第一章 空间向量与立体几何 章末综合质量检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》章末综合质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3. 如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱锥中，平面，，，，以点为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（　　）    A．点的坐标为 B． C．可能为 D． 6. 已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为的中点，为棱上的动点，则（   ） A． B．存在点，使面 C．最小值为 D．存在两个点，使与所成的角为60° 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（    ）    A．为的中点时，平面平面 B．为的中点时，点到平面的距离为 C．存在点使得直线与平面所成的角为 D．为所在直线的动点，则的最大值为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则___________． 13. 如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 14. （南京六校联合体8月学情调研）已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 17. （安徽A10联盟8月底学情调研）如图，在四棱台中，平面，，. （1）求证：； （2）若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. （南京六校联合体8月学情调研） 图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． （1）求证：； （2）棱上存在一点，当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由． ( 第 1 页 共 20 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $第一章《空间向量与立体几何》章末综合质量检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 9 10 11 答案 ◇ A D A BCD ABC ABD 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知两个向量a=(2,-1,3),b=(4,m,n,且a/b,则m+n的值为() A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】Cā/b, 3=2’m=-2,n=6,m+n=4. .n m 4 2.若空间向量a=(1,0,1),b=(2,1,2),则a与6的夹角的余弦值为() B.2 3 C.22 1 D. 3 3 【解折1心由题底，符心a.列 a.b 2+2 VP+02+1P×V22+12+223 3如图，空间四边形0ABC中，OiA=a,0B=i,0元=c,点M在O1上，且OM=2OA, 3 点N为BC中点，则M等于() B 1 1 A. -a+ B.- 2 2 6*1 a+ 32 2 2 1 1 C. 3a+ 二b D. 【解析】B N-0(C)-0+(08-0)(0C-0)0+08+0c 3 第1页共20页 2a+6+ 1 3 2 2 则向量ā在向量五上的投影向量为 A(5,0,3） B.（-3,0,1 c.（1,0,5 4 【解析】Aa在方上投影向量a= -a9}-小a 5.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠ABC=90°，∠BAC=60°，PA=AB=2, 以点B为原点，分别以BC,BA,AP的方向为，少z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平 面PAB和平面PBC的法向量分别为m和元，则下面选项中正确的是() D A.点P的坐标为0,0,2 B.PC=(4,0,-2) C.可能为(0，-2,2) D.cosm,ix0 【解析】C如图，以点B为原点，建立空间直角坐标系， Z B 因为AB⊥BC,LBAC=60°，AB=2,所以BC=2V3, 则P(0,2,2,C23,0,0,B(0,0,0), 第2页共20页 BC=25,0,0,BP=(0,2,2),PC=(25,-2,-2, 设平面PBC的一个法向量i=(x,y,z, BC·i=2v3x=0 所以x=0,令y=-2,z=2, BP.ii=2y+2z=0 所以平面PBC法向量的可能值为(0，-2,2)， 因为BC1平面PAB,所以平面PAB的一个法向量为m=2V3,0,0, 0 所以cosm,n= 22×2V5=0, 综上可知，只有C正确 6.已知直线1的方向向量为n=(1,2,-2),A3,0,1)为直线1上一点，若点P(4,3,0)为直线 1外一点，则P到直线1上任意一点9的距离的最小值为() A.2 B.5 c.1 D.2 【解析】DPA=3,0,1)-4,3,0)=（-1,-3,1, PA元=（-1，-3,1(1,2，-2）=-1-6-2=-9， PA.n -9 =-3 V1+4+4 、2 PA.n 点P到直线1的距离为 PA =V1+9+1-(-3)2=√2 n 则P到直线1上任意一点Q的距离的最小值为√2 7.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD,中，底面ABCD是菱形，侧面AADD,是正方形， 且∠A,AB=120°，∠DAB=60°，AB=2,若P是CD与CD,的交点，则异面直线AP与 DC的夹角的余弦值为( D 第3页共20页 A3V分 B VG c分 6 14 4 4 14 【解析】A在平行六面体ABCD-AB,CD中， 四边形DD,C,C是平行四边形，侧面AADD,是正方形， 又P是CD,CD的交点， 所以P是CD的中点， 因为DC=AB,∠AAB=120°，∠DAB=60°，AB=2, 所以严=0，+C)=a+而+D+)=杯+G+2而列， 所以APP=AA+AB+4AD+2AAAB+4AAD+4AB.D) 44+44+2x2x202x2×=7。 所以AP=V7, 又DC=2, 所以亚.Dc=杯+丽+2而]Dc=杯+孤+2而)丽 B+8+2DAB) cos120+s60) =2x2-22×2x23 可得0s(,DC= AP.DC 3 3V7 APDC √7×214？ 所以异面直线P与DC的夹角的余弦值为cos(AP,DC)-3Y7 8.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，ABC为腰长为2的等腰直角三角形，且AB>AC, CC,=2,AB=2AE,P为平面ABC内一动点，则PA+PE的最小值是() 第4页共20页 B C B E 3 A. B.√6 C.35 D.26 2 2 5 【解析】B由题意，以C为坐标原点，CA,CB,CC,所在的直线分别为x,y,z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系C-灯z, 则A2,0,2),B(0,2,0,C(0,0,0),A2,0,0),E(1,1,0, 所以CB=(0,2,0),CA=(2,0,2),AA=(0,0,2）, 设A关于平面ABC的对称点为A'(x,y,z,2>0, 则A=(2-x,-y,2-z,AA=(x-2,y,z), 设平面ABC的一个法向量万=(x,y,2), CB.n=0 则 2y=0 2x+22=0’令=1，则i=1,0-), 即 CA·元=01 所以A与A到平面ABC的距离d= a4动AA列_2_上x+ √2√2 即-x+=2①，又AAm,所以 x-2=-2②， y=0 所以由①②得2z-2=2,又由z>0可得x=0,y=0,z=2,所以A'(0,0,2, 所以PA+PE=PA'+PE≥AE=V0-12+(0-12+(2-0)2=V1+1+4=√6， 当且仅当A,P,E三点共线时取等号，所以PA+PE的最小值为√6. 第5页共20页 A B C B E 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知空间向量m=-1,2,4),n=2,-4,x),则下列选项中正确的是() A.当m⊥n时，x=3 B.当m/n时，x=-8 C.当m+=V5时，x=-4 D当x=1时，sin(m,)=3 【解析】BCDA选项，m⊥n,即mn=-2-8+4x=0,解得x 2,A错误， [2=-k B选项，m/1n,设n=km, -4=2k,解得x=-8,B正确： x =4k C选项，m+n=-1,2,4+2,-4,x=1,-2,x+4, 故V1+4+(x+4)2=V5,解得x=-4,C正确： D选项，x=1时，n=2,-4,1, 则cos(m,n）= m…n （-1,2,4）(2,-4,1-2-8+4_ m:风 V1+4+16×V4+16+121 7, 3V5 7 ,D正确 1O.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD, PD=DC=2,O,N分别为DB,PB的中点，M为棱PC上的动点，则() 第6页共20页 A.DN⊥OM B.存在点M,使OMI/面PAD C.OM最小值为V6 2 D.存在两个点M,使OM与AD所成的角为60° 【解析】ABC如图，以D为原点，建立空间直角坐标系 P 则D(0,0,0,N(1,1,1,01,1,0),P(0,0,2,C(0,2,0) M为棱PC上的动点，可设M(0,t,2-t),0≤t≤2 所以DN=(1,1,1,OM=(-1,t-1,2-t. 对A:DN.OM=(1,1,1(-1,t-1,2-t)=-1+t-1+2-t=0,所以DN⊥0M,故A正确； 对B:因为平面PAD的法向量可取n=(0,l,0),由.OM=0→t=1,所以点M为线段 PC中点时，OM/面PAD,故B正确： 对e圆0=广12---唱9当聚等8 故C正确； 对D:由 oMDA1-1,1-1,2-(2,0,0_1 3-5或1=3+5 OM DA2 V2t2-6t+6×2 2 t 2 2 第7页共20页 因为0≤1≤2，所以1=3+V5不合题意，所以使OM与AD所成的角为60°的点M只有 2 1个，故D错误 11.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱ABF-DCE组合而成， AB⊥AF,AB=AD=AF=4,G是CD上的动点.则() G D A.G为CD的中点时，平面EFBC⊥平面BCG B.G为CD的中点时，点E到平面8DG的距离为4 3 C.存在点G,使得直线CF与平面BCG所成的角为60° D.P为ED所在直线的动点，则FP-PG的最大值为2√5+2 【解析】ABD对于A,由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，由圆柱性质 可知BC⊥平面CDG, 又CGc平面CDG,:.BC⊥CG, G为CD的中点，.∠DCG=45°， :AB⊥AF,AB=AF,.∠DCE=∠ABF=45°， ∴.∠GCE=45°+45°=90°，即CG⊥CE 又CE,BCc平面EFBC,且CE∩BC=C,.CG⊥平面EFBC, :CGc平面BCG,:平面EFBC⊥平面BCG.故A正确； 对于B,以A为坐标原点，AF,AB,AD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角 坐标系， 第8页共20页 则E4,0,4),B0,4,0),D(0,0,4, G为CD的中点，G(-2,2,4, 则BD=（0,-4,4),BG=（-2,-2,4), 设平面BDG的一个法向量s=(x,,乙)， -4y1+421=0 -2x-25+4名=0'令y=1,则名=山=1，所以5=1,1，) 则 :DE=(4,0,0),:点E到平面BDG的距离为 已名。3故B正确： 对于C,设点G(-m,n,4),其中0<m≤4,0<n≤4， :G是CD上的动点，弧CGD所在圆的圆心（即线段CD的中点）坐标为0,2,4)，半径 为2， .(-m)2+(n-22=4,即m2=4n-n2 :C(0,4,4),F(4,0,0,∴.CF=4,-4,-4),BC=(0,0,4),CG=（-m,n-4,0), 设平面BCG的一个法向量t=(x2,y2,乙2)， 4z2=0 -m+(n-4到，=0令为=m,则=n-4,马=0，所以i=(n-4,m.0) 则 若直线CF与平面BCG所成的角为60°， CF.7 则sin60=os(示，7 4(n-4)-4m_-V5 羽4W5xn-4+m2' 由m2=4n-m可得n-4=-m,代入上式整理得5m-8.m+5=0, n n n 第9页共20页 由△=64-100=-36<0可知此方程无解， 所以不存在点G,使得直线CF与平面BCG所成的角为60°，故C错误； 对于D,如图， B 以ED为旋转轴将四边形EFAD旋转至四边形EF'CD位置，则平面EF'CD平行于底面， 且FP=FP,F'(4,4,4), 则由三角形两边之差小于第三边可知，当F',G,P三点共线时，FP-PG取得最大值为 F'G, 又弧CGD所在圆的圆心为(0,2,4)，半径为2， 所以F'Gl=4-0)2+(4-2)+(4-4)2+2=2W5+2,故D正确 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(2,-3,1),b=m-1,2,1,且a⊥b,则m= 【解析】由a⊥b可得ab=0, 又因为a=2,-3,1,b=(m-1,2,1, 所以a.b=（2,-3,1m-1,2,1=2×m-1+-3×2+1×1=2m-7=0, 解得m=2 13.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥BC,AB=2,BC=1.点P在线段AC,上，点P 到直线BB,的距离的最小值为 第10页共20页