精品解析：广东省江门市第二中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学试题

2025一2026学年度第一学期开学测试 九年级数学 一、单选题（每小题2分，20小题，共40分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念判定即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．最简二次根式的定义：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． 逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则的周长（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理计算即可； 【详解】∵点D、E分别是边AB、BC的中点， ∴，，， ∴，，， ∴的周长； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，准确计算是解题的关键． 5. 的三条边分别记为，，，三个内角分别记为，，，则由下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定； 根据勾股定理逆定理和角度关系逐一分析选项，判断是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：、：：：：， 设，，， ，， ， 不是直角三角形， 故A不符合题意； B、， ， ， 是直角三角形， 故B符合题意； C、，， ， ， ， 不一定是直角三角形， 故C不符合题意； D、，， ， 不是直角三角形， 故不符合题意； 故选：B． 6. 下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的识别，根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的因变量与之对应，再进行判断即可． 【详解】解：A中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意， B中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意， C中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意， D中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，符合题意， 故选：D． 7. 下列函数是二次函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如、、为常数，的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，故本选项符合题意； B．，分母中含有，不是二次函数，故本选项不符合题意； C．是一次函数，故本选项不符合题意； D．当时，（、为常数）是一次函数，当时，是常函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 8. 下列命题中：真命题的个数是（　　） ①两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形； ②菱形的一条对角线平分一组对角； ③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； ④两条对角线互相平分的四边形是矩形； ⑤平行四边形对角线相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、平行四边形的判定及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故①是假命题； ②菱形的一条对角线平分一组对角，故②正确，是真命题； ③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，故③正确，是真命题； ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故④是假命题； ⑤平行四边形对角线不一定相等，故⑤是假命题， 正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定及性质，难度不大，熟练掌握判定定理是解题关键． 9. 某班进行了一次英语听力测试，其中5名同学成绩（单位：分）分别为：22，30，29，28，28，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 28，29 B. 28，28 C. 28，28.5 D. 28，30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排列后处于中间位置的数. 【详解】解：将5名同学的成绩从小到大排列为：22，28，28，29，30； 中位数：数据个数为奇数，中间位置的数为第3个数，即28； 众数：数据中出现次数最多的数是28（出现2次）； 因此，众数和中位数均为28，对应选项B； 故选：B 10. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为 ，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 11. 下列四个函数中，随增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数和二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. ，随增大而增大，故该选项不符合题意； B. ，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，故该选项不符合题意； C. ，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，故该选项不符合题意； D. ，随增大而减小，故该选项符合题意； 故选：D． 12. 一组数据的方差为，则该组数据的总和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的公式可以得到平均数，用平均数乘上这组数据的个数即可得解．本题考查方差公式的定义与意义，从方差的公式可以得到平均数是解题的关键． 【详解】由方差公式可知，数据组的平均数为4．数据个数为5，因此总和为平均数乘以个数，即． 故选：D． 13. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的长，再根据作图得出，即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， 分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点， ， 的周长为． 故选：A． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点在直线上，当的值最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合； 作点为点关于的对称点，则，连接交直线于点，此时点就是的值最小时的位置，设直线的解析式为，代入点，求出，将代入计算即可． 【详解】解：如图，作点为点关于的对称点，则，连接交直线于点，此时点就是的值最小时的位置， 设直线的解析式为，代入点得： ，解得， ， 当时，，解得， ， 故选：D 15. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 它的形状是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于y轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它的顶点在原点处，坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值．根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的图象是一条抛物线，故选项A正确， 该函数图象开口向上，关于y轴对称，故选项B正确， 图象的顶点是抛物线的最低点，故选项C错误， 图象的顶点坐标是，故选项D正确， 故选：C． 16. 如图，一次函数 (b是常数)，与正比例函数 (k是常数，) 的图象相交于点 ，则关于x的不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴关于x的不等式的解集是． 故选A． 17. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 18 B. C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键． 根据根与系数的关系看得，由a，b是方程的两个实数根可得，进而可以得解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 则的值为18． 故选：A． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，边长为2，若直线与正方形有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．当直线过或时，求得，即可得到结论． 【详解】解：正方形的顶点的坐标为，边长为2， ， 当直线经过点时，，此时． 当直线经过点时，，此时． 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是． 故选：D． 19. 在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时，拉力与之间的函数表达式为 C. 当时，此时石块完全浸入水中 D. 当时，此时石块所受浮力不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、一次函数的应用等知识点，采用数形结合的思想解决函数图象问题是解决本题的关键． 结合所给函数图象以及一次函数的相关知识逐个选项分析判断即可解答． 【详解】解：从图象看，石块在下降时拉力不发生变化，对应的拉力为， 当时，此时石块还在水面上方，故A选项错误，不符合题意； 当时，设函数解析式为， ， 解得：， 拉力与之间的函数表达式为，故B选项错误，不符合题意； 从图象看：当时，石块所受的拉力为，拉力开始不变，此时石块完全浸入水中，故C选项错误，不符合题意； 当时，石块所受的拉力不变， 石块的重力为，， 石块所受浮力不变，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 20. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②先说明，结合是等腰直角三角形，即，然后根据求解即可判定；③先说明是等腰直角三角形，再运用勾股定理求，然后用勾股定理求得即可；④过B作，交的延长线于F，先说明由是等腰直角三角形可求得，进而求得，用勾股定理可求 ，连接，求出的面积，然后减去的面积即可； 根据④求得的长，再结合正方形的性质即可判定． 【详解】解：①∵ ∴ 又∵， ∵在和中， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即； ∵过点A作的垂线交于点P．若 ∴是等腰直角三角形，即 ∴故②正确； ③∵， ， ∴， ， 又∵②中， ∴ ，故③正确； ④如图：过B作，交的延长线于F， 又∵③中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ， ∴ ∴ 如图，连接， ∵， ∴ ， ∴ ，故④正确． ⑤∵正方形， ∴，故⑤错误； 综上可知其中正确结论的序号是①②③④共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识是解答本题的关键． 二、填空题（每题3分，15小题，共45分） 21. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 22. 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，分为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：当为直角边时：； 当为斜边时：； 故答案为：或． 23. 甲乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩相等，方差分别为，，则成绩比较稳定的是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差越小越稳定即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平均成绩相等， ∴成绩比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】此题考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 24. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和混合运算，先分解因式，再代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 25. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且 故答案为：且 26. 如图，将绕点逆时针方向旋转一个角，使点落在上的点，若，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可求的度数，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转一个角，使点落在上的点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，利用关于原点对称点的性质得到，的值，是解答本题的关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到，的值，再利用有理数的乘方法则计算得到答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴，， ， 故答案为：． 28. 若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系计算即可． 【详解】设另一个根为，则，解得 故答案为 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解题的关键，也可以把代入方程求出k的值再解方程． 29. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若，则的长为 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，由菱形的性质得，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵E是的中点，， ∴． 故答案为：12． 30. 若直线与直线平行且经过点，则直线解析式为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象的平行问题等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据平行得到，再代入点即可求解． 【详解】解：∵直线与直线平行 ∴， ∵直线经过点， ∴将代入，则， ∴， ∴直线解析式为， 故答案为：． 31. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了45次手，这次会议到会的人数是______人． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这次会议到会的人数是x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据题意列方程． 【详解】解：设这次会议到会的人数是x人， 依题意得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：参加这次会议的有10人， 故答案为：10． 32. 如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、作角平分线，勾股定理，解决本题的关键是证明．由作图过程可得是的角平分线，结合题意，证明，得出根据矩形的性质进而得到，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设，交于点 四边形是矩形， ，， 由作图过程可知：是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ，则， ， 故答案为：． 33. 如图，在矩形中，，，为边上的一点，为的中点，连接并延长，交于点．若平分，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 由四边形是矩形，得，，，结合平分，得出，则，证明，得出，则，再求得，利用，，列式求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 34. 如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为腰向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，理解矩形的判定和性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 过点G作直线，交于点M，交于点N，作于点H，则四边形，四边形和四边形是矩形，证明，得，，进而得，由此得点G在与平行且到的距离等于1的直线上运动，在中，由勾股定理得，因此当为最小时，为最小，再根据得当为最大时，为最小，则当点F与点D重合时，为最大，此时，继而得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：过点G作直线，交于点M，交于点N，作于点H，如图所示： ∵四边形是矩形，且，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在点F的运动过程中，点G始终在上运动， 即点G在与平行且到的距离等于1的直线上运动， 在中，由勾股定理得：， ∴当为最小时，为最小， 又∵， ∴当为最大时，为最小， ∵点F为边上的一个动点， ∴当点F与点D重合时，为最大，此时， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 35. 如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质．根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次减少， ∴， ∴， ∴， ∵， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共35分） 36. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算乘法，并化简二次根式，再进行加减计算； （2）利用完全平方公式计算乘法并化简二次根式，然后进行加减计算． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ． 37. 正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点逆时针旋转的． （2）画出关于点的中心对称图形． （3）可由绕点旋转得到，请找出点的位置并写出它的坐标______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质． （1）将点A、C分别绕点B逆时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）作的中垂线，交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问3详解】 解：如图所示，M点即为所求，其坐标为． 38. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元．经过市场调研发现，每台售价为万元时，年销售量为台；每台售价为万元时，年销售量为台．假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量与销售单价的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）设年销售量与销售单价的函数关系式，根据点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）设此设备的销售单价为万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润单台利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设年销售量与销售单价的函数关系式， 将，代入解析式，得： ， 解得：， 年销售量与销售单价的函数关系式为； 【小问2详解】 设此设备的销售单价为万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ， 此设备的销售单价不得高于万元， ， 则该设备的销售单价应是万元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 39. 在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果） （3）如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点． ①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标； ②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象写出结果即可； （3）①由点在上得点的坐标为其中，过点作垂直轴于点，作垂直轴于点，证明得，求出的横坐标为； ②证明矩形为正方形得，作于点G，作于点E，证明得，，求出可知点在上． 过点作轴交轴于点，由，可知当，，三点共线时，最小，最小值为的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：直线过点， ，解得， 将点代入得：，解得 【小问2详解】 解：如图，当函数的值既大于函数的值，也大于函数的值时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：①由（1）得直线的解析式为， 当时，，所以的坐标为， 当时，，所以的坐标为， 点在上， 点的坐标为其中 过点作垂直轴于点，作垂直轴于点， ， ，， 即， ． ． ． 的横坐标为； ②． 由①得， 矩形为正方形， 作于点G，作于点E， ， 又 又， ， ， 点在上， 在正方形中， ， 作关于的对称点，则坐标为，且，过点作轴交轴于点， ，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长． 坐标为， 又， ， ，即的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025一2026学年度第一学期开学测试 九年级数学 一、单选题（每小题2分，20小题，共40分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则的周长（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 5. 的三条边分别记为，，，三个内角分别记为，，，则由下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 6. 下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数是二次函数的有（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中：真命题的个数是（　　） ①两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形； ②菱形的一条对角线平分一组对角； ③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； ④两条对角线互相平分的四边形是矩形； ⑤平行四边形对角线相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 某班进行了一次英语听力测试，其中5名同学成绩（单位：分）分别为：22，30，29，28，28，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 28，29 B. 28，28 C. 28，28.5 D. 28，30 10. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为 ，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 下列四个函数中，随增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 12. 一组数据的方差为，则该组数据的总和是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点在直线上，当的值最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 15. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 它的形状是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于y轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它的顶点在原点处，坐标为 16. 如图，一次函数 (b是常数)，与正比例函数 (k是常数，) 的图象相交于点 ，则关于x的不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 17. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 18 B. C. 20 D. 22 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，边长为2，若直线与正方形有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 19. 在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时，拉力与之间的函数表达式为 C. 当时，此时石块完全浸入水中 D. 当时，此时石块所受浮力不变 20. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，15小题，共45分） 21. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 22. 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为__________ 23. 甲乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩相等，方差分别为，，则成绩比较稳定的是______（填“甲”或“乙”）． 24. 已知，，则_____． 25. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____． 26. 如图，将绕点逆时针方向旋转一个角，使点落在上的点，若，，则的度数为______． 27. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则_____． 28. 若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_____________________． 29. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若，则的长为 _______． 30. 若直线与直线平行且经过点，则直线解析式为______ 31. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了45次手，这次会议到会的人数是______人． 32. 如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则__________． 33. 如图，在矩形中，，，为边上的一点，为的中点，连接并延长，交于点．若平分，则_________ ． 34. 如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为腰向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为_______． 35. 如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是________． 三、解答题（共35分） 36. 计算 （1）． （2）． 37. 正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点逆时针旋转的． （2）画出关于点的中心对称图形． （3）可由绕点旋转得到，请找出点的位置并写出它的坐标______． 38. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元．经过市场调研发现，每台售价为万元时，年销售量为台；每台售价为万元时，年销售量为台．假定该设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量与销售单价的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 39. 在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果） （3）如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点． ①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标； ②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $