专题14求弧长及不规则图形面积五类综合题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题14 求弧长及不规则图形面积五类题型 典例详解 类型一、求弧长 类型二、公式法计算面积 类型三、和差法计算面积 类型四、整体法计算面积 类型五、割补法计算面积 压轴专练 类型一、求弧长 例1．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长公式，掌握圆周角定理是解决本题的关键．先根据圆内接四边形对角互补求出，根据三角形内角和求出，再求所对的圆心角，最后根据弧长公式求得的长． 【详解】解：在中，， ， ， 连接，则， 的半径为3， 的长为． 故选：． 变式1-1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，为直径，点C，D分别在两侧，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角，邻补角，弧长公式，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，得到，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 变式1-2．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是上的两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用扇形弧长公式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴这块扇形玉石的周长是． 故答案为：． 变式1-3．（25-26九年级上·全国·课后作业）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为， ∴顺时针转动2周时，点P移动的弧长为， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式1-4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等弦对等弧即可证明； （2）连接，根据垂直的定义得到，则有，利用圆周角定理得到，则有，根据得到，最后利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， 又∵的半径为4， ∴． 类型二、公式法计算面积 例2．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，线段是的直径，点是圆上两点，连接，，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得到，，再由直径所对的圆周角是直角得到，在中，设，则，再由勾股定理列方程求解得到，再由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ，， 线段是的直径， ， 在中，设，则， 由于，根据勾股定理可得， ， 解得， 的半径为， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查求扇形面积，涉及圆周角定理、含的直角三角形性质、勾股定理及扇形面积公式，熟记圆周角定理、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． 变式2-1．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键． 首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， 是直径， ，即， 为的中线， 是等腰三角形， ， ， ， 半径为2， ， 故选：B． 变式2-2．（2022·贵州铜仁·一模）如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的内角和，扇形的面积． 由多边形的内角和可得的度数，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为． 故选：D． 变式2-3．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】， ， ． 故答案为：． 类型三、和差法计算面积 例3．（2024·山西·模拟预测）如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由是的中点，，则，通过折叠性质可知，，，，则四边形是矩形，又，故四边形是正方形，则有，所以，求出，再通过图中阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， 由折叠性质可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：． 【点睛】本题考查了扇形面积，圆周角定理推论，三角形内角和定理，折叠性质，矩形判定，正方形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 变式3-1．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）已知如图，扇形的半径为，弧长为，求阴影部分的面积为 ； 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，掌握等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、三角形的面积和扇形面积计算公式、弧长计算公式是解题的关键． 过点作于点，根据弧长公式求出的度数，由等边三角形的判定与性质、特殊角的三角形函数值、三角形的面积公式求出的面积，由扇形面积公式求出扇形的面积，再根据阴影部分的面积扇形的面积 的面积计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设， 根据题意，得， 解得， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式3-2．（20-21九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图：连接，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，再根据证明，根据全等三角形的性质得到，从而得到矩形是正方形，再求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点C是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴，解得：， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． 类型四、整体法计算面积 例4．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及菱形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据菱形的面积，扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：在菱形中，对角线，， ，，，， ， ∴圆的半径为：，且四个扇形组成半径为的圆， ． 故选：． 变式4-1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，两两不相交，且半径都是，则图中三个扇形（阴影部分）的面积之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，扇形面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由三角形的内角和定理得，再根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：， 阴影部分的面积， 故选：D． 变式4-2．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出2023边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据扇形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：边形的外角和， 图中阴影部分的面积之和， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，能求出阴影部分的圆心角的度数和是解此题的关键． 类型五、割补法计算面积 例5．（2025·河南驻马店·三模）如图，垂直于弦的直径交于点E，连接，若．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，易得，，即，是等边三角形，则，；再根据垂径定理以及等腰三角形的性质可得，，则即；再运用勾股定理求得，即；由，最后运用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵直径， ∴， ∵， ∴，，即， ∴是等边三角形， ∴，， ∵垂直于弦的直径交于点E， ∴，，， ∴， ∴ ∵，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故选：D． 变式5-1．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，连接，，由折叠的性质可知，的对应点为，则，，推出，为等边三角形，再结合圆周角定理，推出，最后利用扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，等边三角形性质和判定，圆周角定理，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 变式5-2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得阴影部分的面积等于，利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、等边三角形的性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 变式5-3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形全等的性质、扇形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，，，再根据全等三角形的性质可得，然后利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，， ∴，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积等于， 故答案为：． 1．（22-23九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，分别以为圆心，以为半径画弧，则三条弧与边所围成的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及扇形面积公式、直角三角形面积公式等知识，读懂题意，间接表示出三条弧与边所围成的阴影部分的面积求解是解决问题的关键．如图所示，由题意可得，，即可转化为以为半径的半圆面积，从而求出，由三条弧与边所围成的阴影部分的面积为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得，， 在中，， 则可转化为以为半径的半圆面积， 即， 在中，，则， 三条弧与边所围成的阴影部分的面积是， 故选：B． 2．（2025·湖北·二模）如图，是的直径，弦于点E，，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、求扇形面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是将阴影部分的面积转化到规则图形中． 根据题意得出，进而得到，最后将图中阴影部分的面积之和转化为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵是的直径，弦于点E， ∴，即垂直平分， ∴， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 则阴影部分的面积之和为 ． 故选：B． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，分别以点B，C为圆心，菱形边长的一半为半径画弧，和相切于点E，点E在上，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及扇形的面积求法是解题的关键．根据菱形的性质求得，再根据扇形的面积公式计算，即得答案． 【详解】解：菱形的边长为4， 和所在圆的半径均为2， 四边形是菱形， ， ， ． 故选：B． 4．（20-21九年级上·山西晋城·期末）如图，正三角形的边长为，点D、E、F分别为、、的中点，以A、B、C三点为圆心，长为半径作圆． 则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，扇形的面积公式及勾股定理，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质可得，，根据勾股定理求得，再利用求解即可． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵三个圆的半径都为， ∴， ∴． 故选：C． 5．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，，若进行下列操作：①将绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以点C为圆心，线段的长为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积的计算、等腰直角三角形，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 根据题意求出，，，，，再根据阴影部分的面积，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意得，，，，， ∴阴影部分的面积 ； 故答案为：； 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，证明阴影部分的面积为，根据中位线定理，等腰三角形的性质，扇形的面积公式解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，中位线定理，扇形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∵，， ∴，， ∴, ∴, 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，O是等边中一点，，将绕点B顺时针旋转至，下列说法中：①的长度是；②：③；④以线段为边构成的三角形的各内角大小分别为；⑤旋转到的过程中，边所扫过区域的面积是，则成立的序号是 ． 【答案】①②/②① 【分析】①连接，根据等边三角形性质及旋转性质得，，由此得，，，则是等边三角形，进而得，，在中，由勾股定理得，据此可对结论①进行判断； ②过点O作于点F，由等边三角形性质和勾股定理求出，则，再求出，然后根据得得，据此可对结论②进行判断； ③过点C作于点H，过点A作，交的延长线于点E，先求出得，，则，，进而得，再根据得，然后求出得进而得，据此可对结论③进行判断； ④根据，以线段为边构成的三角形就是，再根据得，，，据此可对结论④进行判断； ⑤先求出，，，由此得边所扫过区域的面积是： ，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出结论． 【详解】解：①连接，如图1所示： ∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：，故结论①成立； ②过点O作于点F，如图2所示： ∵是等边三角形，且于点F， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②成立； ③过点C作于点H，过点A作，交的延长线于点E，如图3所示： ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，于点H， ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴，故结论③不成立； ④∵， ∴以线段为边构成的三角形是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴以线段为边构成的三角形的各内角大小分别为，故结论④不成立； ⑤∵， ， ， ∴边所扫过区域的面积是： ，故结论⑤不成立， 综上所述：成立结论的序号是①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，图形的旋转变换及其性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，理解图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，扇形面积的计算公式，灵活运用含有角的直角三角形性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 8．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，正方形的边长是4，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，能将阴影部分的面积进行巧妙的转化是解题的关键． 根据所给图形，先将阴影部分的面积进行转化，再进行计算即可． 【详解】解：如图所示，    ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为， ∴的面积为． 又∵上方以为直径的半圆面积为：， ∴图中①②两部分的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是半圆的直径，将半圆绕点逆时针旋转得到半圆，点的对应点为．若，则阴影部分图形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、扇形面积公式，记与半圆交于点，连接，由题意可得两个半圆面积相等，，则，再根据计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，记与半圆交于点，连接， ， 由题意可得两个半圆面积相等，，则， ∴， ∵， ∴， ∴, 故答案为：． 10．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， (1)过点作，交于点，若，求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂径定理得出，再结合勾股定理求出，进而得到． （2）先根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：，， ， 在中，，， ∴， ； （2）解：， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和公式是解题的关键． 11．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，已知，分别以点，，为圆心，以长为半径作圆，求阴影部分的面积之和． 【答案】阴影部分的面积之和为． 【分析】本题考查扇形面积的计算，阴影部分面积之和等于三个扇形面积之和，利用扇形面积公式求解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：∵，，半径相同， ∴阴影部分面积之和等于三个扇形面积之和， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质． （1）由圆周角定理得到，，进而得到，根据等边对等角得到，即可证明平分； （2）由，得到，由直角三角形的性质得到，最后根据计算即可； （3）由，得到阴影部分的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ． 又∵， ， 平分； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ， ； （3）解：如图，连接． 由（2）知． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为 13．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，四边形内接于，连接，，，．若的半径是，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式．连接，，求得，得到，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵的半径是， ∴的长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 求弧长及不规则图形面积五类题型 典例详解 类型一、求弧长 类型二、公式法计算面积 类型三、和差法计算面积 类型四、整体法计算面积 类型五、割补法计算面积 压轴专练 类型一、求弧长 例1．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，为直径，点C，D分别在两侧，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是上的两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是 （结果保留）． 变式1-3．（25-26九年级上·全国·课后作业）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则 ． 变式1-4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 类型二、公式法计算面积 例2．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，线段是的直径，点是圆上两点，连接，，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 变式2-2．（2022·贵州铜仁·一模）如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式2-3．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积为 ． 类型三、和差法计算面积 例3．（2024·山西·模拟预测）如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）已知如图，扇形的半径为，弧长为，求阴影部分的面积为 ； 变式3-2．（20-21九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ． 类型四、整体法计算面积 例4．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，两两不相交，且半径都是，则图中三个扇形（阴影部分）的面积之和是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为（　　）    A． B． C． D． 类型五、割补法计算面积 例5．（2025·河南驻马店·三模）如图，垂直于弦的直径交于点E，连接，若．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则阴影部分的面积为 ． 变式5-3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ． 1．（22-23九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，分别以为圆心，以为半径画弧，则三条弧与边所围成的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·二模）如图，是的直径，弦于点E，，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，分别以点B，C为圆心，菱形边长的一半为半径画弧，和相切于点E，点E在上，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（20-21九年级上·山西晋城·期末）如图，正三角形的边长为，点D、E、F分别为、、的中点，以A、B、C三点为圆心，长为半径作圆． 则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，，若进行下列操作：①将绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以点C为圆心，线段的长为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）． 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ． 7．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，O是等边中一点，，将绕点B顺时针旋转至，下列说法中：①的长度是；②：③；④以线段为边构成的三角形的各内角大小分别为；⑤旋转到的过程中，边所扫过区域的面积是，则成立的序号是 ． 8．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，正方形的边长是4，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是 ．    9．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是半圆的直径，将半圆绕点逆时针旋转得到半圆，点的对应点为．若，则阴影部分图形的面积为 ．（结果保留） 10．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， (1)过点作，交于点，若，求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 11．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，已知，分别以点，，为圆心，以长为半径作圆，求阴影部分的面积之和． 12．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 13．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，四边形内接于，连接，，，．若的半径是，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $