精品解析：湖北省黄冈市黄梅县2021—2022学年下学期第二次月考八年级数学试卷

2021-2022学年湖北省黄冈市黄梅县八年级（下） 第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 3. 一次函数函数值随的增大而增大，它的图象大致是（ ） A B. C. D. 4. 估计的值应在（ ）之间． A. 4到5 B. 5到6 C. 6到7 D. 7到8 5. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的根，则第三边长是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　） A. 282° B. 180° C. 258° D. 360° 8. 某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额，与购书数量之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：与之间函数关系为； （2）小刚说：与之间的函数关系为； （3）小聪说：与之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说；我认为用下面列表法也能表示它们之间的关系． 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 864 92.8 … 其中，表示函数关系正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 当时，化简的结果是______． 10. 若直线与抛物线有交点，则的取值范围是_______． 11. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是______. 12. 的算术平方根的平方根是____________． 13. 如图，点A为x轴上一点，点B的横坐标为6，以、为边构造．过点O，C，B的抛物线与x轴交于点D．连接，交边于点E．若，则点D的坐标为 __________． 14. 一次函数（k、b为常数，）中的x与y的部分对应值如下表： A B x ﹣1 3 y n ﹣3 下列结论中一定正确的是_____（填序号即可）． ①当时，；②当的值随值的增大而增大时，n＜0；③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则． 15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB 交于点 D，则 AD 的长为_． 16. 两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简： 18. 先化简；，然后再选取你喜欢而又合适的、的值，代入化简后的式子进行计算． 19. 阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图，直线，与之间的距离是，与之间的距离是，试画出一个等腰直角三角形，使三个顶点分别在直线、、上，并求出所画等腰直角三角形的面积． 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图所示：在直线上任取一点，作于点，作，在上截取，过点作交于点，连接，作，交直线于点，连接，即可得到等腰直角三角形． （1）请你回答：图中等腰直角三角形的面积等于______． （2）参考小雨同学的方法，解决下列问题： 如图，直线，与之间的距离是，与之间的距离是，试画出一个等边三角形，使三个顶点分别在直线、、上，并直接写出所画等边三角形的面积（保留画图痕迹）． 20. 甲、乙两人骑车前往地，他们距地的路程与行驶时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两人的速度各是多少？ （2）求甲距地的路程与行驶时间的函数关系式． （3）直接写出在什么时间段内乙比甲距离地更近？（用不等式表示） 21. 在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，其中，，其中点B，D在直线上，对角线与交于点G． （1）求m和n的数量关系； （2）直线l是矩形一条对称轴，若直线l与x轴交于点，求线段的最小值． 22. 某商家为了让手机销量更好，更能吸引大家来购买，商家实施一定程度的让利促销活动，手机的销量分别出现不同程度的增长，A品牌手机的销量每月都比上个月多卖100台，而B品牌的手机的销量每月均按照一个相同的百分数增长，十月份A品牌手机的销量比B品牌的手机销量少360台，十一月份两种手机的总销量比十月份两种手机的总销量多200台，十二月份两种手机的总销量比十月份两种手机的总销量多25%, （1）求B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多多少台？ （2）求B品牌的手机十月份的销量是多少台？ 23. 如图，在中，，，．正方形的边长为，边和边都在直线l上，点E和点A重合．正方形以速度沿直线l向右运动，当点G在边上时，停止运动，设正方形的运动时间为，正方形与的重叠部分的面积为S． （1）当时，______； （2）当点G在边上时，_______； （3）求S与t之间的函数解析式． 24. 在正方形中，点是对角线所在直线上的一点；点在的延长线上，且，连接． （1）如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______． （2）如图2，当点在的延长线上时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时， ①探究线段与线段的数量关系，并请直接写出你的结论； ②若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年湖北省黄冈市黄梅县八年级（下） 第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根、立方根、绝对值的知识分别进行计算即可求解． 【详解】解：A．∵，∴选项A不符合题意； B．∵，∴选项B不符合题意； C．∵，∴选项C不符合题意； D．∵，选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了利用平方根、立方根、绝对值解决问题的能力，熟练运用相应的法则来计算是解题的关键． 2. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的外心、平行线的性质、中点四边形、平行四边形的判定等知识进行判断即可． 【详解】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形三个内角角平分线的交点是三角形的内心，故为假命题，不符合题意； B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不符合题意； C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故为假命题，不符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，为真命题，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及三角形的外心、平行线的性质、中点四边形、平行四边形的判定等知识，熟知它们的前提条件是解答的关键． 3. 一次函数函数值随的增大而增大，它的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意判断出函数的图象所经过的象限即可得出结论． 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，，时，函数图象经过一、二、三象限是解答此题的关键． 【详解】解：一次函数，随增大而增大， ， 此函数的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 4. 估计的值应在（ ）之间． A. 4到5 B. 5到6 C. 6到7 D. 7到8 【答案】B 【解析】 【分析】先将原式进行化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，理解算术平方根的定义以及二次根式混合运算的方法是正确解答的前提． 5. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两小边的平方和与长边的平方，看看是否相等即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：A、， 以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、， 以、、为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、， 以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、， 以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的根，则第三边长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据利用因式分解法解一元二次方程得，，再根据三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵三角形两边长分别为和， ∴，， ∴三角形的第三边为， 故选． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系的应用，掌握三角形的三边关系的应用是解题的关键． 7. 如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　） A 282° B. 180° C. 258° D. 360° 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】如图， ∵∠1、∠2是△CDE的外角， ∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C， 即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝78°+180°＝258°． 故选C． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和． 8. 某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额，与购书数量之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：与之间的函数关系为； （2）小刚说：与之间的函数关系为； （3）小聪说：与之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说；我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系． 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … 其中，表示函数关系正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题采取分段收费，根据某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，分别求出付款金额y与购书数量x的函数关系式，再根据函数关系的表示方法即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：在0≤x≤10时，y=8x；在x＞10时，y=6.4x+16． 列表如下： 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … 所以（1）（2）错误，（3）（4）正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数应用，分段函数，函数关系的表示方法．理解分段收费的意义，明确每一段购书数量及相应的购书单价是解题的关键，要注意x的取值范围． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 当时，化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可进行解答． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，性质和运算法则． 10. 若直线与抛物线有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】令x+m=x2-2x，然后化为一元二次方程的一般形式，再根据根的判别式确定m的取值范围即可. 【详解】解：令x+m=x2-2x，即x2-3x-m=0 △=（-3）2+4m≥0，解得. 故答案为 【点睛】本题考查二次函数、一次函数图像与系数的关系，解答本题的关键是审清题意，用方程思想作答. 11. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是______. 【答案】17cm 【解析】 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答 【详解】 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为30cm， 则AD=30÷2=15cm． 又因为CD=AB=8cm， AC2=152+82=225+64=289， AC=17cm 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 12. 的算术平方根的平方根是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 先化简，再计算9的算术平方根为3，最后计算3的平方根即可解题． 【详解】解： 9的算术平方根是3， 3的平方根是， 故答案为：． 13. 如图，点A为x轴上一点，点B的横坐标为6，以、为边构造．过点O，C，B的抛物线与x轴交于点D．连接，交边于点E．若，则点D的坐标为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识，利用平行四边形的性质证明，得出，则A为中点，设点，由抛物线的对称轴可列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， ∴A点为中点， 设点， ∴，，， ∵点B的横坐标为6， ∴点C的横坐标为， ∵ ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵点B与点C关于对称轴对称， ∴点B与点C到对称轴的距离相等， ∴ ∴， 故答案为：． 14. 一次函数（k、b为常数，）中的x与y的部分对应值如下表： A B x ﹣1 3 y n ﹣3 下列结论中一定正确的是_____（填序号即可）． ①当时，；②当的值随值的增大而增大时，n＜0；③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则． 【答案】① 【解析】 【分析】将点、代入，求出；①中，由可得，所以正确；②中，由可得，所以不正确；③中，分两种情况和分别求的面积，则有当时，，当时，，分别求出的值为或7，所以不正确；④与轴的交点为，所以，所以不正确． 【详解】解：由表可知，一次函数经过点，， 将点、代入， 得， 解， ①当时，， ， ①正确； ②当的值随值的增大而增大时，， ， ， ②不正确； ③与轴的交点为，与轴的交点为， 当时，， 解得； 当时，， ； 综上所述，当时，或； 故③不正确； ④， ， ， 与轴的交点为， ， ， 故④不正确； 故答案为：①． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的性质，会求函数图象上两点与原点围成三角形面积是解题的关键． 15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB 交于点 D，则 AD 的长为_． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AD于点E，根据垂径定理可得AD=2AE，然后根据勾股定理即可求出AB，然后根据锐角三角函数即可求出结论． 【详解】解：过点C作CE⊥AD于点E ∴AD=2AE ∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= ∵cos∠A= 即 解得：AE= ∴AD=2AE= 故答案为：． 【点睛】此题考查的是垂径定理、勾股定理和锐角三角函数，掌握垂径定理、勾股定理和锐角三角函数是解决此题的关键． 16. 两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都为， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示： ∴， 要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示： ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）先分别化简各项，再进行加法运算； （2）先用平方差公式算出（3+a）（3-a），再将后一项去括号，合并同类项即可解决． 【详解】解：（1） = =1； （2） = = 【点睛】本题考查的是实数和整式的运算，包含了立方根、乘方、平方差公式等知识点，熟悉这些知识点基本结论即可解决． 18. 先化简；，然后再选取你喜欢而又合适的、的值，代入化简后的式子进行计算． 【答案】，当，时，原式． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算和化简求值，先利用二次根式的乘除法化简，再选取合适的字母值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 19. 阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图，直线，与之间的距离是，与之间的距离是，试画出一个等腰直角三角形，使三个顶点分别在直线、、上，并求出所画等腰直角三角形的面积． 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图所示：在直线上任取一点，作于点，作，在上截取，过点作交于点，连接，作，交直线于点，连接，即可得到等腰直角三角形． （1）请你回答：图中等腰直角三角形的面积等于______． （2）参考小雨同学的方法，解决下列问题： 如图，直线，与之间的距离是，与之间的距离是，试画出一个等边三角形，使三个顶点分别在直线、、上，并直接写出所画等边三角形的面积（保留画图痕迹）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）过点作于点，过点作于点，根据等角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，从而求得的面积； （2）如图，作等边三角形，延长交于点，在上截取，连、，然后利用“边角边”证明，可得，，再根据等边，可得，故为等边三角形．连接，利用可求得，过点作垂直于点，过点作垂直于点，，，，，，在中，根据勾股定理，，求得，等边的面积． 【小问1详解】 如图，过点作于，过点作于， 则， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ，之间距离为，，之间的距离为， ，， 在中，， ，， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：5； 【小问2详解】 作等边三角形，延长交于点，在上截取，连、， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中， ， ， ∴，， 即 ∴为等边三角形． 连接， ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴ ∴， 过点作垂直于点，过点作垂直于点， 则，， 设，则， ∴， 解得（负值舍去） ∴，， ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，， 即， ∴等边的面积． 20. 甲、乙两人骑车前往地，他们距地的路程与行驶时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两人的速度各是多少？ （2）求甲距地的路程与行驶时间的函数关系式． （3）直接写出在什么时间段内乙比甲距离地更近？（用不等式表示） 【答案】（1）甲的速度是；乙的速度是 （2） （3）当时,乙比甲距离地更近 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键． 分别利用利用总路程除以总时间求出速度即可； 利用待定系数法求出函数解析式即可； 利用函数图象确定乙比甲距离地更近时的时间即可 【小问1详解】 从函数图象可知：甲用小时行走了； 乙用小时行走了． 所以甲速度是：； 乙的速度是； 【小问2详解】 设甲的函数关系式为，把，代入解得： 解得： 关系式为：； 【小问3详解】 由图象可得出：当时，乙比甲距离地更近．  21. 在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，其中，，其中点B，D在直线上，对角线与交于点G． （1）求m和n的数量关系； （2）直线l是矩形的一条对称轴，若直线l与x轴交于点，求线段的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由在直线上，代入求解即可； （2）分别求得，，，，利用中点坐标公式求得，根据直线l与x轴交于点，求得，求得点G在直线上，利用垂线段最短即可求解. 小问1详解】 解：∵在直线上， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵在矩形中，点D在直线上， ∴当时，， ∴， ∴. ∵G是对角线与的交点， ∴G是对角线与的中点， ∴,， ∴. ∵矩形的对称轴l与x轴交于点， ∴，即， ∴， ∴点G在直线上， 如图，直线与x轴，y轴分别交于点， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴在等腰中，． 当时，此时最短. 此时G为中点， ∴. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 22. 某商家为了让手机销量更好，更能吸引大家来购买，商家实施一定程度的让利促销活动，手机的销量分别出现不同程度的增长，A品牌手机的销量每月都比上个月多卖100台，而B品牌的手机的销量每月均按照一个相同的百分数增长，十月份A品牌手机的销量比B品牌的手机销量少360台，十一月份两种手机的总销量比十月份两种手机的总销量多200台，十二月份两种手机的总销量比十月份两种手机的总销量多25%, （1）求B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多多少台？ （2）求B品牌的手机十月份的销量是多少台？ 【答案】(1)求B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多100台；(2)B品牌的手机十月份的销量是1000台． 【解析】 【分析】（1）由A品牌手机销量比上月多卖100台及十一月份两种手机的总销量比十月份多200台可得B品牌手机多卖的台数； （2）设A品牌手机十月份销售量为x台，那么B品牌手机销售量为(x+360)台，B品牌手机每月销量增长百分数为，根据题意可列出关于x和的方程组，将其转化为一元二次方程求解即可. 【详解】解：(1)依题意可得：200-100=100（台） 所以B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多100台. （2）设A品牌手机十月份销售量为x台，那么B品牌手机销售量为(x+360)台，B品牌手机每月销量增长百分数为， 依题意得： 化简②式得：，即 将代入①得 化简得即 解得=10%或（舍去）， =640, 640+360=1000（台） 所以B品牌的手机十月份的销量是1000台． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，题目较为复杂，正确理解题意找准题中等量关系是解题的关键. 23. 如图，在中，，，．正方形的边长为，边和边都在直线l上，点E和点A重合．正方形以速度沿直线l向右运动，当点G在边上时，停止运动，设正方形的运动时间为，正方形与的重叠部分的面积为S． （1）当时，______； （2）当点G在边上时，_______； （3）求S与t之间的函数解析式． 【答案】（1）2 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，如图1所示，当时，则，，证明得到，再根据重叠部分面积即为的面积进行求解即可； （2）当点G在边上时，同理可得，则，由此即可求出时间t的值； （3）分当时，如图1所示，当时，如图2所示，当时，如图3所示，三种情况根据图形之间面积的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 如图1所示，当时，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：当点G在边上时，同理可得， ∴， ∴， 故答案为：3； 【小问3详解】 解：当时，如图1所示， 同理可得， ∴； 当时，如图2所示， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3所示， 同理可得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，列函数关系式等等，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 24. 在正方形中，点是对角线所在直线上的一点；点在的延长线上，且，连接． （1）如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______． （2）如图2，当点在的延长线上时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时， ①探究线段与线段的数量关系，并请直接写出你的结论； ②若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）由四边ABCD为正方形，BD为对角线是正方形的对称轴，可得AP=PC，∠PAD=∠PCD，由，可得∠PAD=∠PED，PC=PE，再求∠CPF =90°，由勾股定理即可； （2）；由四边形是正方形，可得，，可证，再证为等腰直角三角形，由勾股定理即可； （3）①；设PC与AE交于F，由四边形ABCD为菱形，BD为对角线，可得AD=CD，∠ABD=∠CBD，可证△ABD与△CBD均为等边三角形，再证，再证△PCE为等边三角形，可得CE=PC=PA即可； ②连接AC，交BD于G，由四边形ABCD为菱形，可得AC⊥BD，AG=CG，BG=DG，由△ADB为等边三角形，，可求BG=DG=，由勾股定理，可得AC=2AG=6，可证四边形ACEP为菱形，可得AE⊥PC，由勾股定理，可得AE=2AF=． 【详解】解：（1）， 因为四边ABCD为正方形，BD为对角线是正方形的对称轴， ∴AP=PC，∠PAD=∠PCD， ∵， ∴∠PAD=∠PED，PC=PE， ∵∠PFC=∠DFE， ∴∠CPF=180°-∠PFC-∠PCD=180°-∠DFE-∠PED=∠FDE=90°， ∴△CPE为等腰直角三角形， ∴由勾股定理； （2）； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 在△ADP和△CDP中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． （3）①； 设PC与AE交于F， ∵四边形ABCD为菱形，BD为对角线， ∴AD=CD，∠ABD=∠CBD， ∵， ∴∠ABD=∠CBD=， ∴△ABD与△CBD均为等边三角形， ∴∠ADB=∠CDB=60°， ∴∠ADP=∠CDP=120°， 在△ADP和△CDP中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴∠CPE=180°-∠PEF-∠PFE=180°-∠DCF-∠DFC=∠CDF=60°， ∴△PCE为等边三角形， ∴CE=PC=PA， ②连接AC，交BD于G， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AG=CG，BG=DG， ∵△ADB为等边三角形，， ∴BD=，BG=DG=， 在Rt△ABG中，， ∴AC=2AG=6， ∴AP=PE=CE=AC=6， ∴ 四边形ACEP为菱形， ∴AE⊥PC， ∴AF=EF，CF=FP=， 在Rt△AFC中，， ∴AE=2AF=． 【点睛】本题考查探究，拓展与应用类型问题，涉及正方形性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握上述知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $