第一章《勾股定理》 综合复习试卷（2）2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

第一章《勾股定理》 综合复习试卷（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（　　） A．5，13，12 B．3，4，5 C．4，7，5 D．6，8，10 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C． D． 3．如图，字母B所代表的正方形的边长是（　　） A．194 B．144 C．13 D．12 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AC，AB为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积S①，S②，S③之间的关系为（　　） A．S①+S②＝S③ B．S①+S③＝S② C． D． 5．在△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝7cm，c＝5cm，则△ABC的面积为（　　） A．6cm2 B．12cm2 C．20cm2 D．24cm2 6．如图，在单位长度为1的4×4的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A．PA B．PB C．PC D．PD 7．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（　　） A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里 8．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△ADH，△ABE，△BCF，△CDG）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABE＞∠BAE，连结CE．若小正方形EFGH的面积＝1，三角形BEC的面积＝0.125，则大正方形ABCD的面积为（　　） A． B．2.25 C． D．2.5 9．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（　　） A．10 B．28 C．20 D．24 10．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若”生长”了2024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2025 B．2024 C．2223 D．22021﹣1 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如图所示，M点所表示的数是 　 　 ． 12．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．若SA＝26，SB＝18，则SC＝　 　 ． 13．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由Rt△ABC、Rt△ABP组成的图形，其中∠ABC＝∠APB＝90°，已知AC＝13，BC＝12，AP+BP＝7，则△ABP的面积为　 　 ． 14．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第6个勾股数组为 　 　 ． 15．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝50cm，水深AE＝40cm，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且FG＝30cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 　 　 cm． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．一个直角三角形的斜边长为a+4，一条直角边长为a． （1）用含a的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长． （2）当a＝4时，这个直角三角形的面积是多少？ 17．如图，在△ABC中，∠B＝90°，，BC＝2AB，求AC的长． 18．如图．正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上． （1）求出三角形ABC的周长． （2）判断三角形形状，并说明理由． 19．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别交AB、AC边于点D和点E，且BC2+CE2＝AE2． （1）连接BE，求证：∠C＝90°； （2）若AC＝4，BC＝2，求CE的长． 20．如图，大正方形A的边长为a，小正方形B的边长为b，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为m． （1）用含b，m的代数式表示正方形B中空白部分的面积：　 　 ． （2）若a+b＝8，a﹣b＝4，设正方形A中空白部分的面积为S1，正方形B中空白部分的面积为S2，求S1﹣S2的值． 21．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）连接AC，试判断△ADC的形状，并写出证明过程； （2）求这块空地ABCD的面积． 22．阅读下列内容，设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于62＝36＜42+52，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题 （1）若一个三角形的三条边长分别是6，7，8，则该三角形是 　 　 三角形． （2）若一个三角形的三条边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为 　 　 ． （3）若一个三角形的三条边长分别是m2﹣n2，2mn，m2+n2，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 23．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度运动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度运动，两点同时出发， （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）当运动了3秒时，求△BPQ的面积． 24．【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法． 如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形（如图1），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的乘法公式：　 　 ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究a2、b2、c2之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若b﹣a＝1，c2＝25，求b2﹣a2的值． 25．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　 　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B A D D D C A 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．． 12．8． 13．6． 14．（13，84，85）． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）∵一个直角三角形的斜边长为a+4，一条直角边长为a， ∴ ＝2， 即这个直角三角形另一条直角边的长为2； （2）当a＝4时， 224， 则这个直角三角形的面积为4×48． 17．解：∵，BC＝2AB， ∴， 在直角△ABC中，∠B＝90°， ∴AB2+BC2＝AC2． ∵， ∴，解得（负值舍去）． ∴． 18．解：（1）由勾股定理得， ，，， ∴三角形ABC的周长为； （2）△ABC是直角三角形，理由是： ∵， ∴△ABC是直角三角形． 19．（1）证明：∵AB边上的垂直平分线为DE， ∴AE＝BE， ∵BC2+CE2＝AE2， ∴BC2+CE2＝BE2， ∴∠C＝90°； （2）解：设CE＝x，则AE＝BE， 在Rt△BCE中，BE2﹣CE2＝BC2， ∴（4﹣x）2﹣x2＝22， 解得：x， ∴CE的长为． 20．解：（1）正方形B中空白部分的面积为：b2﹣m； 故答案为：b2﹣m； （2）根据条件可得 ＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∵a+b＝8，a﹣b＝4， ∴S1﹣S2＝8×4＝32． 21．解：（1）△ADC是直角三角形， 证明：如图，连接AC， 由题意可得：AC＝AB＝15m， ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． （2）∵AC＝15m， ∴， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴， ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m， ∴， ∴这块空地得面积为：． 22．解：（1）∵82＜62+72， ∴该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵一个三角形的三条边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形， ∴x2＝52+122或122＝52+x2， 解得x＝13或x， 故答案为：13或； （3）一个三角形的三条边长分别是m2﹣n2，2mn，m2+n2，则这个三角形是直角三角形， 理由：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2 ＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2 ＝m4+2m2n2+n4 ＝（m2+n2）2， ∴一个三角形的三条边长分别是m2﹣n2，2mn，m2+n2，则这个三角形是直角三角形． 23．（1）证明：设AB＝3x，BC＝4x，CA＝5x． ∵AB2+BC2＝（3x）2+（4x）2＝25x2，CA2＝（5x）2＝25x2． ∴AB2+BC2＝CA2． ∴△ABC是直角三角形； （2）解：∵△ABC是直角三角形，∠B＝90°， 根据题意得：3x+4x+5x＝36， 解得：x＝3． ∴AB＝3x＝9（cm），BC＝4x＝12（cm）． 当运动了3秒时，PB＝9﹣1×3＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm）． ∴△BPQ的面积． 24．解：【教材呈现】通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的乘法公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （1）a2+b2＝c2理由如下： ∵大正方形的面积＝c2＝4， ∴c2＝a2+b2； （2）∵b﹣a＝1，c2＝25， ∴（b﹣a）2＝1， ∴b2+a2﹣2ba＝1，b﹣a＝1， ∴c2﹣2ab＝1， ∴2ab＝24， ∴（b+a）2＝b2+a2+2ab＝25+24＝49， ∴b+a＝7（负值舍去）， ∴b2﹣a2的＝（b+a）（b﹣a）＝7． 25．解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为：13； （2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5， ∴， ∴的最小值是； （3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝6，BC＝8，如图， 设CD＝x，则， ∴， ∵62+82＝102， ∴∠ACB＝90°， ∴， ∴x＝4.8． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $