专题四 二次函数的图像与字母系数之间的关系（知识点梳理+题型解析+强化拓展）2025－2026学年人教版数学九年级上册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题四 二次函数的图像与字母系数之间的关系（知识点梳理+题型解析+强化拓展） 第一部分：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系： a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小. a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边． c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 看懂了表格，我们来深入了解一下这些系数是如何影响图像的。 系数 a 的影响 系数 a 是二次项系数，它决定了抛物线的开口方向和开口大小 开口方向： 当 a>0 时，抛物线开口向上，图像有最低点（顶点），函数在顶点处取得最小值 当 a<0 时，抛物线开口向下，图像有最高点（顶点），函数在顶点处取得最大值 开口大小： ∣a∣ 的大小控制着抛物线的“胖瘦”。∣a∣越大，抛物线开口越小（越窄越陡）；∣a∣越小，抛物线开口越大（越宽越平缓） 系数 b 的影响及“左同右异” 系数 b 是一次项系数，它需要和 a 结合起来看，主要影响对称轴 x=- 的位置 “左同右异” 这个口诀能帮你快速记忆对称轴与系数符号的关系 ： 对称轴在 y 轴左侧→ a 与 b同号（即 ab>0，可能同为正或同为负） 对称轴在 y 轴右侧→ a 与 b异号（即 ab<0，一正一负） 对称轴就是 y 轴→ b=0 系数 c 的影响 系数 c 是常数项，它直接决定了抛物线与 y 轴交点的纵坐标，即抛物线与 y 轴交于点 (0,c) c>0：交点在 y 轴的正半轴上 c<0：交点在 y 轴的负半轴上 c=0：抛物线经过原点​（0, 0） 判别式 Δ 的作用 判别式 Δ=b2−4ac 决定了二次函数图像与 x 轴公共点的个数 Δ>0：与 x 轴有两个交点，对应方程有两个不等实根 Δ=0：与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴上），对应方程有两个相等实根 Δ<0：与 x 轴没有交点，对应方程无实根 其他实用技巧 除了系数的直接影响，观察一些特殊点也能帮你判断图像： 当 x=1 时，y=a+b+c。观察图像上横坐标为 1 的点的位置，可判断 a+b+c 的符号 当 x=−1 时，y=a−b+c。观察图像上横坐标为 -1 的点的位置，可判断 a−b+c 的符号 对于只含有字母a、c或b、c的式子要判断它的符号需要结合对称轴与这些特殊点综合解决。 第二部分： 常见题型及解题方法 题型特点：给定二次函数图象，判断诸如 abc、a+b+c、a-b+c 等式子的符号。 解题方法： 看开口定 a：开口向上 → a > 0；开口向下 → a < 0 看对称轴定 b (结合 a)：利用“左同右异”口诀。对称轴在 y 轴左侧 → a, b同号；在右侧 → a, b异号 看与y轴交点定 c：交于 y 轴正半轴 → c > 0；负半轴 → c < 0；过原点 → c = 0 看特殊点函数值： x=1 时，y = a+b+c。看点 (1, y) 在 x 轴上方还是下方 x=-1 时，y = a-b+c。看点 (-1, y) 的位置 x=2 时，y=4a+2b+c；x=-2 时，y=4a-2b+c 例1．如图是二次函数的大致图象，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】．二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 。 题型特点：给定图象，比较函数值 y1 和 y2 的大小， 解题方法： 利用距离对称轴的远近（开口方向明确时）： 若抛物线开口向上，点离对称轴越远，函数值越大。 若抛物线开口向下，点离对称轴越远，函数值越小 利用增减性：需先确定对称轴，判断点是在对称轴左侧还是右侧，根据增减性判断 例2．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．二次函数的图象如图所示，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-2】．已知二次函数（，是常数，）的图象经过点，，则下列判断正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式2-3】．已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，下面说法不正确的是（   ） A．若是函数图象上的两点，则 B．若时，则随的增大而减小 C．若图象经过点，则 D．若图象上两点对一切正数，总有，则 题型特点：给定图象，已知函数值大小关系求自变量的范围 解题方法：同题型2 例3．已知二次函数在时，函数有最大值1，则a的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-1】．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值为（　　） A．﹣1或1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3或﹣3 【变式3-2】．当时，函数有最小值2，求所有可能取的值有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】．已知关于x的二次函数y=（x-h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（    ） A． B．或2 C．或6 D．或2或6 题型特点：题目中出现如 2a+b、2a-b、b²-4ac 与 0 或其他表达式比较。 解题方法： b²-4ac 相关：直接联系判别式 Δ，看图象与 x 轴交点个数 2a+b, 2a-b 等：常与对称轴 x = - 联系。例如，对称轴 x=1 时，--=1 → 2a+b=0 其他复杂式子：常需整体代入特定点的坐标或结合对称轴表达式进行消元求解 例4．抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【变式4-1】．已知是方程的两个实数根，试求的最小值． 【答案】 【变式4-2】．已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A． (1)若时，求m的值． (2)求m与k的关系式． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 【变式4-3】．如图，抛物线（为常数且）与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由． (3)当时，有最大值，求的值． 题型特点：由图象判断方程 ax²+bx+c=k 的根的情况或解不等式。 解题方法： 方程根的情况：看作函数 y=ax²+bx+c 与直线 y=k 的交点问题。看两图象的交点个数 解不等式、：看函数图象在 x 轴上方或下方的区间 例5．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】．已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 【变式5-2】．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点，以下说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则，其中说法正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型特点：一个函数图象下，给出多个关于系数的结论，要求选择正确的组合。 解题方法： 逐一判断：综合运用上述方法对每个结论进行推理判断。 谨慎验证：注意特殊点代入和对称轴公式的灵活运用。 反向排除：有时找出一个明显错误结论可帮助快速排除选项 例6．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【变式6-1】．如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式6-2】．抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有 ． 【变式6-3】．二次函数的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： (1)直接写出该二次函数的解析式为 ___________； (2)不等式 的解集是 ___________； (3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 ___________； (4)若关于x的方程有两个不相等的实根，则k的取值范围是 ___________． 第三部分：强化拓展 1．已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是( ) A.   B.   C.   D.   2．关于x的二次函数，当时，函数有最小值4，则h的值为( ) A.0或2 B.2或4 C.0或4 D.0或2或4 3．如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有( ) ①；②；③；④. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为_____. 5．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（m为实数）.其中结论正确的是__.（填序号） 6．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论： ①； ②； ③若，则时的函数值小于时的函数值； ④点一定在此抛物线上. 其中正确的结论是_________.（填序号） 7．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 解答下列问题： （1）关于x的方程的根是___________； （2）当时，x的取值范围是___________. 8．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出关于x的一元二次方程的两个根. （2）写出关于x的不等式的解集. （3）写出关于x的一元二次方程的根的情况. 9．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与二次函数的图象交于点，. （1）求一次函数解析式； （2）若抛物线与x轴存在交点，且当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，请直接写出n的值. 10．已知二次函数 (1)当时 ①求二次函数与坐标轴的交点坐标. ②若点,是二次函数图象上的点,且,求的最小值. (2)若点和在二次函数图象上,且点C在对称轴的左侧,求证：. 题型3 比较自变量大小 题型4 根据待定等式或不等式求值判断 题型5 与方程不等式结合 题型6 多结论判断问题 题型1 判断系数符号及组合正负 题型2 判断函数值大小 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题四二次函数的图像与字母系数之间的关系(知识点梳理+题型解析+强化拓展)(解析版) 第一部分：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系： a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小. a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边． c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 看懂了表格，我们来深入了解一下这些系数是如何影响图像的。 系数 a 的影响 系数 a 是二次项系数，它决定了抛物线的开口方向和开口大小 开口方向： 当 a>0 时，抛物线开口向上，图像有最低点（顶点），函数在顶点处取得最小值 当 a<0 时，抛物线开口向下，图像有最高点（顶点），函数在顶点处取得最大值 开口大小： ∣a∣ 的大小控制着抛物线的“胖瘦”。∣a∣越大，抛物线开口越小（越窄越陡）；∣a∣越小，抛物线开口越大（越宽越平缓） 系数 b 的影响及“左同右异” 系数 b 是一次项系数，它需要和 a 结合起来看，主要影响对称轴 x=- 的位置 “左同右异” 这个口诀能帮你快速记忆对称轴与系数符号的关系 ： 对称轴在 y 轴左侧→ a 与 b同号（即 ab>0，可能同为正或同为负） 对称轴在 y 轴右侧→ a 与 b异号（即 ab<0，一正一负） 对称轴就是 y 轴→ b=0 系数 c 的影响 系数 c 是常数项，它直接决定了抛物线与 y 轴交点的纵坐标，即抛物线与 y 轴交于点 (0,c) c>0：交点在 y 轴的正半轴上 c<0：交点在 y 轴的负半轴上 c=0：抛物线经过原点​（0, 0） 判别式 Δ 的作用 判别式 Δ=b2−4ac 决定了二次函数图像与 x 轴公共点的个数 Δ>0：与 x 轴有两个交点，对应方程有两个不等实根 Δ=0：与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴上），对应方程有两个相等实根 Δ<0：与 x 轴没有交点，对应方程无实根 其他实用技巧 除了系数的直接影响，观察一些特殊点也能帮你判断图像： 当 x=1 时，y=a+b+c。观察图像上横坐标为 1 的点的位置，可判断 a+b+c 的符号 当 x=−1 时，y=a−b+c。观察图像上横坐标为 -1 的点的位置，可判断 a−b+c 的符号 对于只含有字母ac或bc的式子要判断它的符号需要结合对称轴与这些特殊点综合解决。 第二部分： 常见题型及解题方法 题型特点：给定二次函数图象，判断诸如 abc、a+b+c、a-b+c 等式子的符号。 解题方法： 看开口定 a：开口向上 → a > 0；开口向下 → a < 0 看对称轴定 b (结合 a)：利用“左同右异”口诀。对称轴在 y 轴左侧 → a, b同号；在右侧 → a, b异号 看与y轴交点定 c：交于 y 轴正半轴 → c > 0；负半轴 → c < 0；过原点 → c = 0 看特殊点函数值： x=1 时，y = a+b+c。看点 (1, y) 在 x 轴上方还是下方 x=-1 时，y = a-b+c。看点 (-1, y) 的位置 x=2 时，y=4a+2b+c；x=-2 时，y=4a-2b+c 例1．如图是二次函数的大致图象，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是根据已知二次函数的图象判断系数、的符号．根据二次函数的图象开口方向、对称轴可以判断、的正负情况，从而可以判断一次函数的图象． 【详解】解：由二次函数的图象可知， ，， ， ， 一次函数的图象在第一、二、四象限． 故选：D． 【变式1-1】．已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据图象过得出a，b的关系是解决问题的关键． 【详解】解：将点代入二次函数， 得， ， 二次函数的顶点坐标为，其中， 又二次函数的顶点在第三象限， ，， 代入，得，， 解得， 的取值范围是． 故选：A． 【变式1-2】．若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据题意，得，得故，根据顶点在第四象限，确定b的范围，解答即可． 本题考查了抛物线性质，图象过点，顶点与象限，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 故即， 设， 则， 又 且图象的顶点在第四象限， 故， 若，则故即， 此时，顶点不能落在第四象限，不符合题意，舍去， 故， 故，，， 故， 故， 故， 故选：B． 【变式1-3】．二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，数形结合是解题的关键． 根据抛物线的开口向上得，根据抛物线与y轴交于负半轴得即可求解． 【详解】∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴． 故选：B． 。 题型特点：给定图象，比较函数值 y1 和 y2 的大小， 解题方法： 利用距离对称轴的远近（开口方向明确时）： 若抛物线开口向上，点离对称轴越远，函数值越大。 若抛物线开口向下，点离对称轴越远，函数值越小 利用增减性：需先确定对称轴，判断点是在对称轴左侧还是右侧，根据增减性判断 例2．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2-1】．二次函数的图象如图所示，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，由图象可知抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，据此即可解答． 【详解】解：由图象可得，抛物线的开口向上，对称轴为， ∵，，且， ∴点比离对称轴更远， ∴． 故选：A 【变式2-2】．已知二次函数（，是常数，）的图象经过点，，则下列判断正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数点的坐标特征，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，先求得，再根据各选项求解即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ，， ， A、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意； B、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意； C、若，，则，则，原说法正确，故本选项符合题意； D、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】．已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，下面说法不正确的是（   ） A．若是函数图象上的两点，则 B．若时，则随的增大而减小 C．若图象经过点，则 D．若图象上两点对一切正数，总有，则 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、解不等式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．先判断函数的开口方向和对称轴位置，结合二次函数的性质，可判断B；可判断点离对称轴近些，判断A；将代入，可得，根据的范围，可解得的范围；根据二次函数的性质，可知需大于等于对称轴的横坐标，从而可以解答本题． 【详解】解：A．， 对称轴为直线， ， ． 又∵当时，y随x的增大而增大， ∴，即抛物线开口向下， ，是函数图象上的两点， 点离对称轴近些， ，故此选项正确，不符合题意． B．抛物线开口向下，对称轴为直线，而， 时，随的增大而减小， 当时，则随的增大而减小，故此选项正确，不符合题意． C．图象经过点， ，即， ， ， ， ， ，故此选项正确，不符合题意． D．抛物线开口向下，对称轴为直线，而， 时，随的增大而减小， 函数图象上两点，对一切正数，总有，， ， ，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 题型特点：给定图象，已知函数值大小关系求自变量的范围 解题方法：同题型2 例3．已知二次函数在时，函数有最大值1，则a的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先求出二次函数的对称轴，将代入函数求出对应的x值，分情况讨论即可； 【详解】解：二次函数的对称轴为， 将代入得， 解得：， 当时，在取得最大值，． 当时，在取得最大值，． ∴或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【变式3-1】．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值为（　　） A．﹣1或1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3或﹣3 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【详解】分析： 详解：∵当a≤x≤a＋2时，函数有最大值1，∴1＝x2－2x－2,解得： ， 即-1≤x≤3, ∴a=-1或a+2=-1, ∴a=-1或1，故选A. 点睛：本题考查了求二次函数的最大(小)值的方法，注意：只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值，而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值. 【变式3-2】．当时，函数有最小值2，求所有可能取的值有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】此题主要考查了函数最值求法，根据已知利用a的取值范围进行分析得出是解题关键．根据当时以及当时、当时，函数最小值2，分别求出的值即可． 【详解】解：图象的对称轴为，开口向上， 当时，函数在处取得最小值2，故解得或； 当时，当时，随的增大而增大，此时函数在处取得最小值2，代入函数式，解得，不合题意，此时； 当时，当时，随的增大而减小，此时函数在处取得最小值2，代入函数式，解得或（不合题意舍去）； 故所有可能取值为； 答案为：D． 【变式3-3】．已知关于x的二次函数y=（x-h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（    ） A． B．或2 C．或6 D．或2或6 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h＜1、h＞3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方程，解之可得． 【详解】∵中a=1＞0， ∴当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大； ①若1≤h≤3， 则当x=h时，函数取得最小值2h，即3=2h， 解得：h= ； ②若h＜1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h， 即， 解得：h=2＞1（舍去）； ③若h＞3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h， 即， 解得：h=2（舍）或h=6， 综上，h的值为或6， 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键． 题型特点：题目中出现如 2a+b、2a-b、b²-4ac 与 0 或其他表达式比较。 解题方法： b²-4ac 相关：直接联系判别式 Δ，看图象与 x 轴交点个数 2a+b, 2a-b 等：常与对称轴 x = - 联系。例如，对称轴 x=1 时，--=1 → 2a+b=0 其他复杂式子：常需整体代入特定点的坐标或结合对称轴表达式进行消元求解 例4．抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)函数值 (3)函数值与解析式中的系数c有关，理由见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，x的取值范围为或； （2）根据已知条件得到点M与点N关于直线对称，求得，当时，函数的值； （3）由点，得到两点关于对称轴直线对称，求得，当时，代入解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，x的取值范围为或； （2）解：∵， ∴点M与点N关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：当时，函数的值； （3）解：函数值与解析式中的系数c有关， 理由：∵两点， ∴这两点关于对称轴直线对称， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， 即函数值与解析式中的系数c有关． 【变式4-1】．已知是方程的两个实数根，试求的最小值． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、利用二次函数的性质求最值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据方程两个实数根，则利用根的判别式可得出关于k的一元一次不等式，然后求得k的取值范围；由题得，，进而得到，推出当时，有最小值，最小值为即可解答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，解得：， ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， ， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，函数值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为． 【变式4-2】．已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A． (1)若时，求m的值． (2)求m与k的关系式． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 【答案】(1)0或3 (2) (3) 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论的数学思想的运用是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）求得平移后的函数解析式，根据题意得到，消去a即可求得； （3）根据对称轴直线，分对称轴在区间左侧、右侧、区间内三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得或， 故m的值为0或3． （2）解：抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（）后得到抛物线的解析式为， ∵平移后的图象也经过点， ∴， 消去a，得； （3）解：对称轴为直线． ①当时， 当时，y取最大值， 当时，代入得y取最小值， 所以， 解得（舍去）． ②当时， ．当时， 当 时，代入得y取到最大值， 当时，代入得y取到最小值， 所以，符合题意． ．当时， 当时，y取到最大值， 当时，y取到最小值 所以 解得（均舍去）． 综上所述，． 由，得． 【变式4-3】．如图，抛物线（为常数且）与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由． (3)当时，有最大值，求的值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为； (2)直线与抛物线有两个交点，理由见解析； (3)的值为或． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根的判别式，二次函数的最大值． （1）把点的坐标代入，可得，从而可得抛物线的解析式； （2）联立直线和抛物线的方程，由根的判别式判断方程的解的个数，从而可得交点的个数； （3）根据与对称轴的关系，进行分类讨论，根据取最大值的情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：直线与抛物线有两个交点，理由： 由得， 整理得， ∴， ∴方程两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个交点． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 根据题意可得或， 解得或， ∴的值为或． 题型特点：由图象判断方程 ax²+bx+c=k 的根的情况或解不等式。 解题方法： 方程根的情况：看作函数 y=ax²+bx+c 与直线 y=k 的交点问题。看两图象的交点个数 解不等式、：看函数图象在 x 轴上方或下方的区间 例5．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可． 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故①正确； 根据抛物线的图象得，直线与抛物线的交点在第一象限， ∴， ∴, 故②正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故的两个根分别是， 故多项式可因式分解为， 故③不正确； 根据题意，得，即， 根据题意，当时，抛物线有最大值，且为， 故当时，在抛物线顶点的上方， 故关于的方程无实数根． 故④正确； 故选：C． 【变式5-1】．已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键． 根据抛物线图象开口方向判断，根据对称轴为，得到，，根据图象可知抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据可得，即有，可判断③；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断④． 【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即， 对称轴为， ， 且， 抛物线与轴交于正半轴， ， 故①错误，②正确； ③， ， 故③正确； ④抛物线的对称轴为， 当时，函数的最大值，且为， （为任意实数） （为任意实数）， 故④正确； 综上所述，正确的是②③④， 故选：D． 【变式5-2】．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，，即可判断①；由题意可得抛物线的对称轴为直线，从而由对称性可得抛物线经过点，即可判断②；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③；由抛物线的对称性可得点关于对称轴对称的点为，即可判断④；熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线图象开口向下， ∴， ∵抛物线图象交轴于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线经过点， ∴点关于对称轴对称的点为， ∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：C． 【变式5-3】．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点，以下说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则，其中说法正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向可判断a的正负，根据抛物线与y轴的交点可判断c的正负，根据抛物线的对称轴并结合a可判断b的正负，进而可判断①；根据抛物线的对称轴，时，，当时，y的正负，进一步即可判断②③；根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点是，再根据抛物线的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①知：， ∵二次函数图象的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， ∴当时，，故②错误； 当时，，把代入，得，故③正确； ∵二次函数图象的对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点是， 由题意知当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴，故④正确． 综上，说法正确的是：①③④． 故选：C． 题型特点：一个函数图象下，给出多个关于系数的结论，要求选择正确的组合。 解题方法： 逐一判断：综合运用上述方法对每个结论进行推理判断。 谨慎验证：注意特殊点代入和对称轴公式的灵活运用。 反向排除：有时找出一个明显错误结论可帮助快速排除选项 例6．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 【变式6-1】．如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值较大． 找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可． 【详解】解：由图象交点可得，当时，， 故答案为：． 【变式6-2】．抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标得出，再观察函数，得出，整理得，故，观察函数图象，当时，则，得，又因为，，故，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出函数的开口向上， 故， 函数与轴交于负半轴， ∴， 函数的对称轴位于轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故①是正确的； 图象对称轴为直线，观察函数，得出 ∵， ∴， ∴， 故③是正确的； 观察函数图象，当时，则， 即， ∴， 故④是错误的； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故②是正确的； 故答案为：①②③ 【变式6-3】．二次函数的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： (1)直接写出该二次函数的解析式为 ___________； (2)不等式 的解集是 ___________； (3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 ___________； (4)若关于x的方程有两个不相等的实根，则k的取值范围是 ___________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）设抛物线交点式，将代入解析式求解． （2）根据抛物线与x轴交点坐标及开口方向判断． （3）由抛物线与x轴交点坐标可得抛物线对称轴为直线，然后根据开口方向进行判断． （4）将抛物线解析式化为顶点式求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 故答案为：． （2）解：由图象可得或时，， 故答案为：或． （3）解：∵图象经过，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴时，y随x的增大而减小， 故答案为：． （4）解：∵， ∴， ∴时，有两个不相等的实根， 故答案为：． 第三部分：强化拓展 1．已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是( ) A.   B.   C.   D.   答案：D 解析：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和C选项； B选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选：D. 2．关于x的二次函数，当时，函数有最小值4，则h的值为( ) A.0或2 B.2或4 C.0或4 D.0或2或4 答案：C 解析：二次函数，其中， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ①当时，时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； ②当时，时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； ∴或4， 故选：C. 3．如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有( ) ①；②；③；④. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：B 解析：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号，即， ∵函数图像与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵抛物线对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； 当时，，故④正确； 综上，正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B. 4．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为_____. 答案：4 解析：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，且与对称轴的距离越大，函数值越小， 当时，，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∴，， 解得或（舍去）， ∴的值为4； 当时，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∴，， 解得，，， ∴都不符合题意，舍去； 当时，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， 解得，，，， ∴都不符合题意，舍去； 当，时，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∴，， 解得，，不符合题意， 故答案为：4. 5．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（m为实数）.其中结论正确的是__.（填序号） 答案：①③④ 解析：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∴， 故①正确； ∵当时，， 结合抛物线的图象，得， 故②错误； ∵， ∵对称轴为 ∴， 代入可得到， ③正确； 根据题意，得时，函数取得最小值，且为， 当时，函数值为， 由此得到，整理得， 故④正确. 故答案为：①③④. 6．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论： ①； ②； ③若，则时的函数值小于时的函数值； ④点一定在此抛物线上. 其中正确的结论是_________.（填序号） 答案：①②④ 解析：由题图可得，，.对称轴为直线， ，，，故①正确. 抛物线经过点，根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 当时，y随x的增大而减小，当时，，，故②正确. 抛物线开口向下，对称轴为直线， 横坐标是的点的对称点的横坐标为.，，时的函数值大于时的函数值， 时的函数值大于时的函数值， 故③错误. ，抛物线经过点， ，即，.抛物线过点， 点一定在此抛物线上， 故④正确. 故答案为①②④. 7．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 解答下列问题： （1）关于x的方程的根是___________； （2）当时，x的取值范围是___________. 答案：（1）或3 （2） 解析：（1）由，得， 结合表格可知抛物线与直线的交点为和， 且直线与抛物线最多有两个交点， 方程的根是或3.故答案为或3. （2）根据表格可知抛物线的对称轴是直线， 当时，函数值y随着x的增大而增大， 抛物线开口向下. 令，解得， 可知当和时，.当时，. 故答案为. 8．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出关于x的一元二次方程的两个根. （2）写出关于x的不等式的解集. （3）写出关于x的一元二次方程的根的情况. 答案：（1）， （2） （3） 解析：（1）由图象可得的图象与x轴的交点坐标为，， 故关于x的方程的两个根为，. （2）由图象可知，关于x的不等式的解集为. （3）由图象可知，关于x的方程根的情况， 可以看成抛物线向下平移2个单位后与x轴的交点情况. 将抛物线向下平移2个单位后所得抛物线与x轴只有一个交点， 所以关于x的方程有两个相等的实数根，即. 9．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与二次函数的图象交于点，. （1）求一次函数解析式； （2）若抛物线与x轴存在交点，且当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，请直接写出n的值. 答案：（1） （2） 解析：（1）把，代入，得解得 一次函数解析式为. （2）. 把代入，得， 解得，则. 抛物线与x轴存在交点，且当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值， . 10．已知二次函数 (1)当时 ①求二次函数与坐标轴的交点坐标. ②若点,是二次函数图象上的点,且,求的最小值. (2)若点和在二次函数图象上,且点C在对称轴的左侧,求证：. 答案：(1)①,；；②的最小值为 (2)见解析 解析：(1)①当时,, 当时,有, 解得,, 二次函数图象与x轴的交点坐标为,； 当时,有, 二次函数图象与y轴的交点坐标为； ②点,是二次函数图象上的点,且, , ,, , , 的最小值为； (2)证明：二次函数, 二次函数对称轴为直线, 点C在对称轴的左侧, ,即, 点和在二次函数图象上, , , , , , , . 题型6 多结论判断问题 题型2 判断函数值大小 题型3 比较自变量大小 题型4 根据待定等式或不等式求值判断 题型1 判断系数符号及组合正负 题型5 与方程不等式结合 学科网（北京）股份有限公司 $