精品解析：山东省烟台市第二中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学开学考试 一､单选题 1. 已知集合，集合，则（       ） A. B. ⫋ C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两个集合，再判断两个集合的关系. 【详解】因为，所以，即，故， 因为，且，得， 所以为的真子集，故， 因此为的真子集， 故选：B. 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限. 故选：C. 3. 已知角第二象限角，且，则角是（       ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限． 【详解】因为角第二象限角，所以， 所以， 当是偶数时，设，则， 此时为第一象限角； 当是奇数时，设，则， 此时为第三象限角.； 综上所述：为第一象限角或第三象限角， 因为，所以，所以为第三象限角． 故选：C． 4. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，，则在上的投影向量为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】， ， ， 在上的投影何量为， 故选：C 6. 若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】的对称轴为；结合单调性可得，然后求解即可. 【详解】因为，所以的对称轴为， 又在上单调递减，则在上单调递增， 又因为，由对称性可得， 所以，，即. 故选：D 7. 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为,角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】通过分析可知当时，点  到  轴距离为，于是可以排除答案A，D； 再根据当时，可知点  在  轴上此时点  到  轴距离  为 0 ，排除答案 B 故选C. 8. 函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 上单调递增， 在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 二､多选题： 9. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 而，因此不能取等号，D错误. 故选：BC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论． 【详解】由函数的部分图象可知：， 又因为，即结合函数的单调性可得 ,故A错误； 即所以, 故B正确； 所以． 对于选项C：当时，可得， 所以的图象关于直线对称， 故C正确； 对于选项D： 当时，， 所以，即，故D错误； 故选：BC． 11. 已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 在的外接圆上，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，判断A；根据面积公式计算三角形的面积，判断B；利用正弦定理计算，判断C；设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值，判断D. 【详解】在三角形中，由余弦定理， ，故，故正确； 在中，由余弦定理得：， ，故正确； 由余弦定理可知：，， 平分，， ， 在三角形中，由正弦定理可得：， 故，故不正确； ，，，， ， 为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1， 显然当取得最大值时，在优弧上． 故，设，则，， ， ，， ，其中，， 当时，取得最大值，故正确． 故选：． 三､填空题： 12. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，f（x－1）是奇函数，且当时，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由函数f(x)是定义在R上的偶函数及f（x－1）是奇函数得到函数的周期，进而根据函数的性质求得答案. 【详解】根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则有f（－x）＝f(x)，又f（x－1）是奇函数，则f（－x－1）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝f[－（x＋2）]＝f[－（x＋1）－1]＝－f[（x＋1）－1]＝－f(x)，即f（x＋2）＝－f(x)，则有f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，则，，故． 故答案为：1. 13. 已知 ，则 ______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变形，即可求解出，再把弦化切，即可求出结果. 【详解】由可得：， 化简得：， 因为，所以， 则，即， 而， 故答案为：. 14. 设函数，若，则的最小值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据恒成立得出条件等式，即可构造函数，再借助导数研究其最小值即可得. 【详解】当时，，则，即， 当时，，则，即， 即有，即， 则，令，， ， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为. 故答案为：. 四､解答题 15. （1）求的最小正周期､单调递增区间 （2）在区间有两个不等的实根，求m的范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，再求函数的周期与单调增区间即可； （2）由得，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 由题意有， 所以， 所以的最小正周期为， 令， 所以， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由有， 作出的图像： 由图可知，在区间有两个不等的实根， 所以 所以. 16. 在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，整理成余弦定理的推论，求出的值即可求解； （2）利用正弦定理表示出，再利用辅助角公式结合正弦型三角函数的性质求范围即可． 【小问1详解】 在锐角三角形中，因为， 所以由正弦定理得， 故，即，即，即， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． 【小问2详解】 因为，由正弦定理， 所以，， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 所以，所以， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 17. 满足： （1）求角的大小； （2）为的中点，且，求的最大值 （3）若为外一点，，求四边形面积的最大值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化为边，再利用余弦定理即可求解； （2）在中，利用余弦定理和基本不等式即可求解； （3）设，在中，由余弦定理得，四边形的面积为，利用三角恒等变换化简得，最后利用三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 根据题意由正弦定理有：，即， 由余弦定理有，又， 所以； 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理有：， 所以， 所以 当时，即时，等号成立， 的最大值为； 【小问3详解】 设，在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以为等边三角形， 所以四边形的面积为 ， 当时，即时，， 所以四边形的面积最大值为. 18. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 【答案】（1）， ；（2）． 【解析】 【详解】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法. 详解： 解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10． 过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ， 故OE=40cosθ，EC=40sinθ， 则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）． 当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD， 所以sinθ的取值范围是[，1）． 答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3， 设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0）， 则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）． 设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，）， 则． 令，得θ=， 当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数； 当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数， 因此，当θ=时，f（θ）取到最大值． 答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题. 19. 已知函数 （1）当时，讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） 在上单调递增,在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【小问1详解】 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 【小问2详解】 设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学开学考试 一､单选题 1. 已知集合，集合，则（       ） A. B. ⫋ C. D. 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知角第二象限角，且，则角是（       ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，则在上的投影向量为（） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为,角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题： 9. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 11. 已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 在的外接圆上，则的最大值为 三､填空题： 12. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，f（x－1）是奇函数，且当时，，则________． 13. 已知 ，则 ______________. 14. 设函数，若，则的最小值为_________. 四､解答题 15. （1）求的最小正周期､单调递增区间 （2）在区间有两个不等的实根，求m的范围 16. 在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，求周长的取值范围． 17. 满足： （1）求角的大小； （2）为的中点，且，求的最大值 （3）若为外一点，，求四边形面积的最大值 18. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 19. 已知函数 （1）当时，讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $