4.4.2 对数函数的图象和性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质 对数函数的特征 ①底数a为大于0且不等于1的常数． ②自变量x在真数的位置上,且x的系数是1. ③logax系数是1. ①若两函数互为反函数，则定义域和值域互换，且图象关于y=x对称. ②互为反函数的两个函数具有相同的单调性. 温故知新 让我们回顾一下前面研究指数函数图象、性质的过程和方法： 图象 值 域？ 单调性？ 奇偶性？ 过定点？ 定义域？ 温故知新 -1 0 -2 -3 -4 4 3 2 1 2 4 1 8 16 x y y=log2x (1)两者图象之间有什么关系？ (2)一般地，函数y=f(x)与y=-f(x)的图象之间有什么关系？ 探究 a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 定义域：______ 值域：______ 定点：______,即当x＝___时，y＝___. 在(0,+∞)上是___函数 在(0,+∞)上是___函数 x y O 1 x y O 1 增 减 新知一：对数函数的图象和性质 规律:在第一象限内,从左向右图象所对应的对数函数的底数逐渐变大. 底大图右 新知一：对数函数的图象和性质 新知一：对数函数的图象和性质 解对数不等式：化同底+单调性 考点一：解对数不等式 考点一：解对数不等式 考点一：解对数不等式 结合图象或单调性 考点二：比较大小 考点二：比较大小 < >0 <0 <0 <0 <0 < 考点二：比较大小 解： ∵ 1.6<1.8，0<0.7<1， (法2)作图∵ 3<3.5，2>1， 考点二：比较大小 > < 考点二：比较大小 考点二：比较大小 c<a<b (作差法) (作商法) 考点二：比较大小 比较对数的大小的方法 (1)同底数比较大小时构造对数函数，根据其单调性比较. (2)真数相同底数不同时分别画出不同底数的对数函数图象，当x取相同真数时可观察出函数值的大小. (3)底数、真数都不相同时，取与其中一底数相同与另一真数相同的对数与两数比较，或借助“0”与两数比较. (4)当底数含参数时，要按底数>1和0<<1两种情况分类讨论. 考点二：比较大小 考点三：求对数型函数的值域 考点三：求对数型函数的值域 f(x)=logag(x)型 定义域 g(x)单调性 f(x)单调性 a 考点四：复合函数的单调性 考点四：复合函数的单调性 考点四：复合函数的单调性 外层函数y=f(μ) 内层函数μ=g(x) y=f[g(x)] 增 减 增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 增 减 减 增 内外层函数单调性相同时，复合出来是一个增函数； 内外层函数单调性相反时，复合出来是一个增函数. 总结：复合函数y=f[g(x)]的单调性 考点四：复合函数的单调性 考点五：图象问题 奇偶性、特殊点、单调性 考点五：图象问题 考点五：图象问题 考点五：图象问题 考点五：图象问题 火箭的最大速度v和燃料质量M、火箭质量m的函数关系是： 生物学家研究发现:洄游鱼类的游速v和鱼的耗氧量O之间的函数关系: 溶液的酸碱度是通过PH值来刻画的,PH值的计算公式为: 考点六：对数函数的实际应用 [例6]假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过 y 年后的物价为 (1)该地的物价经过几年后会翻一番？ (2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 物价 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 解：(1)由题意可知，经过y年后物价x为 x=(1+5%)y，即x=1.05y(y∈[0,+∞））. 由对数与指数间的关系，可得 y=log1.05x，x∈[1,+∞) 由计算工具可得，当x=2时，y≈14. 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番. 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 (2)由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小. 考点六：对数函数的实际应用 [例7] (溶液酸碱度的测量)溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是mol/L. (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7mol/L，计算纯净水的pH. 解:(1)不妨令pH=y,[H+]=x,则y=-lgx， ∵y=lgx在(0,+∞)上是增函数，∴y=-lgx在(0,+∞)上是减函数， ∴pH值随着溶液中氢离子浓度的增大而减小， 即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强. (2)当[H+]=10-7时，pH=-lg10-7=7，所以，纯净水的pH是7. 考点六：对数函数的实际应用 未完待续…… $