吉林省白城市实验高级中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题

白城实验高中高二年级开学考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品．以上四个事件中随机事件的个数是(　　) A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 2.已知函数f(x)＝， 若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　) A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 3.在复平面内，复数＋i的共轭复数对应的点位于(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ） A. 17 B. 20 C. 34 D. 48 6.若＝，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. R 7.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A. (－7，－4) B. (7，4) C. (－1，4) D. (1，4) 8.若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2，腰长为的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是(    ) A. B. C. 2 D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.给出的下列四个命题中正确的有(　　) A. 75°角是第一象限角 B. 225°角是第三象限角 C. 475°角是第二象限角 D. －325°角是第四象限角 10.2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（ ） A. 极差为8 B. 平均数为24 C. 80%分位数为25 D. 众数为24 11.给出下列四个命题是真命题的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 关于的不等式在上恒成立的充要条件是 C. 函数的图像可由的图像向右平移个单位得到 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则      ，      (答案用含，的式子表示)． 13.设的共轭复数是,若, ,则等于          . 14.在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知. （1）化简函数并计算的值； （2）若，.且，，求的值； （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 16.集合A，B与对应关系f如下图所示： f：A→B是否为从集合A 到集合B的函数? 如果是，那么定义域、值域各是什么? 17.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝CD＝a，AD＝BC＝2a，∠BAD＝60°，将三角形ABD沿BD折起，问：当折到点A与点C的距离为多大时，才有AB⊥平面BCD? 18.某公司销售部有销售人员15人,为制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售量如下: (1)求这15名销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数; (2)假设销售部负责人把每名销售人员的月销售定额定为320件,你认为是否合理,为什么?如不合理,请你制定一个较合理的月销售定额. 19.已知命题p:∀x∈R,(x-2)2-1>a,其中a∈R,命题q:∃x∈R,x2-4x-a=0.命题p是真命题,且命题q的否定是真命题,求a的取值范围. 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城实验高中高二年级开学考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品．以上四个事件中随机事件的个数是(　　) A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件，在这个试验中：至少有1件产品是正品为必然事件；至少有3件次品，有2件次品、4件正品为随机事件；6件都是次品为不可能事件，所以随机事件的个数是2. 2.已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　) A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 【答案】C 【解析】画出函数f(x)的图象，如图所示． 不妨设a<b<c，因为f(a)＝f(b)＝f(c)， 由图可知0<a<1<b， 所以－lg a＝lg b， 所以ab＝1，c的取值范围是(10,12)，所以abc的取值范围是(10,12)． 3.在复平面内，复数＋i的共轭复数对应的点位于(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】z的共轭复数＝－i，对应的点为，位于第四象限． 4.已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】联立解得或 所以M∩N=， 因此M∩N中的元素个数为2. 5.已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ） A. 17 B. 20 C. 34 D. 48 【答案】C 【解析】设圆的圆心为，连接，，. 作，，垂足分别为，，则，分别是，中点. 由勾股定理得，. . 则. 当，反向时取等号. 所以的最大值是. 故选：C. 6.若＝，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. R 【答案】B 【解析】∵＝＝， ∴|2a－1|＝1－2a， 则2a－1≤0，解得a≤. 7.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A. (－7，－4) B. (7，4) C. (－1，4) D. (1，4) 【答案】A 【解析】设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则＝(－7，－4). 8.若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2，腰长为的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是(    ) A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】由题意，圆锥的底面半径为r＝1，母线长为l＝π， 设侧面展开图的圆心角为α，则αl＝2πr，可得α＝2． 故选：C． 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.给出的下列四个命题中正确的有(　　) A. 75°角是第一象限角 B. 225°角是第三象限角 C. 475°角是第二象限角 D. －325°角是第四象限角 【答案】ABC 【解析】0°＜75°＜90°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－325°＜－270°，故A、B、C均正确． 10.2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（ ） A. 极差为8 B. 平均数为24 C. 80%分位数为25 D. 众数为24 【答案】ABD 【解析】极差为，故A正确； 平均数，故B正确； ，则80%分位数是第5个数据26，故C错误； 众数为24，故D正确． 故选：ABD． 11.给出下列四个命题是真命题的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 关于的不等式在上恒成立的充要条件是 C. 函数的图像可由的图像向右平移个单位得到 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】对A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以它们不表示同一函数，故A错误； 对B，关于的不等式在上恒成立，则，解得， 关于的不等式在上恒成立的充要条件是，故B正确； 对C，函数的图像可由的图像向右平移个单位得到，故C正确； 对D,若函数的定义域为，则，解得， 所以函数的定义域为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则      ，      (答案用含，的式子表示)． 【答案】　　　 【解析】由题； 设， 因为, 因为三点共线， 所以， 所以. 故答案为：；. 13.设的共轭复数是,若, ,则等于          . 【答案】 【解析】解析：设,因为,所以, 又因为,所以, 所以.所以, 即,故. 14.在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________． 【答案】 【解析】根据题意，在正△ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD与BC垂直，则有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为5×sin 60°＝. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知. （1）化简函数并计算的值； （2）若，.且，，求的值； （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 【答案】解：（1）；；；；；. 则. 所以. （2）由，可得；由，可得. 则. 因为，，所以， 又，所以. 则，所以. （3）. 因为，所以，，则. 又，即，所以. 由正弦定理，可得. 根据余弦定理，移项得. 再由余弦定理. 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 16.集合A，B与对应关系f如下图所示： f：A→B是否为从集合A 到集合B的函数? 如果是，那么定义域、值域各是什么? 【答案】解　是.定义域为{1,2,3,4,5}, 值域为{2,3,4,5}. 17.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝CD＝a，AD＝BC＝2a，∠BAD＝60°，将三角形ABD沿BD折起，问：当折到点A与点C的距离为多大时，才有AB⊥平面BCD? 【答案】解　作BE⊥AD(图略)，由AB＝a，AD＝2a，∠BAD＝60°，可得AE＝a，BE＝a，DE＝a，故BD＝a，∴BD2＋AB2＝AD2，即AB⊥BD，在折起的过程中，AB⊥BD保持不变．若使折起后有AB⊥平面BCD，则应有AB⊥BC，此时，在Rt△ABC中，AB＝a，BC＝2a，所以AC＝a.即当折到点A与点C的距离为a时，才有AB⊥平面BCD. 18.某公司销售部有销售人员15人,为制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售量如下: (1)求这15名销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数; (2)假设销售部负责人把每名销售人员的月销售定额定为320件,你认为是否合理,为什么?如不合理,请你制定一个较合理的月销售定额. 【答案】解 (1)平均数×(1800×1+510×1+250×3+210×5+150×3+120×2)=320, 中位数为210,众数为210. (2)不合理,因为15人中就有13人的销售量达不到320件,也就是说320虽是这一组数据的平均数但它却不能反映销售人员的一般水平.月销售定额定为210件要合理些.因为210既是中位数,又是众数,是大部分人都能达到的销售量. 19.已知命题p:∀x∈R,(x-2)2-1>a,其中a∈R,命题q:∃x∈R,x2-4x-a=0.命题p是真命题,且命题q的否定是真命题,求a的取值范围. 【答案】解　当x∈R时,(x-2)2-1的最小值为-1,所以由命题p是真命题,可得a<-1.命题q的否定:∀x∈R,x2-4x-a≠0.因为命题q的否定是真命题,所以Δ=16+4a<0,解得a<-4.综上所述,所求a的取值范围是a<-4. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $