BAC+3∠BAC＝150°， ∴∠BAC＝37.5°， ∴∠OAC＝52.5°， Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时， ∴∠BCA＝90°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠OAC＝90°﹣60°＝30°， Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时， ∴∠BAC＝90°， ∴∠OAC＝0°， Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时， ∴3∠ACB+∠ACB＝150°， ∴∠ACB＝37.5°， ∴此种情况不存在， 当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或0°或30°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 24、（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是 EF＝BE+DF （直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，计算三角形DEF的周长并说明理由． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，由“SAS”可证△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可证△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题； （2）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题； （3）延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，由“SAS”可证△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可证△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解． 【解答】解：（1）EF＝BE+DF； 证明：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图1， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°， ∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝60°， ∴∠EAF＝∠FAG＝60°， 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF+DG， ∴EF＝BE+DF； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°， ∴∠ABG＝∠D， 在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE∠BAD＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF， 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD； （3）三角形DEF的周长为2n．理由如下： 如图3，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAH＝∠BCF＝90°， 又∵AH＝CF，AB＝BC， ∴△ABH≌△CBF（SAS）， ∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF， ∵∠EBF＝45°， ∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF， ∴∠EBH＝∠EBF， 又∵BH＝BF，BE＝BE， ∴△EBH≌△EBF（SAS）， ∴EF＝EH， ∴EF＝EH＝AE+CF， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝2n． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 新浙教版八年级第一学期数学第一章三角形能力提升卷 一、选择题： 1．下列各组数可作为一个三角形三边长的是（　　） A．4，6，8 B．4，5，9 C．1，2，4 D．5，5，11 2、已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 3、可以用来证明命题“若x+2y＝0，则x＝y＝0”是假命题的反例是（　　） A．x＝1，y＝1 B．x＝2，y＝﹣1 C．x＝﹣1，y＝2 D．x＝0，y＝0 4、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别是垂足．已知AB＝2AC，则DE与DF的长度之比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2 5、下列说法，其中真命题有（　　）个． ①相等的角是对顶角； ②同位角相等； ③两边及一角对应相等的两个三角形全等； ④角平分线上的点到角两边的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 6、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（　　） A．AD是△ABE的角平分线 B．BE是△ABD边AD上的中线 C．CH为△ACD边AD上的高 D．AH为△ABC的角平分线 7、如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝6，BF＝4，EF＝3，则AD的长为（　　） A．9 B．6 C．5 D．7 8、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 9、如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为24，则△DFC与△BDE的面积之差是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 10、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（　　） A．BC+AD＝CD B．E为CD中点 C．∠AEB＝90° D．S△ABES四边形ABCD 第2题图 第4题图 第7题图 第8题图 第6题图 第9题图 第10题图 二、填空题： 11、三角形的三边长分别为3，5，x，化简式子|x﹣2|+|x﹣9|＝　 　 ． 12、在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接CE，BD＝ED，AD＝CD，∠DCE＝22°，则∠B的度数为 　 　 ． 13、如图，△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝5cm，△ABC的周长为30cm，则△ABD的周长是 　 ． 14、如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，若S△ABC＝9，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，则S1﹣S2的值是 　 　 ． 15、如图，在△ABC中，已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积等于8cm2，则阴影部分面积为 　 ． 16、如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，则∠A的度数为 　 　 ．（用m，n表示） 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 三、解答题： 17、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若∠CAD＝20°， 第16题图 ∠B＝50°，求∠AEC的度数． 18、如图，在△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，AB＝7，AC＝5． （1）若AD为△ABC的角平分线，则DE与DF满足数量关系为 　 　； （2）若AD为△ABC的中线，说明DE与DF满足的数量关系并证明． 19、如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M． （1）求证：EC＝BF； （2）求证：EC⊥BF． 20、如图，已知AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从点B向点A运动，每分钟走1m，点Q从点B向点D运动，每分钟走2m．若P，Q两点同时出发，运动几分钟后，△CAP与△PQB全等？ 21、阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p，那么这个三角形的面积为S．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”． 完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6． （1）求△ABC的面积； （2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求线段CD的长． 22、已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线． （1）求证：∠AFC＝120°； （2）若AD＝6，CE＝4，求AC的长？ 23、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”． 如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C． （1）∠ABO的度数为 　 　 °，△AOB　 　 （填“是”或“不是”）智慧三角形； （2）若∠ACB＝80°，求证：△AOC为“智慧三角形”； （3）当△ABC为“智慧三角形”时，请直接写出∠OAC的度数． 24、（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是 　 　 （直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点， 且∠EAF是∠BAD的二分之一，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，计算三角形DEF的周长并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $