3.1—3.4 圆 图形的旋转 垂径定理 圆心角 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

3.1—3.4 圆 图形的旋转 垂径定理 圆心角 一、圆的基本性质 （1）定义：在同一平面内，线段绕其固定端点旋转一周，另一端点所形成的图形称为圆。定点称为圆心，线段称为半径。 （2）符号表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。 （3）圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （4）点与圆的位置关系： 点在圆外：点到圆心的距离大于半径。 点在圆上：点到圆心的距离等于半径。 点在圆内：点到圆心的距离小于半径。 （5）三角形的外接圆与外心： 外接圆：经过三角形各顶点的圆。 外心：外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 二、图形的旋转 （1）定义：一个图形绕固定点按同一方向转动同一角度的变换。 （2）三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 （3）性质： 旋转后的图形与原图形全等。 对应点到旋转中心的距离相等。 任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转角。 （4）中心对称：图形绕点旋转180°后与原图形重合。 三、垂径定理 （1）定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论： 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （2）应用：利用垂径定理求线段长度、角度、面积，解决实际问题。 四、圆心角 （1）定义：顶点在圆心的角称为圆心角。 （2）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 弧的度数与圆心角的度数关系：在同圆或等圆中，弧的度数等于它所对圆心角的度数。 （3）应用： 利用圆心角定理证明弧、弦、弦心距的相等关系。 解决与圆心角、弧、弦相关的几何问题。 巩固课内例1:点与圆的位置关系 1．已知的半径是，线段的长为，则点P（   ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵的半径是，线段的长为， ∴点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：C． 2．已知的半径为5，点P在上，若，则d 5（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据，点在圆上解决问题即可． 【详解】解：∵的半径为5，点P在上， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知和直线，过圆心作，为垂足，，，为直线上三个点，且，，，若的半径为，，判断，，三点与的位置关系． 【答案】点在内；点在上；点在外． 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有以下三种情况： 当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．据此即可求解． 【详解】解：∵，， 点在内； ∵，， 点在上； ∵，， 点在外． 巩固课内例2:作三角形的外接圆 1．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 【详解】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 2．如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆的圆心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．先求得的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点M坐标． 【详解】解：，， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得，则． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 【答案】(1)；2 (2)点M在内 【分析】本题考查了过三点的圆和勾股定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． （1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出坐标，求出半径即可； （2）求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系． 【详解】（1）解：连接，，分别作出与的垂直平分线，交于点P，点P为圆心．如图所示： 由图形可知． 在中，，，由勾股定理可知：． 即的半径为． （2）解：∵点， ， ∴， ∴点M在内． 巩固课内例3:画出旋转后的图形 1．如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的概念，特别是绕中心点旋转后图形位置的变化.通过观察原图和选项，判断旋转之后图形的正确位置. 【详解】解：首先分析圆的位置： 原图中圆位于左上角的方格内，绕中心O逆时针旋转后，圆会旋转到右下角的方格内，通过选项可得：C和D符合； 其次，分析阴影三角形的位置变化： 原图中左下角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，旋转到右上角且斜边的方向不变.原图中右上角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，会旋转到左下角，观察C和D,C选项中阴影三角形的位置和形状符合，而D选项中位置不符合. 故选：C． 2．如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了图形的旋转作图．根据旋转的要求作出图形即可得到答案． 【详解】解：如图，线段即为所求，则点的坐标是， 故答案为： 3．如图，在方格纸中，的三个顶点和点都在小方格的顶点上，按要求作一个三角形（每小题只需作出一个三角形即可），使它的顶点在方格的顶点上． (1)如图1，将平移，使点落在平移后的三角形内部． (2)如图2，以点为旋转中心，将旋转，使点落在旋转后的三角形内部． (3)如图3，过点作出平分面积的直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查图形的平移或旋转，熟练掌握平移或旋转的性质是解题的关键， （1）根据平移的性质即可得到答案； （2）根据旋转的性质即可得到答案； （3）根据三角形等面积（同底等高），找出的中点，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：平移后的三角形如图1所示（答案不唯一）． （2）解：旋转后的三角形如图2所示． （3）解：平分面积的直线如图3所示． 巩固课内例4:垂径定理求解 1．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，利用点到直线的距离的定义得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长，也考查了勾股定理． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离， ， ， 在中，，， ∴， ． 故选：C． 2．如图，是的一条弦，于点C，交于点D，连接．若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理． 根据垂径定理求出，根据勾股定理得出方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：设的半径是R，则， ∵，过圆心O，， ∴，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴的半径是， 故答案为：． 3．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)的直径是 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 巩固课内例5:垂径定理的应用 1．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 【答案】D 【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 2．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理． 根据题意可得出，由垂径定理得，由勾股定理得出，则液体的最大深度． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴液体的最大深度， 故答案为：． 3．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了 cm． 【答案】(1)截面圆的半径为； (2) 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用． （1）由垂径定理得，设球形的半径，则，由勾股定理解，即可得出结论； （2）求得，在中，利用勾股定理求得，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， 设球形的半径，则， 在中，， ， 解得， 截面圆的半径为； （2）解：由题意知， ， 在中，， ， ， 截面圆中的弦减少了； 故答案为： 巩固课内例6:弦、弧、圆心角的关系 1．下列语句中，正确的有（    ） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧 （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理，圆的对称轴，熟练掌握以上知识是解题的关键． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断（1）；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断（2）；能重合的弧叫做等弧，据此判断（3）；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，据此判断（4）． 【详解】解：（1）、不符合题意，需要添加前提条件，即在同圆或等圆中； （2）、不符合题意，平分的弦不能是直径； （3）、不符合题意，等弧是指长度和度数都相等的弧； （4）、不符合题意，圆的对称轴是直径所在的直线． 故答案为：A． 2．如图，在中，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也相等．根据圆心角、弧、弦的关系定理直接推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 连接，根据平行线的性质，得、，通过等腰三角形的性质，推得，利用圆心角、弧、弦的关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ． 类型一、圆中的概念 1．下列语句中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．直径是弦 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的有关概念、三角形的外心，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据等弧的概念，确定圆的条件以及三角形及其外心之间的关系解答即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够重合的弧才是等弧，故选项错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项错误，不符合题意； C、直径是弦，正确，符合题意； D、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．要画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的直径与半径的关系是解决本题的关键． 根据圆规画圆的原理以及圆的半径与直径的关系来求解． 【详解】解：在使用圆规画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径． 已知圆的直径， 可得该圆的半径， 即圆规两脚间的距离应是． 故答案为：． 3．如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)作图见详解 (2)证明过程见详解 【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】（1）解：如图所示， ∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线角于点， ∴点即为所求点的位置； （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形． 类型二、旋转中心与旋转角 1．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 2．如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：由绕点A逆时针旋转得到， ， 故答案为：． 3．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点O成中心对称的 (2)以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出． (3)若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转作图，掌握旋转的性质是解题的关键． (1) 先求出中三个点关于原点对称的点坐标，再依次连接即可画出关于原点对称的； (2) 先利用旋转性质求出的坐标，再依次连接即可画出； (3)根据旋转中心即为对应点连线的垂直平分线的交点，即可确定旋转中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为， 故答案为：． 类型三、求弧的度数 1．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 2．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若的外接圆的圆心为，则圆心的坐标为_________，的半径为_________； (2)的外接圆与轴的另一个交点坐标是________． (3)中所对的圆周角是________度，的长度________． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，勾股定理，勾股定理的逆定理，求弧的度数等知识点，熟知三角形外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． （1）根据圆心是线段、的垂直平分线的交点，结合网格的特点画出点的位置，进而得到点的坐标，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设的外接圆与轴的另一个交点为，根据点在线段的垂直平分线上，求出点的坐标即可； （3）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后利用弧长的度数即可求出圆周角的度数； 【详解】（1）解：如图所示，点的位置即为圆心位置， 圆心的坐标为， ， 圆的半径为， 故答案为：，． （2）解：设的外接圆与轴的另一个交点为， 点在线段的垂直平分线上， 点的横坐标为， 点的坐标为， 的外接圆与轴的另一个交点坐标是， 故答案为：． （3）解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的度数为，所对的圆周角是， 故答案为： ，． 类型一、求三角形外心的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 2．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据 【详解】解：根据三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，然后作和的垂直平分线，如图： ， 通过图像可以明显得到和的垂直平分线交点坐标为：； 故答案为：； 3．如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)； (2)见详解 【分析】本题考查的是画三角形的外接圆的圆心，垂径定理的应用，勾股定理的应用； （1）根据外心是三角形的三边的垂直平分线的交点，以及运用网格特征作图，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合网格特征，取格点记为，连接，与弧的交点为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，外心的定义：三边的垂直平分线的交点， 故的外心在和的垂直平分线的交点上， 如图所示： ∴的外心的坐标为， 则的外接圆半径长为； 故答案为：， （2）解：依题意，的中点如图所示． 类型二、同心圆问题 1．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点，．则的长（  ） A．1 B．2 C． D．0.5 【答案】B 【分析】过圆心作弦的垂线，根据垂径定理求解即可． 【详解】解：过圆心O作交于点E，如图 根据垂径定理得，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查应用垂径定理，做辅助线是解题的关键． 2．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；也考查了勾股定理．过O点作于H点，连结，如图，根据垂径定理得到，设，则，再利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可． 【详解】解：过O点作于H点，连结，如图，则 设，则， 在中， 中，， ， 解得，或 即小圆半径是． 故答案为：． 3．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证； (2)若，大圆和小圆的半径分别为12和8，则的长度是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，利用垂径定理及等式的性质即可求证； （2）连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，即可建立方程，解方程即可，利用求解． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵过圆心， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 设， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 类型三、利用旋转设计图案 1．图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题图形的旋转，根据旋转的特征结合题意即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：将它顺时针旋转后，只有C选项符合题意． 故选：C． 2．在下列图案中可以用旋转得到的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案，进而判断得出即可． 【详解】①②④通过旋转得到；⑤是通过平移得到． 故答案为：①②④． 【点睛】本题是考查了运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点得出是解题关键． 3．图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案； （2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形． ． 【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． 类型一、利用垂径定理求平行弦的距离 1．在半径为5cm的中，若弦与弦平行，且，，则与之间的距离为（    ） A．1cm B．7cm C．8cm D．1cm或7cm 【答案】D 【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出圆心与弦的距离为3cm， 圆心与弦的距离为4cm，若、位于圆心异侧，则两平行弦的距离为，、位于圆心同侧． 【详解】解：如图，过点O作于E，交于F，    ∵， ∴， ∵过圆心，， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 如图，当、位于圆心两旁时，    同理可得：， ∴或． 故选：D． 【点睛】本题结合勾股定理考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距，构造以弦心距、半径、弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理解答问题． 2．在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况．连接、，过点作于，交于，则，根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出、，即可得出答案． 【详解】解：连接，．过点作于，交于， 当和在圆心的同侧时，如图所示， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ，， 则． 当和在圆心的两侧时，如图所示， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ，， 则． 故答案为：1或7． 3．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长． +   【答案】 【分析】如图所示作出辅助线，由垂径定理可得AM=3，由勾股定理可求出OM的值，进而求出ON的值，再由勾股定理求CN的值，最后得出CD的值即可． 【详解】解：如图所示，因为AB∥CD，所以过点O作MN⊥AB交AB于点M，交CD于点N，连接OA，OC， 由垂径定理可得AM=， ∴在Rt△AOM中，， ∴ON=MN-OM=1， ∴在Rt△CON中，， ∴， 故答案为：    【点睛】本题考查勾股定理及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 类型二、旋转规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的边与轴正半轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点顺时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，根据题干中的操作顺序求得，，，，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为C，D． 由题意得知，和都是等边三角形， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵与关于原点对称，如图， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． 观察可知，点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律， 即由点到点为一个变换周期． ∵， ∴点的坐标与点的相同，为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律．熟练掌握图形的旋转与中心对称，等边三角形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形、点的坐标变化规律等知识．根据题意分析得出点位置规律和长度的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形， ……， ∴依此规律，可知，，，依次在轴的负半轴，轴的负半轴，轴的正半轴和轴的正半轴上，每4次一个循环， ∵， ∴在轴的负半轴上， 又∵，，，…， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： (1)______； (2)猜想：______． (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用直角三角形性质和勾股定理求出，，再结合旋转的性质求解，即可解题； （2）结合题意得到其规律为从开始，每3个增加的一个周长，根据规律求解，即可解题； （3）同（2）先算出，进而得到，根据的面积的面积的面积列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，，， ， ， 结合旋转的性质，以及，，， ， 故答案为：． （2）解：由题知，从开始，每3个增加的一个周长， ， ； 故答案为：． （3）解：， ， ， 的面积的面积的面积 ． 【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理，旋转的性质，图形的规律，解题的关键在于结合旋转的性质得到图形的规律． 类型三、最值问题 1．如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．60 B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边的中线，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由直角三角形斜边中线的性质推出，当在的延长线上时，最大，此时最大，由勾股定理求出，得到，即可求出的最大值． 【详解】解：过作，连接， 的坐标是，在中，由勾股定理得： ， ，， ， 当取最大值时，的值最大，当在的延长线上时，最大， 圆的半径是5， ， ， ， 的最大值是40． 故选：B． 2．如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的最值问题，涉及隐圆，轴对称的性质，勾股定理等，找出点G的运动轨迹是解题的关键． 由轴对称的性质可得长度不变，因此点G在以点E为圆心，长为半径的圆上，进而可得当点G在线段上时，的长取最小值． 【详解】解：以点E为圆心，长度为半径作圆，连接，当点G在线段上时，的长取最小值，如图所示： 长方形中，，E点是的中点， ，，， ， ， 即长的最小值是， 故答案为：． 3．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点M，在等腰直角三角形中，，将绕点M旋转，连接． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)在图中，延长相交于点P，点G是的中点，求的长； (3)点P是（2）中所述的点，在旋转的过程中，求的最大值（直接写出结果）． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的最大值为 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，可求，由直角三角形的性质可求解； （3）由，可得点P在以为直径的圆上运动，则点P在线段的延长线上时，有最大值，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点G是的中点， ∴； （3）∵， ∴点P在以为直径的圆上运动， 取的中点O，连接， 当点P在线段的延长线上时，有最大值， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1—3.4 圆 图形的旋转 垂径定理 圆心角 一、圆的基本性质 （1）定义：在同一平面内，线段绕其固定端点旋转一周，另一端点所形成的图形称为圆。定点称为圆心，线段称为半径。 （2）符号表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。 （3）圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （4）点与圆的位置关系： 点在圆外：点到圆心的距离大于半径。 点在圆上：点到圆心的距离等于半径。 点在圆内：点到圆心的距离小于半径。 （5）三角形的外接圆与外心： 外接圆：经过三角形各顶点的圆。 外心：外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 二、图形的旋转 （1）定义：一个图形绕固定点按同一方向转动同一角度的变换。 （2）三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 （3）性质： 旋转后的图形与原图形全等。 对应点到旋转中心的距离相等。 任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转角。 （4）中心对称：图形绕点旋转180°后与原图形重合。 三、垂径定理 （1）定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论： 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （2）应用：利用垂径定理求线段长度、角度、面积，解决实际问题。 四、圆心角 （1）定义：顶点在圆心的角称为圆心角。 （2）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 弧的度数与圆心角的度数关系：在同圆或等圆中，弧的度数等于它所对圆心角的度数。 （3）应用： 利用圆心角定理证明弧、弦、弦心距的相等关系。 解决与圆心角、弧、弦相关的几何问题。 巩固课内例1:点与圆的位置关系 1．已知的半径是，线段的长为，则点P（   ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 2．已知的半径为5，点P在上，若，则d 5（填“”或“”或“”）． 3．如图，已知和直线，过圆心作，为垂足，，，为直线上三个点，且，，，若的半径为，，判断，，三点与的位置关系． 巩固课内例2:作三角形的外接圆 1．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径； (2)判断点与⊙P的位置关系． 巩固课内例3:画出旋转后的图形 1．如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是 ． 3．如图，在方格纸中，的三个顶点和点都在小方格的顶点上，按要求作一个三角形（每小题只需作出一个三角形即可），使它的顶点在方格的顶点上． (1)如图1，将平移，使点落在平移后的三角形内部． (2)如图2，以点为旋转中心，将旋转，使点落在旋转后的三角形内部． (3)如图3，过点作出平分面积的直线． 巩固课内例4:垂径定理求解 1．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，是的一条弦，于点C，交于点D，连接．若，，则的半径为 ． 3．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 巩固课内例5:垂径定理的应用 1．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 2．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ． 3．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了 cm． 巩固课内例6:弦、弧、圆心角的关系 1．下列语句中，正确的有（    ） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧 （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，若，，则的度数为 ． 3．如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 类型一、圆中的概念 1．下列语句中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．直径是弦 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 2．要画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应是 ． 3．如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 类型二、旋转中心与旋转角 1．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则 ．    3．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点O成中心对称的 (2)以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出． (3)若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为___________． 类型三、求弧的度数 1．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 2．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若的外接圆的圆心为，则圆心的坐标为_________，的半径为_________； (2)的外接圆与轴的另一个交点坐标是________． (3)中所对的圆周角是________度，的长度________． 类型一、求三角形外心的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 类型二、同心圆问题 1．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点，．则的长（  ） A．1 B．2 C． D．0.5 2．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是 ． 3．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证； (2)若，大圆和小圆的半径分别为12和8，则的长度是 ． 类型三、利用旋转设计图案 1．图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 2．在下列图案中可以用旋转得到的是 （填序号）． 3．图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 类型一、利用垂径定理求平行弦的距离 1．在半径为5cm的中，若弦与弦平行，且，，则与之间的距离为（    ） A．1cm B．7cm C．8cm D．1cm或7cm 2．在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为 ． 3．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长． +   类型二、旋转规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的边与轴正半轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点顺时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 3．如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： (1)______； (2)猜想：______． (3)连接，求的面积． 类型三、最值问题 1．如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．60 B． C． D． 2．如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ． 3．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点M，在等腰直角三角形中，，将绕点M旋转，连接． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)在图中，延长相交于点P，点G是的中点，求的长； (3)点P是（2）中所述的点，在旋转的过程中，求的最大值（直接写出结果）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $