第三讲：逻辑用语知识总结与题型归纳讲义-2026届高三艺术班数学一轮复习

2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第三讲：逻辑用语知识总结与题型归纳 知识再现 一、充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 二．全称量词与存在童词 （1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 三．含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一. 【方法技巧与总结】 1、从集合与集合之间的关系上看 设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 题型一 充分必要条件的判断 例1.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2.已知，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 例3．已知、都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 例4．已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式训练 1．已知，则是的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．已知，为不重合的两个平面，直线，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 充分必要条件的倒装句 例6.使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 例7.不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 例8．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 变式训练 1．命题“对任意”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　 　) A． B． C． D． 2.（多选）使成立的一个充分条件可以是（ ） A． B． C． D． 3.“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型三：根据充分必要条件求参数的取值范围 例9.已知，，若是成立的充分不必要条件，求的取值范围是( ) A． B． C． D． 例10.若p:，且是的充分不必要条件，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 例11.已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 变式训练 1.已知：，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为( ) A． B． C． D． 2.如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 题型四 全称量词命题、存在量词命题的否定 例12.已知命题，，则命题的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 例13.命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 变式训练 1．设命题p：，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 题型五：存在与恒成立求参数的取值范围 例14.　命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 _____． 例15.若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________. 变式训练 1.已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___． 2．若命题p：，为真命题，则实数a的取值范围为___________. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第三讲：逻辑用语知识总结与题型归纳 知识再现 一、充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 二．全称量词与存在童词 （1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 三．含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一. 【方法技巧与总结】 1、从集合与集合之间的关系上看 设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 题型一 充分必要条件的判断 例1.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由题可知：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B 例2.已知，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：当时，“x<2”成立，但 ,故“”，故“x<2”不是“”的充分条件， “”等价于，即能推出， ∴“x<2”是“”的必要条件，故“x<2”是“”的必要不充分条件，故选:B. 例3．已知、都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：时，一定有，充分性成立， 当时，满足，但不成立，则必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件.故选：A． 例4．已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：是奇函数等价于， 即，故， 所以.则“”是“是奇函数”的充分不必要条件.故选：A. 例5.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：设直线a与平面M内一条直线b垂直， 则平面内与直线b平行的无数条直线都与直线a垂直， 则由“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能得到“直线a与平面M垂直”， 即“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不是“直线a与平面M垂直”的充分条件. 故A，C错误. 当直线a与平面M垂直时，由直线与平面垂直定义可得， 直线a与平面M内任意一条直线垂直， 则由“直线a与平面M垂直”可得“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”. 即“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的必要条件. 综上所述，“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的必要不充分条件.故选：B 变式训练 1．已知，则是的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解析：记集合，. 因为AB，所以是的充分不必要条件.故选：A 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由，解得或， 故由能够推出；由不能够推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故选：A． 3.“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为指数函数单调递增，由可得：，充分性成立， 当时，，但不一定，必要性不成立，故选：A 4．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解析：∵表示双曲线，∴. ∴是表示双曲线的充要条件.故选：C. 5．已知，为不重合的两个平面，直线，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：记平面为，平面为，直线为，直线为， 则直线，，，但， 所以“”不是“”的充分条件， 记平面为，平面为，直线为，直线为， 则直线，，，但， 所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D. 题型二 充分必要条件的倒装句 例6.使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 解析：根据充分条件的定义，由可以得出，B正确； 若，取，无法得到，A错误； C显然错误； 若，取，无法得到，D错误.故选：B. 例7.不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 解：不等式即，即 ， 对于A,因为，故是成立的一个必要不充分条件，A正确； 而不是集合，的真子集，故错误， 故选：A 例8．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】“”为真命题，可得，因为 ， 故选:D. 变式训练 1．命题“对任意”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　 　) A． B． C． D． 解析:命题为真命题，则对恒成立 是的真子集 是命题为真的充分不必要条件 本题正确选项： 2.（多选）使成立的一个充分条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】或， 故使成立的一个充分条件的x的范围应该是的子集.故选：AB. 3.“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 解:由题知,不等式,恒成立,只需,故, 则选项是的必要不充分条件,即真包含于选项中,所以选D, 故选:D. 题型三：根据充分必要条件求参数的取值范围 例9.已知，，若是成立的充分不必要条件，求的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由解得：，. 由，即，解得或. . 是成立的充分不必要条件，则，或，解得：或.的取值范围是.故选：A. 例10.若p:，且是的充分不必要条件，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，因为是的充分不必要条件，所以， 故选:A. 例11.已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得或，解得：或， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是或的真子集，可得：，故选：B 变式训练 1.已知：，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，解得，即， 由，得，即， 因为p是q的充分不必要条件， 所以，解得，故选：C 2.如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】，解得：， 所以成立的充分不必要条件是， 故是的真子集， 所以或，解得：，故实数的取值范围是.故选：B 3.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，因此恒成立，则，因此D是其一个充分不必要条件，故选D． 题型四 全称量词命题、存在量词命题的否定 例12.已知命题，，则命题的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”. 【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题的否定为：，.故选：B. 例13.命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由特称命题的否定的定义即可得出结果. 【详解】因为，所以其否定为.故选：B. 变式训练 1．设命题p：，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 解析：命题p的否定为，.故选：D 2．已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题意得为.故选：C 题型五：存在与恒成立求参数的取值范围 例14.　命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 _____． 【答案】 【解析】命题“，使”是假命题， 则命题，恒成立为真命题， 所以当时，，不恒成立， 当时，需满足可得，解得， 故的范围为．故答案为：． 例15.若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】所以恒成立，即在恒成立， 所以且，又因为在上是增函数， 所以，所以. 故答案为：. 变式训练 1.已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___． 【解析】根据题意，恒成立，所以. 故答案为：. 2．若命题p：，为真命题，则实数a的取值范围为___________. 【答案】【解析】当时，不满足题意； ∴，，则且，解得. 故答案为：[，+∞）. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $