4.5.1方程的根与函数的零点课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点与方程的解，涵盖零点概念、存在性定理、个数判断及参数取值等核心内容。课堂导入通过中外数学家解方程的历史（如秦九韶、塔塔利亚等成就），衔接“函数的应用(一)”，搭建从历史到现代的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点是融入数学史激发兴趣，通过探究活动（如二次函数零点特征分析）培养数学思维。采用数形结合（方程解转化为函数交点）、分类讨论等方法，结合实例（如lnx+2x-6=0零点个数判断），发展学生抽象能力和推理意识。学生能提升探究能力，教师可高效开展教学。

4.5函数的应用(二) 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 在“函数的应用(一)”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法. 本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法. 在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座. 虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2 一元二次方程的解法 花拉子模的几何解法 中国的“开带从平方法” 古希腊的配方法：公元100年海伦－－ 200年丢番图完成 佛兰西斯韦达（法国数学家，法学家，外交家，国王参谋长，1540－－1603）：根与系数的关系 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 韦达：把所有空闲时间花在数学研究上，可以连续几天几夜不睡觉。数学狂人。 3 一元三次方程的公式解 人们寻找象一元二次方程那样的公式解 当时认为它比圆化方还难 16世纪，意大利的波罗拉学派的弗罗（1465~1562） 得出 的解。但是未公布 30岁的尼科拉方丹纳（意大利布雷西亚青年，1500～1557）绰号“塔塔利亚”（结巴）：给出一元三次方程的公式解 卡丹（16世纪意大利数学家） 1539年求教与塔氏（拜倒在塔塔利亚面前），并同意保密，得到手稿。 卡丹的仆人费拉里的成就：一元四次方程的解法 1545年卡丹发表《大衍术》(收藏于《重要的艺术》)（Ars Magna)公开塔氏费氏成果，引发数学史的第一次公案. 事情远未结束：五次以及五次以上的方程呢？ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法,是具有世界先驱意义的首创。 今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 4.5.1函数的零点与方程的解 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系． 2.会借助函数零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间． 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． 4.会根据函数零点(方程的根)情况求参数(取值范围)（一元二次方程的根的分布情况）. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点. 像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否有类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况？ 例如，方程x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10，,则二次函数f(x)=y=x2－12x+20的零点就是2和10 x y o 2 10 在图象上显示为 函数图象与x轴有交点横坐标 就是方程 f(x)=0的实数根。 思考 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 注意： 零点是点吗? 问题 如何求函数的零点？ 函数y=f(x)的零点， 就是方程f(x) =0的实数根 也就是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标 (2) 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 (1) 零点是一个实数，不是点； 与二次函数的零点一样， 1、函数零点的概念 学习新知1 代数法 几何法 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 应用新知1 求下列函数的零点： 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. (2)f(x)＝(lg x)2－lg x. 函数f(x)的零点是1,10. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 反思感悟 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征,以及零点附近函数值的变化规律入手分析． 对于二次函数 f (x)=x2－2x－3，观察它的图象， 发现它在区间[2，4]上有零点． 这时，函数图象与x轴有什么关系？ 在区间[－2， 0]上是否也有这种关系？ 你认为应如何利用函数f (x)的取值规律来刻 画这种关系？ 再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在 区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用 f (x)的取值刻画这种关系的方法． 探究新知2 探究 2 1 1 -2 2 -1 3 4 -1 -2 -3 -4 0 y x 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴． 函数在端点x=2和x =4的取值异号， 即 f(2) f(4)<0， 函数f (x)=x2－2x－3在区间(2, 4)内有零点x =3，它是方程x2－2x－3=0的一个根． 同样地，f (－2) f (0)<0，函数 f (x)=x2－2x－3在(－2， 0)内有零点x=－1，它是方程x2－2x－3=0的另一个根． 探究新知2 2 1 1 -2 2 -1 3 4 -1 -2 -3 -4 0 y x 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 13 x a c b x b a 如果函数y＝f(x)在闭区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在开区间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根. 学习新知2 2：零点存在性定理 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 14 思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？ 0 y x 思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？ 0 y x “在给定区间[a,b]上连续”和 “f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可 思考3：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？ x y 0 “在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 问题4 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？ 函数零点存在定理可以证明函数至少有一个零点， 但不能判定零点的个数。 需要结合图象与性质 在(a,b)上单调递增(减) 在(a,b)上只有1个零点 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 习题4.5 （第155页） x 1 2 3 4 5 6 y 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064 应用新知 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 应用新知 1、函数零点个数的问题 例1 求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数. 解：设f(x)=lnx+2x－6， 用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象 －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x f（x） 由表和图象可知 f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)·f(3)<0， 说明这个函数在区间(2,3)内有零点。 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数， 所以它仅有一个零点。 即方程lnx+2x－6=0的只有一个实数解 . . . . . . . . . x 0 －2 －4 －6 10 5 y 2 4 10 8 6 12 14 8 7 6 4 3 2 1 9 这种做法你认为方便判断吗？ 你还有其他办法判断吗？ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 x y 0 1 y=ln x 3 应用新知 1、函数零点个数的问题 例1 求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数. 【解析】方程lnx+2x－6=0的实数解的个数， 等价于方程lnx=－2x+6的实数解的个数， 等价于方程组y=lnx，y=－2x+6的实数解的个数， 等价于函数y=lnx与函数y=－2x+6图象交点的个数， 如图，两个函数的图象交点个数为1， 即方程lnx+2x－6=0有1个实数解． 对于实数解的个数转化成两个函数图象的交点个数问题 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 √ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 反思感悟 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)直接解方程，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点. (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数. (3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2、根据函数零点(方程的根)情况求参数(取值范围) 应用新知 1. 若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于 A.－2 B.1 C.－2或1 D.0 √ 数形结合 √ 。 数形结合 分离参数 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 根据函数零点(方程的根)情况求参数(取值范围)常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解. 反思感悟 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 习题4.5 （第156页） 解析：不正确 拓广探索 法1 分类讨论 法2 分参 +数形结合 显然 则>1或<-1 24 4 >1或<-1 作出的图象 结合图象得 即 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 3、一元二次方程根的分布问题 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0) 的两实根分别为x1,x2 则相应的函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a> 0), x1，x2的常见分布如下: 通常考虑以下几个方面： ①对称轴 ②开口方向 ③判别式 ④区间端点处的函数值符号 应用新知 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 根的分布 相应函数的可能图象 满足条件 x x1 x2 k x x1 x2 k x x1 x2 k x x1 x2 k1 k2 反映数形结合思想 具体问题时先根据题意画出相应函数所有可能的图象，再看图寻找满足的条件 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例题、已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0. (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围； 设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6， （1）f(x)的大致图象如图所示，则 ∴f(2)<0， 即4＋4(m－1)＋2m＋6<0， 得m<－1， ∴实数m的取值范围为(－∞，－1). 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 (2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围； （2）f(x)的大致图象如图所示，则 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 课堂总结 方法与能力 特殊到一般 数学抽象 数形结合 数学应用 数学运算 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听！ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. (1)f(x)＝ (2)已知函数f(x)＝ 若k＞0，则函数y＝|f(x)|－1的零点个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 变式(1)方程 的实数解有（ ）个. 2．若方程 在 内恰有一解，则 的取值范围（ ） A． B． C． D． ∴ 解得－<m<－， ∴实数m的取值范围为. $