精品解析：山东省济宁市实验中学2026届高三上学期开学考试数学试题

2025—2026学年度第一学期高三开学考数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合A的所有真子集的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 2. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 3. 下列函数在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数性质判断的单调性，根据反比例函数的性质判断B，根据二次函数性质判断D，根据复合函数单调性判断法则判断C. 【详解】上单调递增； 在单调递减，单调递减， 但，，所以函数不在定义域内单调递减； 在单调递减，单调递增，不在定义域内单调递减； 函数在内为减函数，，函数在内为增函数， 所以函数在定义域内为减函数， 故选：C. 4. “函数的定义域为R”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域得到，结合与的关系得到答案. 【详解】定义域为R，即恒成立，故， 由于时一定满足，但时不能得到， 所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】A 【解析】 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，． 不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 6. 设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围. 【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. 7. 已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以①正确； 变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以②正确； 若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以③错误； 若不等式的解集为，即的解集为， 由韦达定理知：， 则，解得， 所以④正确. 综上，正确的为：①②④ 故选：C 8. 设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（ ） A. 3，1 B. 4，1 C. 5，2 D. 7，2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义求得其解析式，画出函数图象根据最值即可得出区间长度的取值范围. 【详解】由题意得其图象如下图所示： 令得； 令得或1. 当，时，取得最大值4； 当，时，取得最小值1 所以的最大值和最小值分别为4，1. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分、有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 与表示同一函数 C. 函数的值域为 D. 若是奇函数，当时，，则时， 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，分别判断“”能否推出“”和“”能否推出“”，结合充分条件和必要条件的定义判断结论，对于B，求两函数的定义域化简函数解析式，结合函数相等的条件判断结论，对于C：设，将已知函数转化为二次函数，根据二次函数性质求值域即可判断，对于D，结合奇函数性质求时的解析式，即可判断. 【详解】对于A，当，时，满足，但，，此时， 所以由不能推出，所以“”不是“”的充分条件. 当时，即，则有或， 所以或或， 所以由不能推出，“”不是“”的必要条件， 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，A错误. 对于B，函数，其定义域为， 当时，；当时，. 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数，B错误. 对于C，令，则，. 那么可转化为，， 当时，取得最大值，. 所以函数的值域为，C正确. 对于D，因为是奇函数，所以， 又当时，， 所以当时，可得， ，D正确， 故选：CD. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明A选项错误；利用不等式的基本性质判断BC的真假；结合对数的运算，利用基本不等式判断D的真假. 【详解】对A：如，，但不成立，故A错误； 对B：由，又，所以，即，故B正确； 对C：因为：，所以，故C正确； 对D：由，所以，又，所以且. 所以，因为，所以“”不成立.故D正确. 故选：BCD 11. 已知对任意，且，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值，函数的奇偶性、对称性和周期性，逐步推导函数的各项性质，以及利用这些性质进行求和，进而判断选项的正确性. 【详解】由题意得任意，，且， 令，则，则， 令，则，故A正确； 令，则， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 令，则， 由题意不恒为0，则， 即，故为奇函数， 又，则， 所以， 则是以2为周期的函数，所以，故B错误； 而，则， 所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，，则（3）__. 【答案】. 【解析】 【分析】 利用待定系数法求出函数的解析式，再代入求值即可. 【详解】解：设幂函数为常数）， 幂函数的图象过点，， ，， ， （3）， 故答案为：. 13. 设函数定义域为，，当时，．若，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可求得的周期为12，利用对称性质结合且，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性及对称性求出的值． 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 所以，所以，所以函数周期是， 由可知， 又可知，所以， 由及可知，所以， 所以，结合，求得， 所以当时，． 所以． 故答案为： 14. 已知正实数、、满足，则的最小值为______，的最小值为______. 【答案】 ①. ； ②. ## 【解析】 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 四、解答题：本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合． （1）求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由补集的定义求解即可； （2）由“”是“”的充分不必要条件可得是的真子集，再由真子集的定义列不等式，解不等式即可得出答案. （3）由命题“，则”是真命题可得，分类讨论和，再由子集的定义列不等式，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 因为，所以或. 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集， 又，， 因此或， 解得:. 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 命题“，则”是真命题，则有, 当时，，解得，符合题意，因此 当时，而， 则，无解， 综上所述，实数的取值范围. 16. 已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）3 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【小问1详解】 若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； 【小问2详解】 由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 17. 已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足． （1）求与的解析式； （2）求证：在区间上单调递增； （3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），． （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题及奇偶函数性质可得，据此可得答案； （2）证明对，且，即可； （3）令，由题可得，将问题化为对于恒成立，据此可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 因为为偶函数，为奇函数，所以， 因为，所以， 所以，． 【小问2详解】 对，且， 因为，，所以. 所以在上单调递增； 【小问3详解】 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 令，， 所以对于恒成立， 所以， 对于恒成立，即， 因为，当且仅时等号成立， 所以. 18. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1）， （2）当时，取得最大值，且最大值为115万元 【解析】 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. 【小问2详解】 由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 19. 若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． （1）已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． （3）运用第（2）问的结论，求的值，其中． 【答案】（1），. （2）是中心对称函数，且对称中心为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称性，利用赋值法即可求出，的值； （2）由定义列，化简后令系数为0，求解m、n,，根据是否有解做出结论； （3）利用函数对称性的性质化简后利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 当时，，， ， ， 【小问2详解】 若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立. ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 为了使等式对所有 成立，系数必须分别等于零： ，解得： 是中心对称图形，且对称中心是. 【小问3详解】 由（2）知，；， 经检验，时，一致；时，一致， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高三开学考数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合A的所有真子集的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 2. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列函数在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. “函数的定义域为R”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 6. 设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③ 8. 设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（ ） A. 3，1 B. 4，1 C. 5，2 D. 7，2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分、有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 与表示同一函数 C. 函数的值域为 D. 若是奇函数，当时，，则时， 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知对任意，且，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，，则（3）__. 13. 设函数定义域为，，当时，．若，且，则______． 14. 已知正实数、、满足，则的最小值为______，的最小值为______. 四、解答题：本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合． （1）求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知二次函数． （1）若解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 17. 已知定义在实数集上偶函数和奇函数满足． （1）求与的解析式； （2）求证：在区间上单调递增； （3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围． 18. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 19. 若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． （1）已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． （3）运用第（2）问的结论，求的值，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $