4.5.1函数的零点与方程的根(2课时)课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点的定义及零点存在性定理，课堂导入通过指数函数、对数函数图像与直线交点实例引出方程根与函数零点的关系，温故知新用表格对比函数、方程根、零点及图像交点，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点是以图像观察和问题辨析为核心，通过探究二次函数在区间上的零点存在条件培养数学眼光，借助定理辨析题发展数学思维的逻辑性，用符号语言精确表述提升数学语言能力。实例丰富如判断零点区间的多种方法，助力学生深化理解，也为教师提供系统的教学资源和分层练习设计。

第一课时 零点存在性定理 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的根 引入 函数y=f(x) 方程f(x)=0的根 函数f(x)的零点 函数f(x)的图象与x轴的交点 y=x2-3x+2 x1=1, x2=2 1和2 (1,0) (2,0) y=x+1 x1=x2=1 1 (1,0) y=x2-2x+3 无实数根 无零点 无 y=2x-4 x=2 2 (2,0) y=lg x x=1 1 (1,0) y=3x-1 x=0 0 (0,0) 方程x2－4=0的根是2和-2 函数f(x)的图象与x轴的交点横坐标是2和-2 函数f(x)=x2－4的零点是2和-2 温故知新 函数 y=f(x)的图象与x轴有交点 1.函数零点的定义:方程f(x)=0的实数根x叫做函数f(x)的零点. 如:已知f(x)=x2-2x-3 注：(1)零点是数，不是点 方程x2-2x-3=0的解是-1和3 所以f(x)的零点是-1和3 (根的个数) (零点个数) (交点个数) (2)方程 f(x)=0有实数根 函数 y=f(x)有零点 新知一：零点的定义 错 [辨析1]判断下列选项是否正确 (1)函数 的零点是函数图象与x轴的交点. (2)若函数 与函数 有交点,则方程 与实数根. (3)二次函数 恒大于零，则函数无零点. (4)方程 无实数根. 对 对 错 零点是0，2，-2 新知一：零点的定义 [探究](1)观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象: 在闭区间[-2,1]上,f(-2)>0,f(1)<0,f(-2)·f(1)<0 在闭区间[2,4]上,f(2)<0,f(4)>0,f(2)·f(4)<0 . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 －2 4 (2)观察对数函数f(x)=lgx的图象: 在闭区间[0.5,1.5]上, f(0.5)<0, f(1.5)>0,f(0.5)·f(1.5)<0 x y 0 1 2 1 . . . 在开区间(-2,1)上,x＝-1是x2-2x-3=0的一个根; 在开区间(2,4)上, x＝3是x2-2x-3＝0的另一个根. 在开区间(0.5,1.5)上，x=1是lgx=0的一个根. 探究 [探究](3)再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用f(x)的取值刻画这种关系的方法. 在端点a,b的函数值异号，即f (a)·f (b)<0 函数在区间[a,b]上有零点： 零点附近的区间[a,b]上的函数图象连续不断且“穿过”x轴(一上一下) 探究 2.零点存在性定理:若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有1个零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0；此时c是方程f(x)=0的根. x y 0 a b c 新知二：零点存在性定理 [辨析2](1)对于函数y=x﹣1,在区间(-1,1)上,有f(-1)·f(1)<0,故函数在(-1,1)内有零点.( ) × f(x)在(-1,1)上不连续 (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.( ) × (3)若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a,b)内有1个零点.( ) × 巩固 条件：①f(x)在[a,b]连续; ②f (a)·f (b)<0 结论：函数f(x)在(a,b)内至少有1个零点. ①两个条件缺一不可； 若二缺一，则f(x)在(a,b)内可能有零点、也可能无零点. ②其逆定理不成立. 即:若f(x)在(a,b)内有零点，f(a)·f(b)<0不一定成立. 2.零点存在性定理:若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有1个零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0；此时c是方程f(x)=0的根. 新知二：零点存在性定理 [练习2](1)已知函数y＝f(x),x∈R的图象连续不断，若f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定区间__________必有零点. (1.25,1.5) (2)据表中数据，可判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(　　) A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 f(-1)=0.37-1<0 f(0)=1-2<0 f(1)=2.72-3<0 f(2)=7.39-4>0 f(3)=20.09-5>0 C 设f(x)=ex－(x+2) 考点一：判断零点所在区间 [例1](多选)方程ex－x－2＝0的根所在区间为( ). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2) (法1)令f(x)=ex－x－2， f(0)=e0－0－2=-1<0， f(1)=e1－1－2=e－3<0， f(2)=e2－2－2=e2－4>0. (法2)ex－x－2＝0的根 ⇔ex=x－2的根 ⇔y=ex和y=x－2的交点横坐标 f(-2)=e-2+2－2=e-2>0， f(-1)=e-1+1－2=e-1-1<0， AD 画图 检验f(-2)·f(-1)<0 及f(1)·f(2)<0 考点一：判断零点所在区间 B C 考点一：判断零点所在区间 1个 若函数f(x)在[a,b]上单调并连续，且f(a)·f(b)<0，则零点若存在必唯一. 考点二：确定零点个数 2 [练习5]函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点( ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 考点二：确定零点个数 [例3]若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间(－1,1)上存在1个零点，则a的取值范围是____. [变式]若函数f(x)＝3ax2－2x＋1在区间(－1,1)上存在2个零点， 则a的取值范围是____. 考点三：由零点个数求参数 考点三：由零点个数求参数 第二课时 专题:一元二次方程的实根分布问题 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的根 两根与0比较(a>0)： 两个负根 两个正根 一正根一负根 两个负根 两个正根 一正根一负根 两根与0比较(a<0)： 开口系数±、△、 对称轴、临界点函数值± 类型一：判别式+韦达定理 类型一：判别式+韦达定理 类型一：判别式+韦达定理 两根与k比较(a>0)： 两根都 小于k 两根都 大于k 一根大于k 一根小于k 两根都 小于k 两根都 大于k 一根大于k 一根小于k 两根与k比较(a<0)： 开口系数±、△、对称轴、临界点函数值± 类型二：判别式+对称轴+零点存在性定理 两根在区间上的分布(a>0)： 两根都在(m,n)内 一根在(m,n)内 一根在(p,q)内 x1<m且x2>n 开口系数±、△、 对称轴、临界点函数值± 类型二：判别式+对称轴+零点存在性定理 类型二：判别式+对称轴+零点存在性定理 类型二：判别式+对称轴+零点存在性定理 解析:由题意知,函数f(x)=x2+(a-1)x+a+2开口向上,若-1<x1<1,1<x2<2, 解得- <a<-1.故选A. 类型二：判别式+对称轴+零点存在性定理 (-5,-1) 解得-5<m<-1. 故实数m的取值范围是(-5,-1). 类型二：判别式+对称轴+零点存在性定理 未完待续…… 则有即 解析:由题意得即 $