吉林省白城市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

白城一中2025级高二开学考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减震效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝2sin(ωt＋φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(－2<s0<2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3－t1＝2，则ω等于(　　) A. B. π C. D. 2π 2.若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3.下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A. p：ab≠0，q：a≠0 B. p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C. p：x2>1，q：x>1 D. p：a>b，q：> 4.已知α满足sin α>0，tan α<0，化简表达式cos α－为(　　) A. 1－2sin α＋cos α B. －1－cos α C. 2sin α－cos α－1 D. cos α－1 5.下列哪些数据一般是通过试验获取的(　　) A. 1988年济南市的降雨量 B. 2019年新生儿人口数量 C. 某学校高一年级同学的数学测试成绩 D. 某种特效中成药的配方 6.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　) A. y＝ax＋b B. y＝ax2＋bx＋c C. y＝aex＋b D. y＝aln x＋b 7.下列说法不正确的是(    ) A. 圆柱的每个轴截面都是全等的矩形 B. 棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C. 棱台的侧面是梯形 D. 用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 8.当1≤x≤2时，不等式x2＋ax－5>0有解，则a的取值范围是(　　) A. {a|a<}   B. {a|a>} C. {a|a<4} D. {a|a>4} 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.下列命题中，正确的是(　　) A. 幂函数y＝x－1是奇函数 B. 幂函数y＝x2是偶函数 C. 幂函数y＝x既是奇函数又是偶函数 D. y＝既不是奇函数，又不是偶函数 10.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 11.如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为          ；总样本的方差为          . 13.已知向量共线，且，则      ． 14.下列函数表达式中，对数函数的个数有          .①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数在处取得最值，其中． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求． 16.某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图． (1)根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位； (2)已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差． 17.某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设. （1）试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （2）根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值. 18.（1）计算：； （2）已知：，求. 19.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上，． （1）求，，； （2）请用描述法写出满足方程的解集； （3）解不等式； 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城一中2025级高三开学考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减震效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝2sin(ωt＋φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(－2<s0<2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3－t1＝2，则ω等于(　　) A. B. π C. D. 2π 【答案】B 【解析】由正弦型函数的性质得到函数图象，如图， 所以T＝t3－t1＝2，则＝2，可得ω＝π. 2.若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】已知扇形半径，圆心角. 根据扇形面积公式. 代入数据可得. 故选：C. 3.下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A. p：ab≠0，q：a≠0 B. p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C. p：x2>1，q：x>1 D. p：a>b，q：> 【答案】A 【解析】根据充分条件的概念逐一判断． A项，∵ab≠0，∴ a≠0且b≠0，∴ p是q的充分条件； B项，当a=-1，b=-2时，满足a2＋b2≥0，但不满足a≥0且b≥0, ∴ p不是q的充分条件； C项，当x=-2时，满足x2>1，但不满足x>1，∴ p不是q的充分条件； D项，当a=-1，b=-2时，满足a>b，但>无意义，∴ p不是q的充分条件. 4.已知α满足sin α>0，tan α<0，化简表达式cos α－为(　　) A. 1－2sin α＋cos α B. －1－cos α C. 2sin α－cos α－1 D. cos α－1 【答案】D 【解析】因为α满足sin α>0，tan α<0，所以α为第二象限角， 所以cos α<0， 所以cos α－＝cos α－|sin α－cos α| ＝－(1－sin α)－(sin α－cos α)＝cos α－1. 5.下列哪些数据一般是通过试验获取的(　　) A. 1988年济南市的降雨量 B. 2019年新生儿人口数量 C. 某学校高一年级同学的数学测试成绩 D. 某种特效中成药的配方 【答案】D 【解析】某种特效中成药的配方的数据一般通过试验获得． 6.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　) A. y＝ax＋b B. y＝ax2＋bx＋c C. y＝aex＋b D. y＝aln x＋b 【答案】B 【解析】从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，所以该函数模型是二次函数． 7.下列说法不正确的是(    ) A. 圆柱的每个轴截面都是全等的矩形 B. 棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C. 棱台的侧面是梯形 D. 用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 【答案】B 【解析】A：圆柱的每个轴截面都是全等的矩形，故A正确； B：正四棱柱的相对侧面也互相平行，故B错误； C：棱台的侧面是梯形，故C正确； D：用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故D正确. 故选：B. 8.当1≤x≤2时，不等式x2＋ax－5>0有解，则a的取值范围是(　　) A. {a|a<}   B. {a|a>} C. {a|a<4} D. {a|a>4} 【答案】B 【解析】因为1≤x≤2，所以不等式x2＋ax－5>0可化为a>－x＋，因为y＝－x＋为减函数，所以当x＝2时，－x＋有最小值，所以a的取值范围是a>.故选B. 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.下列命题中，正确的是(　　) A. 幂函数y＝x－1是奇函数 B. 幂函数y＝x2是偶函数 C. 幂函数y＝x既是奇函数又是偶函数 D. y＝既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】ABD 【解析】因为x－1＝，＝－，所以A正确；(－x)2＝x2，所以B正确；－x＝x不恒成立，所以C不正确；y＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以D正确． 10.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】画出树状图，结合图形 结合树状图可知：， 对于选项A：可知，故A正确； 对于选项B： 均有，故B正确； 对于选项C：因为，不经过数字5的路线有9条，所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以，故D错误. 故选：ABC. 11.如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为          ；总样本的方差为          . 【答案】54　 【解析】设分别为总样本均值和方差， 则， ， 故答案为：；. 13.已知向量共线，且，则      ． 【答案】或 【解析】由向量共线，故向量可能同向、可能反向， 当向量同向时，由，则， 当向量反向时，由，则. 即可能为或. 故答案为：或. 14.下列函数表达式中，对数函数的个数有          .①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 【答案】3 【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数； 由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数； 由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数； 由于⑥中，⑥是对数函数； 同时③④符合对数函数的定义． 故答案为：3． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数在处取得最值，其中． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求． 【答案】解：（1） . 因为在处取得最值， 所以，， 化简得， 又，当时，． 则，最小正周期． （2）将的图象向左平移个单位， 得到． 再将图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变， 得到． 因为， 所以． 因为为锐角，即，所以， 则． 所以． 16.某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图． (1)根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位； (2)已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差． 【答案】解　(1)依题意，，得， 各组的频率依次为， 平均数为分， 中位数为分． (2)分数在区间内的人数为， 分数在区间内的人数为， 所以成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分， 方差为. 17.某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设. （1）试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （2）根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值. 【答案】解：（1）在中，，，则. 在中，，，则. . 所以. 因为，分别向，边修建，所以. 当点F在D处时，最大，此时， 当点E在C处时，最小，此时， 故定义域为[]. （2）已知三条小路总长为米，即，则. 设，， 两边平方得，. 原方程化为，即，，解得. 由，， 联立可得. 即， 解得或. 18.（1）计算：； （2）已知：，求. 【答案】解：（1）原式. （2）因为，且， 分子分母同除以得. 整理得， 因式分解为， 解得或. 又，即，舍去， 所以. 19.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上，． （1）求，，； （2）请用描述法写出满足方程的解集； （3）解不等式； 【答案】解：（1）根据黎曼函数的定义： 当时，是既约真分数， 所以； 当时，是既约真分数， 所以； 当，是内的无理数， 所以. （2）已知，分情况讨论： 当时，，方程即，无解. 当为内的无理数时，， 方程即（为非零无理数），无解. 当（，为既约真分数）时，. 由，可得，即， 所以（为大于的正整数）. 所以方程（）的解集为. （3）分情况讨论不等式： 当或或为内的无理数时，. 此时，不满足. 当（，为既约真分数）时，. 由，即. 两边同乘得. 因为且为既约真分数， 满足的有，即，. 所以不等式的解集为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $