精品解析：河南省部分学校2025-2026学年高三上学期开学摸底考数学试卷

2026届高三摸底考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，，，则的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 7. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 28 B. 34 C. 40 D. 44 8. 已知O为坐标原点，点F是双曲线的右焦点，过点F且倾斜角为的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18.. 9. 已知曲线，，为了得到曲线，可以将曲线（ ） A. 向左平移个单位，再把得到的曲线各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位，再把得到的曲线各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变 C. 各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位 D. 各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位 10. 设等差数列的前n项和为，公差为d，已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. d可以取负整数 D. 对任意，有 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量x服从两点分布，，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 若随机变量ζ服从二项分布，则 D. 若随机变量η服从正态分布，，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的奇函数，，且当时，则不等式的解集是______. 13. 已知正数，满足，则的最大值是______. 14. 已知函数，若函数使得方程恰有3个不同根，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5大题，共77.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和，满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和 16. 如图1，平面五边形中，，，，，是边长为2的正三角形.现将沿折起，得到四棱锥(如图2)，且. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17. 某网站的调查显示，健身操类､跑步类､拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面.从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示. 平均每天健身时间(分钟) 人数 20 36 44 50 40 10 （1）若这200名会员的平均体重减少不低于，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？(每组数据用该组区间的中点值作代表) （2）请根据图中数据填写下面的列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？ 平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计 健身前体重低于 健身前体重不低于 80 合计 200 （3）以这200名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能(即概率最大)是多少？ 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知圆交抛物线与，两点，过劣弧上一点作圆的切线交抛物线与，两点，求的取值范围． 19. 已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设. （1）求的值； （2）如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点. （3）若，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三摸底考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出集合，然后由集合的运算对选项进行逐一判断. 【详解】集合， 所以,不正确，即选项不正确. ,则，所以选项不正确. ,则，所以选项正确. 故选：D 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则化简复数，然后根据共轭复数概念写出共轭复数. 【详解】， 故 故选：B 3. 已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件平方求出，利用向量在向量上的投影公式计算即可. 【详解】， ， ， 是单位向量， ， 在方向上的投影为， 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，向量在向量上的投影公式，属于中档题. 4. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数型函数恒过定点的性质判断，的值，进而确定各选项对错. 【详解】因为，所以，即，， 则，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误． 故选：B. 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还 是负，从而确定所比值的大小．分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准． 5. 在中，角，，的对边分别为，，，，，则的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可. 【详解】，可得， 为内角 ， 故选：B 6. 某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】选取2道题捆绑作为一道题，变成3题后进行全排列分配给3人即可得． 【详解】由题意分配方案种数为． 故选：C． 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 7. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 28 B. 34 C. 40 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果. 【详解】因为， 所以由，可得 所以， 所以， 故选：D 8. 已知O为坐标原点，点F是双曲线的右焦点，过点F且倾斜角为的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题目条件，结合等边三角形的特点，可确定出点的坐标为，易证为直角三角形，可得，利用双曲线的定义求出，然后求解离心率即可． 【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为，若为正三角形，且， 则易得．又，则，所以， 根据双曲线的定义可知：， 所以离心率. 故选：C． 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，难度一般. 解答时，注意数形结合，注意图形中几何条件的运用，列出关于的关系式，然后求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18.. 9. 已知曲线，，为了得到曲线，可以将曲线（ ） A. 向左平移个单位，再把得到的曲线各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位，再把得到的曲线各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变 C. 各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位 D. 各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换的规则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，将函数的图象向左平移个单位，可得，再把得到的曲线各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得，所以A不正确； 对于B中，将函数的图象向左平移个单位，可得，再把得到的曲线各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，所以B正确； 对于C中，将函数的图象上各点横坐标缩短为原来的倍，可得，再把得到的曲线向左平移个单位，可得，所以C不正确； 对于D中，将函数的图象上各点横坐标缩短为原来的倍，可得，再把得到的曲线向左平移个单位，可得，所以D正确； 故选：BD. 10. 设等差数列的前n项和为，公差为d，已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. d可以取负整数 D. 对任意，有 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【详解】因为， 所以， 即 所以， 由得， 联立可解得 ， 故等差数列是单调递减的，且， 所以对任意，有 综上可知BD正确， 故选：BD 【点睛】关键点点睛：由，解得，是求解本题的关键所在，由此结合条件求出的范围，判断数列的单调性，求出，属于中档题. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量x服从两点分布，，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 若随机变量ζ服从二项分布，则 D. 若随机变量η服从正态分布，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两点分布的期望公式，方差公式，二项分布概率公式，正态分布的对称性，判断选项. 【详解】由条件可知，，，故A正确； ，故B错误； 若随机变量ζ服从二项分布，则，故C错误； 根据对称性可知，正态分布曲线关于对称，所以，故D正确. 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的奇函数，，且当时，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】 设，则为偶函数，由， 则在是上单调递增，在是上单调递减，设，即求解，分和两种情况解不等式和. 【详解】设，由 当时，即，所以在是上单调递增. 为奇函数，则为偶函数，在是上单调递减 ,即（） 设，当时，，即 由，为奇函数，则，所以 由在是上单调递增，，所以，即，所以 当时，，即 由，则，根据在是上单调递减 所以当时，则，即，所以 综上所述：不等式的解集是： 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查构造函数讨论单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数，由结合条件和奇偶性得出其单调性， 属于中档题. 13. 已知正数，满足，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，同时根据均为正数确定的取值范围，利用基本不等式可求得，解不等式可求得结果. 【详解】设，则， 均为正数，，解得：； 则（当且仅当，即时取等号）， 又，当，时，取得最小值； ，即，解得：，满足， 的最大值为. 故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题考查基本不等式的应用，解题关键是能够利用换元法配凑出符合基本不等式的形式，从而构造出关于的不等式. 14. 已知函数，若函数使得方程恰有3个不同根，则实数的取值范围为______. 【答案】或 【解析】 【分析】把方程有三个根的问题转化为函数图象有三个交点问题，运用数形结合思想、分类讨论思想进行求解即可. 【详解】由已知得的图象如图(1). （1）当时，要使得方程恰有3个不同根， 则需存在，使得，即. 又，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，当时， 的图象如图(2)， 故. （2）当时，由图(1)知需与函数相切. 设切点为，则， 即过点， 故，解得. 因为，故.所以. （3）当时，显然符合题意. 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或 【点睛】方法点睛：关于方程根的问题转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解. 四、解答题：本大题共5大题，共77.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和，满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由可求得，利用求得的递推关系，得数列为等比数列，从而易得通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】（1）当时，当时， 得，，是以1为首项-2为公比的等比数列，. （2） 两式相减得： ， . 16. 如图1，平面五边形中，，，，，是边长为2的正三角形.现将沿折起，得到四棱锥(如图2)，且. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：由已知得，，因为， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）存在点，. 【解析】 【分析】（1）推出，，而得出平面，再由面面垂直的判定定理即可证明. （2）假设存在点为的中点，设的中点为，连接，，可推出四边形是平行四边形，从而得出，即可求得平面.由此能求出在棱上存在点，使得平面，此时. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在棱上存在点，使得平面，此时. 理由如下： 假设存在点为的中点， 设的中点为，连接，， 则，. 因为，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以. 因为平面，且平面， 所以平面. 所以在棱上存在点，使得平面，此时. 【点睛】 本题主要考查面面垂直的判定定理和线面平行的判定定理. 17. 某网站的调查显示，健身操类､跑步类､拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面.从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示. 平均每天健身时间(分钟) 人数 20 36 44 50 40 10 （1）若这200名会员的平均体重减少不低于，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？(每组数据用该组区间的中点值作代表) （2）请根据图中数据填写下面的列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？ 平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计 健身前体重低于 健身前体重不低于 80 合计 200 （3）以这200名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能(即概率最大)是多少？ 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）该计划有效； （2） 平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计 健身前体重低于 40 20 60 健身前体重不低于 60 80 140 合计 100 100 200 ，有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关； （3）人数最有可能是3人. 【解析】 【分析】（1）根据柱状图，采用中间值对应频率求和的方法计算平均体重，然后作差比较判断是否有效; （2）由题意填表，代入公式计算即可； （3）从柱状图中计算会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为，设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，表示当时概率的值，利用概率最大计算出的值即为最有可能的人数. 【小问1详解】 柱状图（1）中的体重平均值为. 柱状图（2）中的体重平均值为. 因为，所以该计划有效. 【小问2详解】 列联表如下： 平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计 健身前体重低于 40 20 60 健身前体重不低于 60 80 140 合计 100 100 200 的观测值为. 所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关. 【小问3详解】 由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为． 设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则， ，，1，2，…，12． 得 得 化简得，又，所以， 即12名会员中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能是3人． 【点睛】方法点睛：（1）柱状图中均值的计算：每组组距中间值对应频率，然后求和； （2）概率最大的求法：设时，概率取得最大值，则代入概率公式可计算出概率最大时的值. 18. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知圆交抛物线与，两点，过劣弧上一点作圆的切线交抛物线与，两点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线上点的点的坐标建立方程组求解即可； （2）当直线斜率不存在时直接计算，当直线斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切可得关系，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理及抛物线定义可得，换元后求范围即可. 【详解】（1）设抛物线的方程为，将坐标代入方程得，① 又，② 由①，②解得，所以抛物线的方程为． （2）由题意可得、两点坐标分别为， 当直线斜率不存在时，， 当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，，， 由直线与圆相切，得，即，且， 所以， 在劣弧上，所以，由图象的对称性不妨研究， 联立，化简得， 有韦达定理得， 由抛物线的定义可得 ， 设，，， ， 对称轴为，在上单调递增， 所以， 综上，． 【点睛】关键点点睛：利用抛物线定义及韦达定理得到，对该式合理变形，利用换元法，结合二次函数的性质求出值域，是解决本题的关键，也是难点，属于难题. 19. 已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设. （1）求的值； （2）如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点. （3）若，且，求证：. 【答案】（1） （2） 当，时，有极小值点；当，时，有极小值点，极大值点. （3） ，， ； 令，则， （当且仅当时等号成立）， ，即. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集可知与是方程的两根，利用韦达定理可构造方程求得的值； （2）对求导后，将问题转化为研究的根的分布；分别在和的情况下，得到，求得方程的根之后，根据根所处的范围可得到单调性，由此可得极值点，并得到满足题意的的范围； （3）利用二项式定理展开所证不等式左侧，整理得到，采用倒序相加法，结合基本不等式可求得，由此可整理得到结论. 【小问1详解】 由得：， 即， 的解集为， 与是方程的两根，，解得：. 【小问2详解】 由（1）得：， ， 则定义域为，， 方程的判别式； ①当时，，方程的解为：，， ，， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 有极小值点，此时； ②当时，由得：或； ，的对称轴为； （i）若，则，， 则当时，，在上单调递增，没有极值点； （ii）若，则，且， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 有极小值点，极大值点； 综上所述：当，时，有极小值点；当，时，有极小值点，极大值点. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值点、利用二项式定理证明不等式等知识；本题证明不等式的关键是能够采用倒序相加法，化简所证式子，结合基本不等式和二项式系数和的运算性质证得不等关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $